1、2017 年高三模拟考试理科数学2017.03本试卷分第 I 卷和第卷两部分，共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡并交回。注意事项： 1答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求
2、作答的答案无效。4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 I 卷(共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 ，则M=0,1,2,N=x|1x1,xZA. B. C. D. MN NM MN=0,1 MN=N【答案】C【解析】【分析】化简集合 N，根据交集的定义写出 MN 即可【详解】集合 M0，1，2，Nx|1x1，xZ1，0，1，则 MN0，1,结合选项，故选：C【点睛】本题考查集合的化简与运算问题，是基础题目2.已知复数 的实部和虚部相等，则z=3bi2+i(bR)
3、 |z|=A. B. C. 3 D. 232 22【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出 z i，由实部和虚部相等，求得 b 由此能=6-b5+2b-35求出|z|【详解】z =3-bi2+i=(3-bi)(2-i)4-i2=6-2bi-3i+bi25i，=6-b5-2b+35复数 z （bR）的实部和虚部相等，=3-bi2+i ，6-b5=-2b+35解得 b-9z ，=3+3i|z| = (3)2+(3)2=32故选:A.【点睛】本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的乘除运算, 是基础题3.“ ”是“ ”的（ ）log2(2x3)8A. 充分不必要条件 B. 必要
4、不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：左边： ， ，则 ， ，即log2(2x3)0 328 22x23 x32 AB=1,0,1，又因为 ，所以 是 的充分不必要条件，故选4x8x32 (32,52)(32,+) log2(2x3)8A.考点：1、充要条件；2、对数不等式与指数不等式的解法.4.函数 的图象大致为y=x2+ln|x|A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过函数的奇偶性排除选项，利用特殊值对应点判断选项即可【详解】函数 yx 2+ln|x|是偶函数，排除选项 B、C，当 x 时，y ，x0 时，函数是增函数，排除 D=
5、1e =1e2-1 0故选：A【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性特殊值是判断函数的图象的常用方法5.函数 的部分图象如图所示，为了得到f(x)=Acos(x+)(A0,0,0,b0) A,B 为 上一点，且 轴， 过点 的直线与线段 交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与P PFx A PF M y E BM轴交于点 ，若 ，则 的离心率为y N |OE|=2|ON| A. B. C. D. 3 232 43【答案】A【解析】分析：利用相似三角形的性质可得 ， ，结合|MF|=|EO|FA|OA| =|EO|(ca)a |MF|=|NO|FB|OB| =|NO|(c+a
6、)a可得结果 .|OE|=2|ON|详解：由直角三角形的性质可得 ，MFAEOA则 ，即|MF|FA|=|EO|OA|；|MF|=|EO|FA|OA| =|EO|(ca)a同理 ，MFBNOB，|MF|=|NO|FB|OB| =|NO|(c+a)a所以 ，又 ，|EO|(ca)a =|NO|(c+a)a |EO|=2|ON|所以 ，整理，得 ，故选 A.2(ca)=a+cca=e=3点睛：本题主要考查双曲线的简单性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构a,c造 的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定
7、义来求解a,c10.曲线 的一条切线 l 与 轴三条直线围成的三角形记为 ，则y=x2+4x y=x,y OAB外接圆面积的最小值为OABA. B. C. D. 82 8(32) 16( 21) 16(22)【答案】C【解析】【分析】设直线 l 与曲线的切点坐标为（ ） ，求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直x0,y0线 yx 求得 A 的坐标，与 y 轴的交点 B 的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得 AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值【详解】设直线 l 与曲线的切点坐标为（ ） ，x0,y0函数 的导数为 y=x2+4x y=x2-4x2则直线
8、 l 方程为 ，即 ，y-x20+4x0=x20-4x20(x-x0) y=x20-4x20x+8x0可求直线 l 与 yx 的交点为 A（ ） ，与 y 轴的交点为 ，2x0,2x0 B(0，8x0)在OAB 中， ，|AB|2=4x20+(2x0-8x0)2=8x20+64x20-3232( 2-1)当且仅当 22 时取等号x0 2由正弦定理可得OAB 得外接圆半径为 ，r=12|AB|sin45=22|AB|则OAB 外接圆面积 ，S=r2=12|AB|216( 2-1)故选：C【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，同时考查正弦定理的运用，基本不等式的运用：求最值，
9、以及化简整理的运算能力，属于中档题第 II 卷(共 100 分)二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11.设 的值为_(2x2+1)5=a0+a1x2+a2x4+ +a5x10，则 a3【答案】 80【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可.【详解】由题 ,令 10-2r=6,得 r=2,Tr+1=Cr5(2x2)5-r=Cr525-rx10-2r a3=C2523=80故答案为 80【点睛】本题考查二项式定理，是基础题.12.设随机变量服从正态分布 ,若 ,则 N(2,9) P(c+1)=P(1 1+12+1732 1+12+13+1152则按此规律可猜想此类不
10、等式的一般形式为：【答案】【解析】观察各式左边为 的和的形式，项数分别为 3,7,15， 可猜想第 n 个式子中左边应有2n1 1 项，不等式右边分别写成 ， ， ，猜想第 n 个式子中右边应为 ，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1 (nN *)15.在 ，点 M 是 外一点，BM=2CM=2，则 AMABC中 ，A=3，且 (AB+AC)BC=0 ABC的最大值与最小值的差为_【答案】 2【解析】【分析】取边 BC 的中点为 O，把（ ） 0 转化为 0，得出 ，ABC 为AB+AC BC= AOBC= AO BC等边三角形，以 O 为坐标原点，以 BC 边所在的直线为 x 轴，建立平
11、面直角坐标系，利用坐标表示得出 AM 的解析式，求出它的最大值与最小值即可【详解】取边 BC 的中点为 O，则 （ ） ，AO=12 AB+AC又（ ） 0， 0，AB+AC BC= AOBC= ，ABC 为等腰三角形，AO BC又A ，ABC 为等边三角形，=3以 O 为坐标原点，以 BC 边所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系如图所示；并设 BC2a（ a ） ，点 M（x，y） ；12 32则 A（0， a） ，B（a，0） ，C（a，0） ，3又 BM2CM2，所以（x+a） 2+y24（xa） 2+y21，所以解方程组 ，(x+a)2+y2=4(x-a)2+y2=1 解得 或 ，
12、x=34ay= 1-(34a-a)2 x=34ay=- 1-(34a-a)2 所以当 时，x=34ay= 1-(34a-a)2 AM= (34a)2+ 3a- 1-(34a-a)22= (34a)2+3a2+1-(34a-a)2-23 a2-(34-a2)2= 2a2+52-23 -a4+52a2-916，= 2a2+52-23 1-(a2-54)2令 a2 cos，-54=则 AM ，= 5+2cos-23sin= 5-4sin(-6)所以当 时（AM） min1，=23同理当 时，x=34ay=- 1-(34a-a)2 AM ，= 2a2+52+23 1-(a2-54)2= 5+2cos+
13、23sin= 5+4sin(+6)所以当 时（ AM） max3；=3综上可知：AM 的取值范围是1，3，AM 的最大值与最小值的差是 2故答案为：2【点睛】本题考查三角函数与平面向量的综合应用，也考查了数形结合与逻辑推理以及计算能力的应用问题，是难题，突破点是求最值三角换元的引入.AM= 2a2+52-23 1-(a2-54)2三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分16.已知函数 f(x)= 3sin2x2cos2x1,xR(I)求函数 的最小正周期和最小值；f(x)(II)在 中， A，B，C 的对边分别为 ，已知 ，求ABC a,b,c c= 3,f(C)=0,sinB=2sinA
14、a， b 的值【答案】() 的最小正周期 ,最小值为-4; () .f(x) T=22= a=1,b=2【解析】【分析】(I)由三角恒等变形化简 f(x)= 即可求解；() 得 ,再由正余弦2sin(2x-6)-2, f(C)=0， C=3定理得 a 的方程即可求.【详解】()，所以 的最小正周期 ,最小值为 . ()因为 所以 .f(C)=2sin(2C-6)-2=0,又 所以 ，得 .因为 ，由正弦定理得 ，由余弦定理得， ，又 c= a，所以 .3 a=1,b=2【点睛】本题考查三角恒等变换，正余弦定理，是中档题.17.一袋中有 7 个大小相同的小球，其中有 2 个红球，3 个黄球，2
15、个蓝球，从中任取 3 个小球(I)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取 1 个的概率；(II)设 X 表示取到的蓝色小球的个数，求 X 的分布列和数学期望【答案】() ; ()见解析.1235【解析】【分析】（）利用 P 即可得出=12131237（II）X 可能取 0，1，2P（Xk） ，即可得出分布列与数学期望=k23-k537【详解】 （） =p=C12C13C12C37 1235（II）X 可能取 0,1,2.X 的分布列X 0 1 2P【点睛】本题考查了超几何分布列的概率计算公式、数学期望，考查了推理能力与计算能力了，属于中档题18.如图，棱形 与正三角形 的边长均为 2，它们所在平面互相
16、垂直，BCE，且 FD平 面 ABCD FD= 3（1）求证： ；EF平 面 ABCD（2）若 ，求二面角 的余弦值CBA=60 AFBE【答案】 （）详见解析；（）二面角 的余弦值是 AFBE 78【解析】试题分析：（1）依据线面平行的判定定理，需要在平面 找到一条直线与直线平行即可因为平面 平面 ，则过点 作 于 ，连接 ，证明四边形 为平行四边形即可；（2）由（1）知 平面 ，又， 为等边三角形， ，分别以 所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系 ，分别求出平面 和平面 的法向量即可试题解析：（1）如图，过点 作 于 ，连接 ， ，可证得四边形 为平行四边形， 平面（2）连接 ，由（1）
17、 ，得 为 中点，又 ， 为等边三角形，分别以 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面 的法向量为 ，由 即 ，令 ，得设平面 的法向量为由 即 ，令 ，得所以 ，所以二面角 的余弦值是考点：（1）线面平行的判定定理；（2）利用空间向量求二面角19.已知数列 满足 ， ，其中 .an a1=1 an+1=114an nN+（1）设 ，求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式；bn=22an1 bn an（2）设 ，数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 对于cn=4ann+1 cncn+2 n Tn m Tn0 m3 m小值为 .3【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方
18、法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：；1n(n+k)=1k(1n1n+k) 1n+k+n； ；=1k( n+kn) 1(2n1)(2n+1)=12( 12n112n+1) ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多1n(n+1)(n+2)=12 1n(n+1) 1(n+1)(n+2)项的问题，导致计算结果错误.20.已知左、右焦点分别为 的椭圆 过点 ，且椭F1(c,0),F2(c,0) C:x2a2+y2b2=1(ab0) ( 3, 32)圆 C 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点(I)求椭圆 C 的离心率和标准
19、方程。(II)圆 与椭圆 C 交于 A,B 两点，R 为线段 AB 上任一点，P1:(x+437)2+(y337)2=r2(r0)直线 交椭圆 C 于 P，Q 两点，若 AB 为圆 的直径，且直线 的斜率大于 1，求F1R P1 F1R的取值范围|PF1|QF1|【答案】() . ; () .【解析】【分析】（）利用椭圆 C 过点 ，椭圆 C 关于直线 xc 对称的图形过坐标原点，推出( 3，32)a2c，然后求解椭圆 C 的离心率，标准方程（）设 A（ ） ，B（ ） ，利用中点坐标公式以及平方差法求出 AB 的斜率，得到直x1，y1 x2,y2线 AB 的方程，代入椭圆 C 的方程求出点的
20、坐标，设 F1R：yk（x+1） ，联立 ，y=k(x+1)x24+y23=1 设 P（x 3，y 3） ，Q（x 4，y 4） ，利用韦达定理，结合 ，|PF1|= 1+k2|x3+1|，化简|PF 1|QF1|，通过 ，求解|PF 1|QF1|的取值范围|QF1|= 1+k2|x4+1| k 3【详解】()椭圆 过点 ， ，椭圆 关于直线 对称的图形过坐标原点， ， ， ，由得 ， ，椭圆 的离心率 ，标准方程为 .5 分e=12 x24+y23=1()因为 为圆 的直径，所以点 为线段 的中点，P1 AB设 ， ，则， ，又 ，所以 ，则 ，故，则直线 的方程为 ，即 .代入椭圆 的AB
21、 C方程并整理得 ，则 ，故直线 的斜率 .设 ，由 ，得 ，设 ， ，则有 ， .又 ， ，所以 = ，因为 ，所以 ，即 的取值范围是 .13 分(94,125【点睛】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及平方差法的应用，是难题.21.设 (e 为自然对数的底数)， f(x)=xex g(x)=(x+1)2(I)记 ，讨论函 单调性；F(x)=f(x)g(x) F(x)(II)令 ，若函数 G(x)有两个零点G(x)=af(x)+g(x)(aR)(i)求参数 a 的取值范围；(ii)设 的两个零点，证明 x1,x2是 G(x) x1+x2+20
22、; (ii)见解析【解析】【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（） （i）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，根据函数的零点的个数，求出 a 的范围即可；（ii）根据 a 的范围，得到 ，令 m0 ，得到 F （-1+m）F（1m）x1ex1(x1+1)2= x2ex2(x2+1)2=-1a（ e2m+1） ，再令 （m） e2m+1，根据函数的单调性证明即可=m+1m2em+1 m-1m+1 =m-1m+1【详解】 （） ，所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增 （）由已知， ，当 时， ，有唯一零点 ； 当 时， ，所以当 时， ， 减；
23、当 时， ， 增所以 ，因 ，所以当 时， 有唯一零点；当 时， ，则 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以， ， ，且 ，当 ， 时，使 ，取 ，则 ，从而可知当 时， 有唯一零点，即当 时，函数 有两个零点 当 时， ，由 ，得 ，或 若 ，即 时， ，所以 是单调减函数，至多有一个零点； 若 ，即 时， ，注意到 ，都是增函数，所以当 时， ， 是单调减函数；当 时， ， 是单调增函数；当 时， ， 是单调减函数又因为 ，所以 至多有一个零点； 若 ，即 时，同理可得当 时， ， 是单调减函数；当 时， ， 是单调增函数；当 时， ， 是单调减函数又因为 ，所以 至多有一个零点综上，若函数 有两个零点，则参数 的取值范围是 由 知，函数 有两个零点，则参数 的取值范围是 ， 是 的两个零点，则有，因 ，则 ，且 ， ， ， ，由（）知，当 时， 是减函数；当 时， 是增函数令 ，再令 （m） e2m+1e 2m 1， ，=m-1m+1 -2e2mm+1-，所以 ，又 ，所以时， 恒成立，即恒成立，令 ，即 ，有 ，即，因为 ，所以 ，又 ，必有 ，又当 时， 是增函数，所以 ，即【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题.
