2.4 二次函数的图像与性质 课件1（新北师大版九年级下）.ppt

1、二次函数的图像与性质,温故知新,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而增大。,当x0时， y随着x的增大而减小。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,抛物线y=ax2 (a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.,做一做,(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧, y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).,(0,0),y轴,右,左,0,0,上,试一试：,2、函数y=8x2的图象的开口 ，对称

2、 轴是 ，顶点是 ；在 对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在 对称轴的右侧，y随x的增大而 ；,3、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对 称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称 轴的右侧，y随x的增大而 ；,二次函数的图像,例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 的图像,解: 先列表,然后描点画图,得到y= x21,y=x2的图像.,5 2 1 2 5,y=x2,y=x2+1,5 2 1 2 5,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?,函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.,操作 与 思考,函数y=

3、x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?,相同,二次函数的图像,(1) 抛物线y=x2+1,y=x2的开口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1 与抛物线y=x2有什么关系?,讨论,抛物线y=x2+1:,开口向上,顶点为(0,1).,对称轴是y轴,抛物线y=x2:,开口向上,顶点为(0, 0).,对称轴是y轴,y=x2+1,y=x2,二次函数的图像,例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 -2和y=x2 的图像,解: 先列表,然后描点画图,得到y= x2 -2,y=x2的图像.,y=x2,y=x2-2,2 -1 -2 -1 2,函数y=x2-2的图象可由y=x2的图

4、象沿y轴向下平移2个单位长度得到.,函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?,操作 与 思考,函数y=x2 -2的图象与y=x2的图象的形状相同吗?,相同,二次函数的图像,(1) 抛物线y=x2-2,y=x2的开口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2-2 与抛物线y=x2有什么关系?,讨论,抛物线y=x2 -2:,开口向上,顶点为(0,-2).,对称轴是y轴,抛物线y=x2:,开口向上,顶点为(0, 0).,对称轴是y轴,二次函数的图像,例3.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=-x2 和y=-x2 +3， y=-x2 -2的图像,y=-x2-2,y=-x2+3,

5、y=-x2,函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.,函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.,图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?,二次函数y=ax2+k的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称,顶点是最低点(最小值为k),顶点是最高点 （最大值为k）,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,(0,k),(0,k),(0,k),函数y=ax2 (a0)和函数y=ax2+k(a0)的图象形状 ，只是位置不同；当k0时，函数y=ax2+k的图象可由y

6、=ax2的图象向 平移 个单位得到，当k0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到。,上加下减,相同,上,k,下,|k|,(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。,上,5,下,11,小试牛刀,(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。,下,4,上,7,上,9,小试牛刀,（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，

7、所得的抛物线的函数式是 。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。,y=4x2+3,y=-5x2-4,小试牛刀,（4）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ， 当x= 时，取得最 值，这个值等于 。,向下,y轴,(0,5),减小,增大,0,大,5,小试牛刀,（5）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ， 当x= 时，取得最 值，这个值等于 。,向上,y轴,(0,-3),减小,增大,0,小,-3,小试

8、牛刀,(6).二次函数y=ax2+c (a0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为 点D的坐标为 .,y=2x2-3,(-2,5),或,小试牛刀,及时小结,向上,向下,(0 ,c),(0 ,c),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而增大。,当x0时， y随着x的增大而减小。,x=0时,y最小=c,x=0时,y最大=c,抛物线y=ax2 +c (a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.,（1）抛物线y= 2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在_ 侧，y随着x的增大而增大；在

9、侧，y随着x的增大而减小，当x= _ 时，函数y的值最大，最大值是 ,它是由抛物线y= 2x2线怎样平移得到的_.,练习,（ 2）抛物线 y= x-5 的顶点坐标是_，对称轴是_,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=_时，函数y的值最_，最小值是 .,2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）,B,3、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）求该抛物线线的解析式。,（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。,（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式，,练习：,