1、学业质量标准检测 (解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC 中，已知 2a2c 2( bc) 2，则A 的值为( D )2A30 B45C120 D135解析 由已知得 2a2c 22b 2c 22 bc，2a2b 2c 2 bc，b 2c 2a 2 bc，2 2又 b2c 2a 22bc cosA，2bccosA bc， cosA ，A135.2222在首项为 81，公差为7 的等差数列中，值最接近零的项是( C )A第 11 项 B第 12 项C第 13 项 D第 14 项解析 由
2、 ana 1(n1)d，得 an7n88，令 an0，解得 n 12 .887 47而 a124，a 133，故 a13的值最接近零3在ABC 中，A60，a ，b4.满足条件的ABC( A )6A无解 B有一解C有两解 D不能确定解析 4sin60 2 ，3 12 B，则一定有( B )AcosA cosB Bsin AsinBCtan AtanB DsinA B，ab，由正弦定理，得 sinAsinB，故选 B6已知等腰三角形 ABC 的腰长为底长的 2 倍，则顶角 A 的正切值是( D )A B32 3C D158 157解析 不妨设ABC 的底边 BCa，则 ABAC2 a，由余弦定理
3、，得 cosA .2a2 2a2 a222a2a 78则 sinA .1 cos2A158故 tanA .sinAcosA 1577已知数列a n中，a 11，以后各项由公式 a1a2a3ann 2 给出，则 a3a 5 等于( C )A B259 2516C D6116 3115解析 由 a1a24，得 a2 4，由 a1a2a33 2，得 a3 .94a1a2a3a44 2，又 a1a2a3a4a55 2，4 2a55 2，a5 ， a3a 5 .2516 94 2516 61168在ABC 中，A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，且 abc，a 20，Abc， ABC又 A BC ，
4、A ，故选 C392 4 8 1 024 等于( A )12 14 18 11 024A2 046 B2 0071 0231 024 1 0231 024C1 047 D2 04611 024 11 024解析 2 4 8 1 02412 14 18 11 024(2481 024)( )12 14 18 11 024 2 1121( )1021 2101 2121 12101 12 122 046 2 046 2 046 .210 1210 1 0231 024 1 0231 02410设 f(n)2 2 42 72 10 2 3n10 (nN *)，则 f(n)等于( D )A (8n1)
5、 B (8n1 1)27 27C (8n3 1) D (8n4 1)27 27解析 解法一：令 n0，则 f(n)22 42 72 10 (841)，21 2341 23 21 841 8 27对照选项，只有 D 成立解法二：数列 2,24,27,210，2 3n10 是以 2 为首项，8 为公比的等比数列，项数为n4，f(n) (8n4 1)21 8n 41 8 2711如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45，若 CD50 m，山坡对于地平面的坡角为 ，则 cos
6、 等于( C )A B232 3C 1 D322解析 在 ABC 中，由正弦定理可知，BC 50( )ABsinBACsinACB 100sin15sin45 15 6 2(米) 在BCD 中，sinBDC 1.BCsinCBDCD 50 6 2sin4550 3由题图，知 cossinADE sinBDC 1.312若ABC 的三边为 a、b、c，f(x)b 2x2(b 2c 2a 2)xc 2，则函数 f(x)的图象( B )A与 x 轴相切 B在 x 轴上方C在 x 轴下方 D与 x 轴交于两点解析 函数 f(x)相应方程的判别式 (b 2c 2a 2)24b 2c2(2bccosA)
7、24b 2c24b 2c2(cos2A1)00，( )( ) ，an 1 an an 1 an an 1 an 1.an 1 an数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列an(2)由(1)知 1n1n，anann 2.19(本题满分 12 分)在ABC 中，a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边，若 m(cos 2，1)，n(cos 2(BC)，1)，且 mn.A2(1)求角 A；(2)当 a6，且ABC 的面积 S 满足 时，求边 c 的值和ABC 的面3a2 b2 c24S积解析 (1)因为 mn，所以 cos2(BC)cos 2 cos 2A cos2 cos 2A 0，A2 A2
8、 cosA 12即 2cos2AcosA10，(2cosA1)(coaA1)0.所以 cosA 或 cosA1(舍去)，因为 0A180，所以 A120.12(2)由 及余弦定理，得 tanC ，因为 0C180，所以 C30，所以3a2 b2 c24S 33B18012030 30.又由正弦定理 ，得 c 2 .asinA csinC 6sin30sin120 3所以ABC 的面积 S acsinB 62 sin303 .12 12 3 320(本题满分 12 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn an1(nN *)32(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn2log 3
9、1，求 .an2 1b1b2 1b2b3 1bn 1bn解析 (1)当 n1 时，a 1 a11，a 12.32Sn an1， 32Sn1 an1 1(n2)， 32得 an( an1) ( an1 1)，即 an3a n1 ，32 32数列 an是首项为 2，公比为 3 的等比数列，an23 n1 .(2)由(1)得 bn2log 3 12n1，an2 1b1b2 1b2b3 1bn 1bn 113 135 12n 32n 1 (1 )( )( ) .12 13 13 15 12n 3 12n 1 n 12n 121(本题满分 12 分)已知 A， B，C 为ABC 的内角，tanA，tan
10、B 是关于方程x2 pxp10(pR)的两个实根3(1)求 C 的大小；(2)若 AB3，AC ，求 p 的值6解析 (1)由题意知方程 x2 pxp10 的判别式 ( p)24( p1)3 33p 24p40，所以 p2，或 p .23由韦达定理，有 tanAtanB p，tanAtanB 1p，3所以 1tanAtanB1(1p)p0，从而 tan(AB) .tanA tanB1 tanAtanB 3pp 3所以 tanCtan(AB) ，3所以 C60.(2)由正弦定理，得 sinB ，ACsinCAB 6sin603 22解得 B45 或 B135(舍去 )于是，A180BC75.则
11、tanAtan75tan(4530) 2 ，tan45 tan301 tan45tan301 331 33 3所以 p (tanAtanB) (2 1)1 .13 13 3 322(本题满分 12 分)用分期付款的方式购买一批总价为 2 300 万元的住房，购买当天首付 300 万元，以后每月的这一天都交 100 万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为 1%.若从首付 300 万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10 个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？解析 购买时付款 300 万元，则欠款 2 000 万元，依题意分 20 次付清，则每次交付
12、欠款的数额依次购成数列a n，故 a11002 0000.01120(万元) ，a2100(2 000100)0.01119(万元) ，a3100(2 0001002)0.01118(万元) ，a4100(2 0001003)0.01117(万元) ，an1002 000100(n1)0.01121n(万元) (1 n20，nN *)因此a n是首项为 120，公差为1 的等差数列故 a1012110111(万元)，a2012120101(万元)20 次分期付款的总和为S20 2 210( 万元)a1 a20202 120 101202实际要付 3002 2102 510(万元) 即分期付款第 10 个月应付 111 万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付 2 510 万元
