1、加课练(1) 函数的图象与性质A 组 基础题组1.下列函数中,是奇函数且在(0,1)内是减函数的是( ) f(x)=-x 3;f(x)= ;f(x)=-sin x;f(x)=xe |x|.(12)|A. B. C. D.答案 A 对于, f(-x)=-(-x) 3=x3=-f(x),且在(0,1)内,若 x1f(x2),故满足题意;对于, f(-x)= = =f(x),则 f(x)是偶函数,故不满足题意;对于, (12)|-|(12)|f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),且在(0,1)内,若 x1f(x2),故满足题意;对于, f(-x)=-xe |-x|=-xe|x|=-f
2、(x),但 f(x)在(0,1)内是增函数,故不满足题意.综上,选 A.2.(2019四川成都模拟)定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f =f(x),当 x 时, f(x)(+32) (0,12=lo (1-x),则 f(x)在区间 上是( )g12 (1,32)A.减函数且 f(x)0 B.减函数且 f(x)0 D.增函数且 f(x)0,又函数 f(x)为奇(0,12 g12函数,所以在区间 上函数 f(x)也单调递增,且 f(x)0,所以函12 (0,2)数 y=sin x-在区间 上是增函数,排除 A,C.故选 B.(0,2)4.若定义在 R上的函数 f(x)存在有限个非零自变量 x,
3、使得 f(-x)=f(x),则称 f(x)为类偶函数.下列函数中为类偶函数的是( )A.f(x)=cos x B.f(x)=sin xC.f(x)=x2-2x D.f(x)=x3-2x答案 D A 中函数为偶函数,则在定义域内均满足 f(x)=f(-x),不符合题意;B 中,当x=k(kZ)时,满足 f(x)=f(-x),不符合题意;C 中,由 f(x)=f(-x),得 x2-2x=x2+2x,解得x=0,不符合题意;D 中,由 f(x)=f(-x),得 x3-2x=-x3+2x,解得 x=0或 x= ,满足题意,故选2D.5.(2018贵州贵阳第一学期检测)已知函数 f(x)= ,则下列结论
4、正确的是( )2-1A.函数 f(x)的图象关于点(1,2)中心对称B.函数 f(x)在(-,1)上是增函数C.函数 f(x)的图象上至少存在两点 A,B,使得直线 ABx 轴D.函数 f(x)的图象关于直线 x=1对称答案 A 因为 f(x)= = = +2,所以该函数图象可以由 y=的图象向右2-12(-1)+2-1 2-1平移 1个单位长度,向上平移 2个单位长度得到,所以函数 f(x)的图象关于点(1,2)中心对称,A 正确,D 错误;易知函数 f(x)在(-,1)上单调递减,故 B错误.易知函数 f(x)的图象是由 y=的图象平移得到的,所以不存在两点 A,B使得直线 ABx 轴,C
5、 错误.故选 A.6.已知函数 f(x)为偶函数,且函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y=x对称,若 g(3)=2,则 f(-2)= . 答案 3解析 因为函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y=x对称,且 g(3)=2,所以 f(2)=3.因为函数f(x)为偶函数,所以 f(-2)=f(2)=3.7.使 log2(-x)0,0,=0,2+mx,x0,所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以 x -1,-2 1,故实数 a的取值范围是(1,3.10.已知函数 f(x)=|x|(x-a),a0.(1)作出函数
6、 f(x)的图象;(2)写出函数 f(x)的单调区间;(3)当 x0,1时,由图象写出 f(x)的最小值.解析 (1)f(x)= 其图象如图所示 .(-), 0,-(-),1,即 a2时,所求最小值 f(x)min=f(1)=1-a;当 02).B 组 提升题组1.已知函数 f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 f 的值是( )(2 0172 )A. B.1C.0D.2 0172 0172答案 C xf(x+1)=(1+x)f(x)等价于 = ,(+1)+1 ()所以函数 y= 是 T=1的周期函数 ,()所以 = ,化简
7、为 f =-f ,(-12)-12(12)12 (-12) (12)又因为 y=f(x)是偶函数,所以 f =f ,(-12) (12)所以 f =0,所以 = =2f =0,(12)(2 0172 )2 0172(12)12 (12)即 f =0.(2 0172 )2.设 f(x)是定义在 R上的偶函数,其图象关于直线 x=1对称,对任意 x1,x2 ,都有0,12f(x1+x2)=f(x1)f(x2).(1)设 f(1)=2,求 f , f ;(12) (14)(2)证明:f(x)是周期函数.解析 (1)由 f(x1+x2) =f(x1)f(x2),x1,x2 ,0,12知 f(x)=f
8、f 0,x0,1.(2) (2)f(1)=f =f f = , f(1)=2,(12+12) (12) (12)(12)2f = .(12)212f =f =f f = , f = ,f = .(12) (14+14) (14) (14)(14)2 (12)212 (14)214(2)证明:y=f(x)的图象关于直线 x=1对称,f(x)=f(2-x).又f(x)是 R上的偶函数,f(-x)=f(x),f(-x)=f(2-x),f(x)=f(2+x),f(x)是定义在 R上的周期函数,且 2是它的一个周期.3.函数 f(x)的定义域为 D=x|x0,且满足对于任意 x1,x2D,有 f(x1x
9、2)=f(x1)+f(x2).(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果 f(4)=1, f(x-1)2,且 f(x)在(0,+)上是增函数,求 x的取值范围.解析 (1)对于任意 x1,x2D,有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明:令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1),f(-1)= f(1)=0.令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x),f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.(3)依题设有 f(44)=f(4)+f(4)=2,由(2)知, f(x)是偶函数,f(x-1)2 等价于 f(|x-1|)f(16).又 f(x)在(0,+)上是增函数,0|x-1|16,解得-15x17 且 x1,x 的取值范围是x|-15x17 且 x1.
