1、课时作业 41 空间几何体的表面积和体积基础达标一、选择题1若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120，半径为 l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是( )A32 B21C 43 D53解析：底面半径 r l l，故圆锥中 S 侧 l2，S 表232 13 13 l2 2 l2，所以表面积与侧面积的比为 43.13 (13l) 49答案：C22019东北三省四市联考某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A122 B822 2C 44 D842 2解析：本题考查三视图及几何体的表面积由三视图可知，该几何体是底面为正方形，一条棱垂直于底面的四棱锥，其底面边长为 2，高为 2，故该四棱锥的表面积
2、为S222 222 22 84 ，故选 D.12 12 2 2答案：D32019益阳市，湘潭市高三调研如图，网格纸上小正方体的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是( )A. B.23 43C. D483解析：由三视图可得三棱锥为图中所示的三棱锥APBC(放到棱长为 2 的正方体中)，V APBC S13PBCAB 222 .故选 B.13 12 43答案：B42019开封市高三考试某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A. B.29 3C. D.163 169解析：由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为 120，即该几何体是某圆锥的三分之一
3、部分，又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2，所以该几何体的体积V 224 ，故选 D.13 13 169答案：D52019山东潍坊模拟某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A42 B443 2C 62 D643 2解析：由三视图还原几何体和直观图如图所示，易知 BC平面 PAC，又 PC 平面 PAC，所以 BCPC ，又APAC BC2，所以 PC 2 ，又 AB2 ，所22 22 2 2以 SPBC S PAB 22 2 ，S ABC S 12 2 2PAC 222，所以该几何体的表面积为 44 .12 2答案：B62018福州高三期末已知圆锥的高为 3，底面半径
4、为 ，3若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一球面上，则这个球的体积等于( )A. B. 83 323C 16 D32解析：设该圆锥的外接球的半径为 R，依题意得，R2(3 R) 2( )2，解得 R2，所以所求球的体积 V R334323 ，故选 B.43 323答案：B72018福州高三期末如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A14 B104 2C. 4 D. 4212 2 21 32 2解析：解法一 由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示所以该多面体的表面积 S2 (221 2) 2222(22 12
5、11) 12 12 ( )2 4 ，故选 D.212 32 2 21 32 2解法二 由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示所以该多面体的表面积 SS 三棱柱表 S 三棱锥侧 S 三棱锥底 3 2 2 222 21222 (1211) 12 32( )2 4 ，故选 D.221 32 2答案：D82019山西八校联考已知一个球的表面上有 A，B，C三个点，且 ABAC BC2 ，若球心到平面 ABC 的距离为31，则该球的表面积为( )A20 B15C 10 D2解析：设球心为 O， ABC 的中心为 O，因为ABAC BC2 ，所以 AO 3 2，因为球
6、心到平面323ABC 的距离为 1，所以 OO1，所以 AO ，故22 12 5该球的表面积 S4( OA)220.故选 A.答案：A92019石家庄摸底考试如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B.16 13 82 13C 8(21) D16(1)解析：由三视图得该几何体为圆锥与正四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为 2，高为 4，正四棱锥的底面边长为 2，高为 2，所以该几何体的体积为 222 22413 13，故选 B.16 83答案：B102019 南昌调研 已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 满
7、足 AB2 ，ACB90 ，PA 为球2O 的直径且 PA4，则点 P 的底面 ABC 的距离为( )A. B22 2C. D23 3解析：取 AB 的中点 O1，连接 OO1，如图，在ABC 中，AB2 ，ACB 90，所以ABC 所在小圆 O1是以 AB 为直2径的圆，所以 O1A ，且 OO1AO 1，又球 O 的直径2PA4，所以 OA2 ，所以 OO1 ，且 OO1OA2 O1A2 2底面 ABC，所以点 P 到平面 ABC 的距离为 2OO12 .2答案：B二、填空题112019 南昌模拟 如图，直角梯形 ABCD 中，AD DC，ADBC，BC 2CD2AD 2，若将直角梯形绕
8、BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为_解析：本题考查几何体的表面积所得几何体的表面积是底面圆半径为 1、高为 1 的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为 1、高为 1 的圆锥的侧面积之和，即为2 (3 ).2 2答案：(3 )2122019 山东潍坊模拟 已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为 12，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_解析：设正四棱柱的底面边长为 a，高为 h，球的半径为r，由题意知 4r212 ，所以 r23，又 2a2h 2(2r) 212，所以 a26 ，所以正四棱柱的体积 Va 2h h，则h22 (6 h22)V 6 h2，由 V 0，得 02，所以
9、32当 h2 时，正四棱柱的体积最大，V max8.答案：2132019 福州四校联考 已知三棱锥 ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上， AB 为球 O 的直径，若该三棱柱的体积为，BC 3，BD ，CBD90，则球 O 的体积为3 3_解析：设 A 到平面 BCD 的距离为 h，三棱锥的体积为 ，3BC3，BD ，CBD90，3 3 h ，h2，球心 O 到平面 BCD 的距13 12 3 3离为 1.设 CD 的中点为 E，连接 OE，则由球的截面性质可得OE 平面 CBD，BCD 外接圆的直径 CD2 ，球 O 的3半径 OD2，球 O 的体积为 .323答案：323142018
10、江苏卷， 10如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_解析：本题考查组合体体积的计算多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为 ，高为 1，2其体积为 ( )21 ，多面体的体积为 .13 2 23 43答案：43能力挑战152019 广东广州调研 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A44 2 B1442 3 2C 104 2 D42 3解析：如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥 SABCD.连接 AC，因为AC 2 ，SC 2 ，SDSB22 42 5
11、252 22 6 2 ，CD 2 ，SB 2BC 2(2 )22 22 2 22 22 2 224 224SC 2，故 SCD 为等腰三角形， SCB 为直角三角形过 D 作 DKSC 于点 K，则 DK ，222 62 2SCD 的面积为 2 2 ，SBC 的面积为12 2 6 32 44 .所求几何体的表面积为 (24)12 2 2 1222 224 2 104 2 ，选 C.12 2 3 2 3答案：C162019 河北联盟考试 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A13 B14C 15 D16解析：所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几
12、何体，如图中ABCDA BC D所求，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为 2，底面是两直角边长分别为 3 和 1.5的直角三角形，故该几何体的体积V4 232 3 215，故选 C.12 32答案：C172019 广州调研 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为_解析：依题意可得该几何体的直观图为图中所示的三棱锥BCDE ，且长方体的长、宽、高分别为 2,1,1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(0,0,1)，C(0,1,0)，D (1,2,0)，E(0,2,0)，设球心为 P(x，y，z)，依题意可得|PB| | PC|PD |PE|.由|PD| PE|得( x1) 2 (y2) 2z 2x 2(y2) 2z 2，解得 x .12由|PC | PE|得 x2( y1) 2z 2x 2( y 2)2z 2，解得 y .由32|PB| |PE|得 x2y 2( z1) 2x 2(y2) 2z 2，解得 z .故 P32，故三棱锥外接球的半径 R|PB | ，故(12，32，32) 14 94 14 112该三棱锥的外接球的表面积 S4 11.114答案：11
