1、课时作业 62 不等式的证明基础达标12018江苏卷 若 x，y，z 为实数，且 x2y 2z6，求x2y 2z 2的最小值证明：由柯西不等式，得(x 2y 2z 2)(122 22 2)(x2y 2z) 2.因为 x2y2z6，所以 x2y 2z 24，当且仅当 时，等号成立，x1 y2 z2此时 x ，y ，z ，23 43 43所以 x2y 2z 2的最小值为 4.22019云南大理模拟 已知函数 f(x)|x| x3|.(1)解关于 x 的不等式 f(x)5x ；(2)设 m，ny|y f( x)，试比较 mn4 与 2(mn)的大小解析：(1) f(x)|x|x 3|Error!f(
2、x)5x ，即 Error!或Error! 或Error!解得 x 或 x或 x8，23所以不等式的解集为 8， )( ， 23(2)由(1)易知 f(x)3，所以 m3，n3.由于 2(mn) (mn4)2mmn2n4(m2)(2 n)且 m3，n3，所以 m20,2 n0，即(m2)(2n)0，所以 2(mn)mn4.32019河北省 “五个一名校联盟”高三考试已知函数 f(x)|2 x 1|，x R.(1)解不等式 f(x)|x| 1；(2)若对 x， yR，有|xy1| ，|2 y1| ，求证：f (x)1.13 16解析：(1) f(x)|x|1 ，|2x1| x|1，即Error!
3、或Error!或Error!得 x2 或 0x 或无解12 12故不等式 f(x)|x|1 的解集为x |0x2(2)证明： f(x)|2x1| |2(xy 1)(2y1)| |2( xy1)|2 y1|2|x y1|2 y1| 2 1.13 16 5642019安徽省知名示范高中质检 已知 x，y，z， 均为正实数(1)求证： ；x2 y2x y1 (2)若 xyz1，求证： x2 2xy 5y2 y2 2yz 5z22 .z2 2zx 5x2 2证明：(1) 要 证 ，即证(1)(x 2y 2)( xy) 2，x2 y2x y1 而(1 )(x2y 2)( xy )2(x y) 20，当且
4、仅当 xy 时取等号，故原不等式成立(2)由(1)可得 x2 2xy 5y2 x y2 2y2x y 2y1 1(当且 仅当 xy 2y，即 xy 时取等号) ，x 3y2同理可得 (当且仅当 yz2z，即 yz 时y2 2yz 5z2y 3z2取等号) ， (当且仅当 zx 2x，即 xz 时取等z2 2zx 5x2z 3x2号)，所以 x2 2xy 5y2 y2 2yz 5z2 z2 2zx 5x2x 3y2 2 (xy z) 2 ，当且仅当 xyz 时取等号y 3z2 z 3x2 2 252019广州市普通高中毕业班综合测试已知函数 f(x)|2 x 1|2x 1|，不等式 f(x)2
5、的解集为 M.(1)求 M；(2)证明：当 a，bM 时，| ab| ab|1.解析：(1) f(x)2，即 |2x1| |2x1|2，当 x 时 ，得(2 x1)(12x)2，解得 x ，故12 12x ；12当 x 时，得 (2x1)(2x 1)2，即 22，故 x ；12 12 12 12当 x 时，得(2 x1) (2x1)2，解得 x ，故 x .12 12 12所以不等式 f(x)2 的解集 M .x| 12 x 12(2)证法一 当 a，bM 时， a ， b ，得12 12 12 12|a| ，|b| .12 12当(a b)(ab)0 时，|ab| ab|(ab)( ab)|
6、2| a|1，当(a b)(ab)0 时，|a b|ab|(ab)(ab)|2|b| 1，所以|ab| | ab|1.证法二 当 a，bM 时， a ， b ，得|a| ，|b| .12 12 12 12 12 12(|ab| ab|) 22( a2b 2)2|a 2b 2|Error!因为 a2 ，b2 ，所以 4a21,4b 21.14 14故(|ab| |ab|) 21 ，所以|ab| | ab|1.62019南昌模拟 已知函数 f(x)|x1| x2| 4.(1)求不等式 f(x)2 的解集 M；(2)若 a，b M，minA 表示数集 A 中的最小数，若 hmin，证明： hf (x
7、)2b， aa2 b2解析：(1) 由 题意得，Error!或Error!或Error!解得 x ，M x |x 12 12(2)证法一 由题意知，Error!h 2 ，2aba2 b2a 2b 22ab，当且仅当 ab 时等号成立，h 2 1，2aba2 b20h1.|x1|x2|(x1)( x2)|3，3|x 1|x2|3，f(x)1h，得证证法二 由 f(x)Error! 结合 f(x)的图象(图略) 可得 f(x)1.b ，2b1， 1，当且仅当 ab 时等号12 aa2 b2 a2ab 12b成立，h f(x)能力挑战7求证： 1 2 (nN *且 n2)32 1n 1 122 1n2 1n证明：k(k1)k 2k (k1)(k N *且 k2)， ，即 .1kk 1 1k2 1kk 1 1k 1k 1 1k2 1k 1 1k分别令 k 2,3，n 得 1 ，12 13 122 12 ，13 14 132 12 13 ，将这些不等式相加得1n 1n 1 1n2 1n 1 1n 1 12 13 13 14 1n 1n 1 122 132 1n2 12 12 13 ，即 1 ，1n 1 1n 12 1n 1 122 132 1n2 1n1 1 11 ，12 1n 1 122 132 1n2 1n即 1 2 (nN *且 n2)成立32 1n 1 122 132 1n2 1n
