1、, 学生用书 P49)A 基础达标1设正实数 a1，a 2，a 3 的任一排列为 a1，a 2，a 3，则 的最小值为( )a1a1 a2a2 a3a3A3 B6C9 D12解析：选 A.设 a1a 2a 30，则 0，1a3 1a2 1a1由排序不等式可知 3.a1a1 a2a2 a3a3 a1a1 a2a2 a3a3当且仅当 a1a 1，a 2a 2，a 3a 3时等号成立2某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投 m 分钟，第二人投n 分钟，第三人投 p 分钟某班级三名运动员 A，B，C 每分钟能投进的次数分别为a，b，c，已知 mnp，abc，如何派三人上场能取得最佳成绩
2、？( )AA 第一，B 第二，C 第三 BB 第一，A 第二， C 第三CC 第一，B 第二，A 第三 DA 第一，C 第二，B 第三解析：选 A.因为 mnp，abc，且由排序不等式知顺序和为最大值，所以最大值为 manbpc ，此时分数最高所以，三人上场顺序是 A 第一，B 第二，C 第三3若 Ax x x ，Bx 1x2x 2x3x n1 xnx nx1，其中 x1，x 2，x n都21 2 2n是正数，则 A 与 B 的大小关系为( )AAB BABCAB DAB解析：选 C.因为序列x n的各项都是正数，不妨设 0x 1x 2x n，则x2，x 3，x n，x 1为序列x n的一个排
3、列由排序原理，得x1x1x 2x2x nxnx 1x2x 2x3x nx1，即 x x x x 1x2x 2x3x nx1.故21 2 2n选 C.4车间里有 5 台机床同时出了故障，从第 1 台到第 5 台的修复时间依次为 4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产 1 min 损失 5 元，经合理安排损失最少为( )A420 元 B400 元C450 元 D570 元解析：选 A.停产总时间是 5t14t 23t 32t 4t 5.由排序不等式得，当 t1t 2t 3t 4t 5时，总时间取最小 值所以，总时间最小值为 544536281084，即损失最少为
4、845420(元)5已知 a，b，c 为正实数，则 a2(a2bc)b 2(b2ac )c 2(c2ab)( )A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零解析：选 B.设 abc 0，所以 a3b 3c 3.根据排序原理，得 a3ab 3bc 3ca 3bb 3cc 3a.又知 abacbc ，a 2b 2c 2，所以 a3bb 3cc 3aa 2bcb 2cac 2ab，所以 a4b 4c 4a 2bcb 2cac 2ab，即 a2(a2bc) b 2(b2ac )c 2(c2ab)0.6如图所示，矩形 OPAQ 中，a 1a 2，b 1b 2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的
5、面积之和(填“” “”或 “”)解析：阴影面积为 a1b1a 2b2，而空白面积为 a1b2a 2b1.根据顺序和反序和可知答案答案：7已知在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 abc.若 M acos Cbcos Bccos A，Nacos Bbcos Cccos A，则 M 与 N 的大小关系是_解析：因为锐角三角形 ABC 中，abc，所以 ABC90，所以 cos Acos Bcos C ，由排序不等式可知 MN.答案：MN8某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件和 2 件现在选择商店中单价分别为 3 元，2 元和 1 元的礼品，
6、则至少要花_元，最多要花_元解析：两组数 2 件、4 件、5 件与 1 元、2 元、3 元的反序和S123425119(元 )顺序和 S221425325(元) 根据排序原理可知至少花 19 元，最多花 25 元答案：19 259已知 a，b，c 为正数，用排序不等式证明：2(a 3b 3 c3)a 2(bc) b 2(ca)c 2(a b)证明：设正数 a，b，c 满足 abc，则 a2b 2c 2，由排序不等式得，a2bb 2cc 2aa 3b 3c 3， a2cb 2ac 2ba 3b 3c 3，两式相加，得：2(a 3b 3c 3) a2(bc)b 2(ca) c 2(a b)10已知
7、 x，y，z 都是正数，且 xyz1，求 的最小值x2y y2z z2x解：不妨设 xy z0，则 0，且 x2y 2z 20，由排序不等式，得1z 1y 1x z2 y2 x2xyz.y2z x2y z2x 1z 1y 1x又 xyz1，所以 1，当且仅当 xyz 时，等号成立x2y y2z z2x 13则 的最小值为 1.x2y y2z z2xB 能力提升1在锐角三角形中，设 P ，Q acos Cbcos Bccos A，则 P，Q 的关系为a b c2_解析：不妨设 ABC，则 abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bc cos Aacos B
8、bcos Cccos AR(2sin A cos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB )sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P (R 为锐角三角形 ABC 外接圆的半径) a b c2答案：PQ2一般地，对于 n 个正数 a1，a 2，a n，几何平均数 Gn ，算术平均数na1a2anAn ，利用排序不等式可以判断 Gn，A n的大小关系为_a1 a2 ann解析：令 bi (i1，2，n)，aiGn则 b1b2bn1，故可取 x1x 2x n0，使得 b1 ，b 2 ，b n1 ，b n .x1x2 x2x3 xn 1xn xnx1由
9、排序不等式有：b 1b 2b n x 1 x 2 x n n，x1x2 x2x3 xnx1 1x1 1x2 1xn当且仅当 x1x 2x n时取等号 ，所以 n，即 G n，a1Gn a2Gn anGn a1 a2 ann即 AnG n.答案：A nG n3设 x0，求证：1x x 2x 2n(2n1) xn.证明：(1)当 x1 时，1xx 2x n.由排序原理知，11xxx 2x2x nxnx n1x n1 x1 xn，所以 1x 2x 4x 2n( n1)x n.又因为 x，x 2，x n，1 为 1，x，x 2，x n的一个排序 ，于是由排序原理得1xxx 2x n1 xnx n11x
10、nx xn1 x n1 xx n1.所以 xx 3x 2n1 nx n. ，得 1 xx 2x 2n(2n1)x n.(2)当 0x1 时，1xx 2 x n，同理可得结论综合(1)与(2)，所以当 x0 时，1xx 2x 2n(2 n1)x n.4设 0abc 且 abc1.试求 的最小值1a3（b c） 1b3（a c） 1c3（a b）解：令 S ，1a3（b c） 1b3（a c） 1c3（a b）则 S （abc）2a3（b c） （abc）2b3（a c） （abc）2c3（a b） bc ac ab.bca（b c） acb（a c） abc（a b）由已知可得： ，abacbc.1a（b c） 1b（a c） 1c（a b）所以 S ac ab bcbca（b c） acb（a c） abc（a b） .ca（b c） ab（a c） bc（a b）又 S ab bc acbca（b c） acb（a c） abc（a b） ，ba（b c） cb（a c） ac（a b）、两式相加得：2S 3 3.1a 1b 1c 31abc所以 S ，即 的最小值为 .32 1a3（b c） 1b3（a c） 1c3（a b） 32
