1、- 1 -辽宁省实验中学分校 2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教 B版数学学科（理） 高二年级 命题人 谷志伟 校对人 李慧一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）原命题：“设 ，若 ，则 ” 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有abc R a b ac bc（ ）个 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个（2）抛物线 的准线方程是 （ ）y14x（A） （B） （C） （D） y 1 y 1 x 1 x 1（3）已知 ， ，且 a (1)b (x) (oac(SUP7( ),
2、a) 2oac(SUP7( ),b)，则 （ ）(2oac(SUP7( ),a) oac(SUP7( ),b)（A） （B）x13y 1 x 12y 4（C） （D）x 2y 14 x 1y 1（4）设 ,pq是两个命题 ， ，则 p是 q的 （ ）p:log(|x| 3) 0q:6x 5x 1 0（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件（C） 充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件（5）在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为 2，则 （ a a 3 a a a）（A） 3 （B） 72 （C） 84 （D） 189（6）与椭圆 y21 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线
3、方程是 （ x24）（A） y21 （B） y21x24 x22（C） 1 （D） x2 1x23 y23 y22（7）已知 A、B、C 三点不共线，点 O为平面 ABC外的一点，则下列条件中，能得到 M平面ABC的充分条件是 （ ）（A） ； （B） ；OM12OA 12OB 12OC OM 13OA 13OB OC（C） ； （D） OM OA OB OC OM 2OA OB OC（8）已知 为等差数列， ， ， 是等差数列 的前 项和，则使得a a a a 105a a a 99 S a n达到最大值的 是 （ ） S n（A）21 （B）20 （C）19 （D）18（9）已知椭圆 的离
4、心率为 . 双曲线 的渐近线与椭圆 有四个交点，以这四xa yb 1 32 x y 1 C个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C的方程为 （ ）（A） （B）x8 y2 1 x12 y6 1- 2 -（C） （D）x16 y4 1 x20 y5 1（10）2011 年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域( x， y)|x0， y0内植树，第一棵树在点 A1(0,1)，第二棵树在点 B1(1,1)，第三棵树在点 C1(1,0)，第四棵树在点 C2(2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是 （ ）（A
5、）(13,44) （B）(12,44)（C）(13,43) （D）(14,43)（11）如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形， PD平面 ABCD，且PD AD1， AB2，点 E是 AB上一点，当二面角 P EC D的平面角为 时，4AE（ ）（A）1 （B） 12（C）2 （D）22 3（12）设 ， 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 ，F F xy4 1 P使 ，且 = ，则(oac(SUP7( ),OP) oac(SUP7( ),OFSDO(2) FP 0 |PF| |PF| 的值为 （ ） （A） （B） 13 12（C） （D）2 3二、填空题（本大题共
6、 4小题，每小题 5分，共 20 分）（13）命题“若 则 且 ”的逆否命题是 .a b 0 a 0 b 0（14）椭圆 的左右焦点分别为 ，焦距为 ，若直线 与E:xa yb 1(a b 0) FF 2c y 3(x c)椭圆 的一个交点 满足 ，则该椭圆的离心率等于_E M MFF 2 MFF（15）下列命题：（1）空间向量 ， 共线的充要条件是 ；（2）空间任意a b |a| |b| |a b|一点 和不共线的三点 满足 ，则 四点共面；（3）若两个平面的法O ABC OP 2OA 3OB 4OC PABC向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。其中正确的命题序号是_（16） 对于数列 ，定
7、义数列 为数列 的“差数列” ，若 a12， 的“差数列”a a a a a的通项为 2n，则数列 的前 n项和 Sn_.a- 3 -三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分）（17） （本小题满分 10分）已知命题 实数 满足 ，命题 实数 满足 ，若 是 的充分p: x x 4ax 3a 0(a 0) q: x x 6x 8 0 p q不必要条件，求 的取值范围。a（18） （本小题满分 12分）已知双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且双曲线 过点 ，则过点 能否作直C xy2 1 C M(2) A(1)线 ，使 与双曲线 交于 、 两点，且 是线段 的中点，这样的直线 如果存在，求出它
8、的l l C Q Q A QQ l方程；如果不存在，说明理由。（19） （本小题满分 12分）已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， , 底面 ，且P ABCD AB DC DAB 90 PA ABCD， ， 是 的中点。PA AD DC12AB 1 M PB（1）求异面直线 与 所成的角的余弦值；AC PB（2）证明： 面 ；CM PAD- 4 -（20）(本题满分 12分)已知数列 的各项均为正数， 为其前 项和，且对任意的 ，有a S n n N S32a 32（）求数列 的通项公式；a（）设 ，求数列 的前 项和 . b1logaloga b n T（21） （本小题满分 12分）如图，在
9、斜三棱柱 中，点 、 分别是 、 的中点， 平面 .已知ABC ABC O E AC AA AO ABC， .BCA 90 AA AC BC 2()证明： 平面 ；OE ABC()求异面直线 与 所成的角；AB AC()求 与平面 所成角的正弦值AC AAB（22） （本小题满分 12分）已知 分别是直线 和 上的两个动点，线段 的长为 ， 是 的中点AB y33x y 33x AB 2 3 P AB- 5 -（1）求动点 的轨迹 的方程；P C（2）过点 任意作直线 （与 轴不垂直） ，设 与（1）中轨迹 交于 ， 两点，与 轴交于Q(1) m x m C M N y点若 ， ，证明：+ 为
10、定值R RM MQ RN NQ- 6 -辽宁省实验中学分校 20132014学年度上学期期末考试（答案）数学学科 高二年级 命题人 谷志伟 校对人 李慧一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B B A C B B B D A D B二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）（13）若 或 ，则a 0 b 0 a b 0（14） 3 1（15）（16）2 n1 2 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分）代入点 ，得 双曲线 的方程为 4
11、分M(2) 2 Cx2 y4 1设点 坐标为 ，点 坐标为Q Q(xSDO(1) Q Q(xSDO(2)则 由点差法作差得x2 y4 1x2 y4 1) x x2 y y4(xSDO(1) xSDO(2)(xSDO(1) xSDO(2)2(ySDO(1) ySDO(2)(ySDO(1) ySDO(2)4 8ky yx x 4(xSDO(1) xSDO(2)2(ySDO(1) ySDO(2) 2分直线 的方程为 即 9分l y 1 2(x 1) y 2x 1- 7 -检验： x2 y4 1y 2x 1)化简得 2x 4x 5 0 4 4 2 5 0直线 与双曲线 无交点，故直线 不存在。 12
12、分l C l（19） （本小题满分 12分）已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， , 底面 ，且P ABCD AB DC DAB 90 PA ABCD， ， 是 的中点。PA AD DC12AB 1 M PB（1）求异面直线 与 所成的角的余弦值；AC PB（2）证明： 面 ；CM PAD解：以 为原点， ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系A ADAB AP x y z（1） ，PA AD DC12 AB 1 ， ， ,D(F(1,2)B(0) P(0)C(F(1,2) ,AC (F(1,2)PB (0) cos ACPB 105 异面直线 与 所成的角的余弦值为 6分AC P
13、B105（2） M(0) CM ( F(1,2)又 面 面 的法向量为AB PAD PAD AB (0) AB CM 0 面 面 12分CM PAD CM PAD（20）(本题满分 12分)已知数列 的各项均为正数， 为其前 项和，且对任意的 ，有a S n n N S32a 32（）求数列 的通项公式；a（）设 ，求数列 的前 项和 . b1logaloga b n T解：（1）由已知得 32nS，当 2时， 1132nnSa； - 8 - 1132nnSa，即 132nna，当 2时， 13na；数列 为等比数列，且公比 q； （3 分）又当 时， 1，即 1， 13a； 3na. （6
14、分）（2） 33loglnn， 3311logl()nnnban ；（9 分） nb的前 项和1111()()()234nTn.（12 分）（21） （本小题满分 12分）如图，在斜三棱柱 中，点 、 分别是 、 的中点， 平面 .已知ABC ABC O E AC AA AO ABC， .BCA 90 AA AC BC 2()证明： 平面 ；OE ABC()求异面直线 与 所成的角；AB AC()求 与平面 所成角的正弦值AC AAB解法一：()证明：点 O、 E分别是 1CA、1A的中点， 1/CE ，又 平面 1B， 平面 1CAB， O平面 B 4分() A平面 1， 1CAO，又 11
15、，且 OA1， 1C平面 ， 1B 6分又 ， 四边形 为菱形，BO1 1C1E- 9 - 11AC，且 11BC A平面 1CB， ，即异面直线 与 所成的角为 90 8分() 设点 1到平面 1的距离为 d， 11BACBAV，即 323AOCBS 1BA 10分又在 1中， 21， S 1AB7 7d， 1与平面 1所成角的正弦值 2 12分解法二：如图建系 xyzO， (0,3)A，11(0,)(,)2AE，,C，1(20)B，,3 2分() OE)2,0(， )3,10(AC， 12OEAC，即 1/E，又 平面 1B， 平面 1B， /平面 1B 6分() )3,(1A， )3,0
16、(， 01，即 1，异面直线 与 C1所成的角为 9 8分()设 1与平面 B所成角为 ， ),2(1CA，1(2,0)(,3)ABA设平面 1的一个法向量是 (,)nxyz则 1,0nA即203.y不妨令 x，可得 (1,)， 10分CBO1A1C1BExyz- 10 - 121sinco,73ACn， 1与平面 1B所成角的正弦值 12分（22） （本小题满分 12分）已知 分别是直线 和 上的两个动点，线段 的长为 ， 是 的中点AB y33x y 33x AB 2 3 P AB（1）求动点 的轨迹 的方程；P C（2）过点 任意作直线 （与 轴不垂直） ，设 与（1）中轨迹 交于 ， 两点，与 轴交于Q(1) m x m C M N y点若 ， ，证明：+ 为定值R RM MQ RN NQ解：（1）设 ),(yx， ),(1yA， ),(2yB P是线段 B的中点， 12.xy A、 分别是直线 3x和 3x上的点， 113yx和 223yx12,.3xyy3分又 AB， 12)()(121yx 241yx，动点 P的轨迹 C的方程为 219xy 5 分（2）依题意，直线 l的斜率存在，故可设直线 l的方程为 ()kx6 分设 ),(3M、 ),(4yN、 ),0(5yR，则 、 两点坐标满足方程组 .19,2xk消去 y并整理，得 2(1)80k， 8 分
