1、限时检测提速练 (十三) 大题考法不等式选讲A 组1已知函数 f(x)2|x 1|a，g( x)| x|(1)若 a0，解不等式 f(x)g( x)；(2)若存在 xR，使得不等式 f(x)2g(x)成立，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a0，由 f(x)g( x)得 2|x1|x |，两边平方得(3x2)( x2)0，所以所求不等式的解集为Error!(2)由 f(x)2g(x )，得 2|x1|a2|x |；即存在 xR，使得 2|x1| 2|x| a 成立因为|x1| |x|1，所以 a22(2018石嘴山二模)已知函数 f(x)| x1|2| x1|的最大值为 k(1)k 的值；(
2、2)若 a，b，cR， b 2k，求 b(ac) 的最大值a2 c22解：(1)由于 f(x)|x 1| 2|x1|Error! 由函数 f(x)的图象可知 kf(x )maxf(1)2(2)由已知 b 22，有(a 2b 2)(b 2c 2)4，a2 c22因为 a2b 22ab(当 ab 时取等号 )，b 2c 22bc (当 bc 时取等号) ，所以(a 2b 2)( b2c 2)42(abbc )，即 abbc2，故 b(ac) 的最大值为 23(2018东莞二模)已知 mn9，f(x)|xm | xn|，且对任意的 xR，f(x)M恒成立(1)求实数 M 的取值范围；(2)若正实数
3、a，b 满足 a2b 2M max，求证(ab)(a 3b 3)81解：(1)f( x)| xm| |x n|(xm) (xn)|m n|9，M9，实数 M 的取值范围为( ，9(2)依题意，a 2b 29要证(ab)(a 3 b3)81，即证(ab)( a3b 3)(a 2b 2)2，即证 a4ab 3a 3bb 4a 42a 2b2b 40，即证 ab(ab) 20，此式显然成立，原不等式成立4(2018大庆二模)已知函数 f(x)| x1| x2|(1)求不等式 f(x)5 的解集；(2)当 x0,2 时，不等式 f(x)x 2xa 恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)由题意知，需解
4、不等式|x1| |x2| 5.当 x1 时，式化为2x15，解得 x2；当1x2 时，式化为 35，无解；当 x2 时，式化为 2x15，解得 x3f(x)5 的解集为x| x2 或 x3 (2)当 x0,2 时， f(x)3，则当 x0,2，x 2xa3 恒成立设 g(x)x 2xa，则 g(x)在 0,2上的最大值为 g(2)2ag(2) 3，即 2a3，得 a1实数 a 的取值范围为1，) B 组1(2018商丘二模)已知函数 f(x)| x2|2| x1|(1)求不等式 f(x)4 的解集；(2)若不等式 f(x)2m 27m 4 对于xR 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)依题
5、意，f (x)|x 2| 2|x1|Error!故不等式 f(x)4 的解集为(，0) (83， )(2)由(1)可得，当 x1 时，f(x)取最小值 1，f(x)2m 27m4 对于xR 恒成立，f(x)min2m 27m4，即 2m27m 41，2m27m30，解之得 m 3，12实数 m 的取值范围是Error!2(2018辽宁三模)已知函数 f(x)a| x2a|(aR)(1)若 a2，解不等式 f(x)3；(2)若 a0，求函数 f(x)在区间1,2上的最大值和最小值解：(1)若 a2，则 f(x)3 即为 2|x4| 3，所以|x4| 1，所以 x41 或 x41，所以 x3 或
6、x5，故不等式 f(x)3 的解集为(，3 5，) (2)当 a0 时，f (x)a|x 2a|Error!讨论：当 22a 即 a1 时， f(x)maxf( 1) 3a1，f(x) minf(2)3a2；当 02a24a1 即 a1 时，14f(x)maxf( 1) 3a1，f(x) minf(2a) a；当 24a1 且 a0 即 0a 时，14f(x)maxf(2)2 a，f(x )minf (2a)a3(2018资阳二模)已知函数 f(x)| x| x2|(1)解不等式 f(x)4；(2)若正实数 a，b 满足 ab ，试比较 a2 与 f(x)3 的大小，并说明理由5b24解：(1
7、)由题知| x|x2|4，当 x2 时，2x 24，解得 x3；当2x0 时，24，矛盾，无解；当 x0 时，2x 24，x 1；所以该不等式的解集为x| x3 或 x1 (2)因为|x| |x2|xx 2| 2，当且仅当2x0 时，取“” ，所以 f(x)|x| x2| 2 ，即 f(x)31又 a2 2 b5 5 211b24 5b24 5 54(b2 855b) 54(b 455)当且仅当 a ，b 时取等号55 455所以 a2 f(x )3b244(2018枣庄二模)已知函数 f(x)|3 xa|(1)当 a4 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)设函数 g(x)|x1| ，当
8、x R 时，f(x)g( x)1 恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a4 时，f (x)|3x4|. 由|3x4|3，解得 x 13 73所以，不等式 f(x)3 的解集为Error!(2)f(x)g(x) |3x a|x 1|3 |x1|(x a3)2| x |x | x1|a3 a3|x |x1|a3 (当 且 仅 当 x a3时 取 等 号 )| ( x1)| 1|(x a3) a3(当 且 仅 当 (x a3)x 1 0时 取 等 号 )综上，当 x 时，f( x)g( x)有最小值| 1|a3 a3故由题意得| 1|1，解得 a6，或 a0a3所以，实数 a 的取值范围为(，6) (0，)
