1、圆锥曲线的最值与范围问题，在各种题型中均会出现，它能综合三角函数，基本不等式，解三角形，函数等等知识，而且对数形结合，转化与化归，函数与不等式，方程等思想要求较高，因此在考试中是一个难点问题。本文将从常见的几种题型入手，试图帮 助读者总结各种题型的解法，形成能力。类型一、利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理例 1：已知点 是抛物线 上的一个动点，点 到直线 的距离为 ，到直线的距离为 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】D 例 2、点 是椭圆 上的 动点， 为椭圆的左焦点，定点 ，则 的最大值为_. 【答案】15【解析】由
2、椭圆方程可知 ， ， ,左焦点 ,右焦点 .由椭圆的定义可知 ， ，.分析可知点 在椭圆外, 所以 ,.即 的最大值为 . 【掌握练习】1、已知 为椭圆 上一点, 分别为圆 和圆上的点,则 的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B2、已知点 是椭圆 上一动点，点 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】椭圆 中， ，故 是其左、右焦点，则有 ，记 ，则 ，且 ，故 。3、已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线 交双曲线左支于 两点，则的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】可得 ， ，那么 ，而 的最小值为 ，则 的最小值为 4、 为抛
3、物线 上一点， ，则 到此抛物线的准线的距离与 到点 的距离之和的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于 到准线的距离 等于 到焦点 的距离， , .5、已知椭圆 上的左焦点为 ，点 为椭圆上一动点， ，则 的最小值为_.【答案】6、若点 在圆 上，点 在圆 上，点 在双曲线上，则 的最大值是_.【答案】10【解析】由题意得，圆心 、 恰为双曲线 的左、右焦点，因此有，的最大值是 .7、已知点 ， 是双曲线 的左焦点，点 是双曲线的右支上的动点，则的最小值为_.【答案】9类型二、单变量最值问题转化为函数或基本不等式求最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,
4、关键是选择恰当的变量为自变量例：已知椭圆 , , 是椭圆 的两个焦点, 是该椭圆上的一个动点,则 的范围为_.【答案】【解析】【掌握练习】1、已知抛物线 ： 的焦点为 ， 的三个顶点都在抛物线 上，点 为 的中点，.（1）若 ，求抛物线 方程；（2）若 的常数，试求线段 长的最大值.【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）由题意 ，设 ，因为 ， ，所以 ，代人 得 由题意 在抛物线内部，所以 ，故抛物线 : ；由 得 ，由 ，得 ，又因为 ， 记 （ ），易得 ，所以2、设直线 过椭圆 的左焦点 与椭圆交于 、 两点, 是椭圆的右焦点,则 面积的最大值为( )A. B. C. D.【答案】
5、B【解析】如图, ,由题意知,直线不会与 轴重合,可设直线 : , , ,由 得 , ,令 ,则 ,当 时,函数 单调递增, ,当 取得最小值 时, 取得最大值 ,故选 B.3、已知椭圆 C： 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设 P为椭圆上一点,若过点 )0,2(M的直 线 l与椭圆 E相交于不同的两点 S和 T,且 满足(O 为坐标原点),求实数 t的取值范围.【答案】（1）（2）2t（ ， ）（）由题意知直线 L的斜率存在,设直线 L方程为 ,设 0,yxp将直线方程代入椭圆方程得
6、： 21k设 1,yxS, 2T则当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=0,此时 t=0, 成立,故,t=0 符合题意.当 0t时得 将上式代入椭圆方程得：整理得：由 21k知 402t所以 t（ ， ）类型三、二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数或基本不等式的最值问题来处理例：抛物线 xy82的焦 点为 F,点 )(yx为该抛物线上的动点,又已知点 )0,2(A,则 |PF的取值范围是 .【答案】 ,1,当且仅当 x4即 2时取等号,于 是 , ,综上所述 |PFA的取值范围是 2,1.【掌握练习】1、已知中心在原点 ，左焦点为 的椭圆
7、的左顶点为 ，上顶点为 ， 到直线 的距离为 .（1）求椭圆 的方程；（2）圆 以椭圆 的两焦点为直径，圆 的任意一条切线 交椭圆 于两点 、 ，试求弦长的取值范围.【答案】（1） ；（2） .又 ，解得： （ 舍去）， .故椭圆 方程为 ；记 、 两点的坐标分别为 、 ，则有， ， .令 ，所以 ， ， ，.综上，弦长 的取值范围为 .2、已知抛物线 的准线与 轴交于 点,焦点是 , 是抛物线上的任意一点,当 取得最小值时,点 恰好在以 , 为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】B类型四、参数最值问题该类问题往往有三种类型：建立两个参数之间的等量关系和不等
8、式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过选 取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围例：在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 C： 的离心率 32e,且 椭 圆 C 上 一 点 N到点 Q 03（ ， ） 的 距 离 最 大 值 为 4,过 点 3,0M（ ） 的 直 线 交 椭 圆 于 点 .AB、（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P 为椭圆上一点, 且满足 （O 为坐标原点）,当 3 时,求实数 t的取值范围.【答案】（1）214xy（2）或 3
9、2.t （2）设 方程为由 整得 . 由 ,得 215k . 则 ,由点 P 在椭圆上,得 化简得 又由 即 将 12x, 1代入得化简,得则 , 2185k 由,得联立 ,解得 234,t 或 32.t 【掌握练习】1、已知圆 ,若椭圆 的右顶 点为圆 M的圆心,离心率为 2.（1）求椭圆 C的方程；（2）若存在直线 kxyl:,使得直线 l与椭圆 C分别交于 BA,两点,与圆 分别交于 HG,两点,点 在线段 AB上,且 HG,求 圆 M的半径 r的取值范围.【答案】（1）（2） )3,【解析】（1）设椭圆的焦距为 2c,因为所以椭圆的方程为 .显然,若点 H也在线段 AB上,则由对称性可知,直线 kxy就是 y 轴,与已知矛盾,所以要使 BHAG,只要 GAB,所以当 0k时, 2r.当 k时, 3,又显然 ,所以 .综上,圆 M的半径 r的取值范围是 )32.
