1、浙南名校联盟（温州九校）2019 届高三上学期期末联考数学试题考生须知：1.本卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸。一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由不等式 得出集合 ，再由交集的运算即可求出结果.【详解】由 得 ，即 ，所以 .故选 A【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记定义即可，属于基础题型.2.双曲线 的焦
2、点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲的标准方程求出 ，进而可求出 ，然后即可求出焦点坐标.【详解】由 可得 ，焦点在 轴上，所以 ，因此所以焦点坐标为 ；故选 B【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程，由标准方程可求出 ，并确定焦点位置，从而可得结果，属于基础题型.3.设实数 满足 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再令 ，化目标函数 为 ，由直线在 y轴的截距的范围确定目标函数的最值即可.【详解】由约束条件作出可行与如图，令 ，则 ，因此求 的最小值，即是求直线 在 y轴截距的最大值，由图中
3、虚线可知，当虚线过点（0,1）时，直线 截距最大，即 .故选 C【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，再化目标函数为直线的斜截式方程即可求解，属于基础题型.4.若复数 ， ，其中 是虚数单位，则 的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由复数的几何意义可得 表示复数 ， 对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数 对应的点为 ，复数 对应的点为 ，所以，其中 ，故选 C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将 转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.5.函数 的图象可能是( )
4、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦函数确定函数 值域的大致范围，以及特殊值验证即可判断.【详解】因为 时， ，所以 ；当 时， ，所以 ；故排除 A、C 选项；又 ， ，即 ，所以排除 D，故选 B【点睛】本题主要考查函数的图像，特殊值法在处理函数图像中非常实用，属于基础题型.6.已知 ， ，则 是 的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件与必要条件的定义即可判断出结果.【详解】令 ，若 ，则 ，即 ，即 ，故 是的充分条件；又 ，令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
5、所以 时，不一定能推出 ；综上， 是 的充分不必要条件.故选 A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，结合函数的性质即可判断出结果，属于常考题型.7.甲、乙二人均从 5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了 3种不同食品的情况有( )A. 84种 B. 100 种 C. 120 种 D. 150 种【答案】C【解析】【分析】由分步乘法计数原理先由 5种食物中选择 3种，共 种情况;第二步，将 3种食物编号，用列举法列举所有情况即可；【详解】由分步乘法计数原理：第一步：由 5种食物中选择 3种，共 种情况；第二步：将 3种食物编号为 A,B,C，则甲乙选择的食物的情况有： ，
6、， ， ， ， ， ， ， ， 共 12种情况，因此他们一共吃到了 3种不同食品的情况有 种.故选 C【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，按定义逐步计算，最后求乘积即可，属于常考题型.8.已知随机变量 的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中 .若 的方差 对所有 都成立，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由分布列求出方差，再结合题意列不等式求解即可.【详解】由 的分布列可得： 的期望为 ， ，所以 的方差，因为所以当且仅当 时， 取最大值 ，又 对所有 都成立，所以只需 ，解得 ，故选 D【点睛】本题主要考查离散型随机变量的方差，根据不等式的最值，即可求
7、参数的范围，属于中档题型.9.如图，在三棱柱 中，点 在平面 内运动，使得二面角 的平面角与二面角 的平面角互余，则点 的轨迹是( )A. 一段圆弧 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线 D. 双曲线的一支【答案】D【解析】【分析】将三棱柱特殊化，看作底面以 为直角的直角三角形，侧棱与底面垂直，然后设出点 的坐标，作出点 Q在下底面的投影，由对称性知：点 P与点 Q的轨迹一致，研究点 Q的轨迹即可.【详解】不妨令三棱柱 为直三棱柱，且底面是以 为直角的直角三角形，令侧棱长为 m,以 B的为坐标原点，BA 方向为 x轴，BC 方向为 y轴， 方向为 z轴，建立空间直角坐标系，设 ，所以 ，过点 作以
8、 于点 ，作 于点 ，则 即是二面角 的平面角， 即是二面角 的平面角，所以 ，又二面角 的平面角与二面角 的平面角互余，所以 ，即 ，所以 ，因 ，所以 ,所以有 ，所以 ，即点 Q的轨迹是双曲线的一支，所以点 的轨迹是双曲线的一支.故选 D【点睛】本题主要考查立体几何的综合应用，特殊值法是选择题中非常实用的一种作法，用特殊值法求出点的坐标之间的关系式，即可判断出结果，属于中档试题.10.设 是方程 的两个不等实根，记 .下列两个命题：数列 的任意一项都是正整数；数列 第 5项为 10. ( )A. 正确，错误 B. 错误，正确C. 都正确 D. 都错误【答案】A【解析】【分析】先由方程求出
9、 之间的关系，进而可得 的特征，由数列递推式即可判断出结果.【详解】因为 是方程 的两个不等实根，所以 1， ，因为 ，所以，即当 时，数列 中的任一项都等于其前两项之和，又 1， ，所以 ， ，以此类推，即可知：数列 的任意一项都是正整数，故正确；错误；因此选 A【点睛】本题主要考查命题真假的判断，根据方程与数列的结合，由方程的根确定数列的递推式及数列的前几项，进而判断出结果，属于中档试题.二、填空题。11.九章算术中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出 100，则会剩下 100；若每人出90，则不多也不少。问人
10、数、猪价各多少？”.设 分别为人数、猪价，则 _， _.【答案】 (1). 10 (2). 900【解析】【分析】由题意列出方程组，求解即可.【详解】由题意可得 ，解得 .故答案为 10 900【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型.12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_，表面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由三视图先得到该三棱锥的底面是等腰直角三角形，且斜边长为 2，棱锥的高为 1，再由棱锥的表面积公式和体积公式即可求解.【详解】由三视图可知该三棱锥的底面是等腰直角三角形，且斜边长为 2，棱锥的高为 1，所以底面直角边的
11、边长为 ，所以该三棱锥的体积为 ；表面积为 .故答案为：体积 ；表面积【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积与表面积，先由三视图确定几何体的形状，再由表面积和体积公式即可求解，属于基础题型.13.在 中，内角 所对的边分别是 .若 ， ，则 _， 面积的最大值为_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】由正弦定理，结合 ， ，可求出 ；由三角形面积公式以及角 A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为 ，所以由正弦定理可得 ，所以 ;所以 ，当 ，即 时，三角形面积最大.故答案为(1). 1 (2). 【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式
12、即可求解，属于基础题型.14.实数 满足：对任意 ，都有 则=_， _.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】由二项展开式可直接求出各项的系数，即可求出 ，进而可求出结果.【详解】由二项展开式可得，所以 ，故 .故答案为(1). 1 (2). 【点睛】本题主要考查二项式定理，由二项展开式可求出每一项的系数，进而可求出结果，属于基础题型.15.已知抛物线 的焦点为 .若抛物线上存在点 ,使得线段 的中点的横坐标为 ，则 _.【答案】2【解析】【分析】先由 的中点的横坐标为 ，结合 点坐标，求出点 的横坐标，进而可求出结果.【详解】由题意 ，设 ，因为 的中点的横坐标为 ，所以 ,即
13、，因为抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，所以 .故答案为 2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质，属于基础题型.16.若向量 满足 ， 且 ，则 的最小值是_.【答案】【解析】【分析】设 ， ， ，由 确定点 C的轨迹，再设 ,，由 取得最大值时，即可求出 最小值.【详解】设 ， ， ，由 可知 ，所以点 C在以 AB为直径的圆上；设 , ，则 ，而 表示点 O到以 AB为直径的圆上任一点的距离，所以最大值即是点 O到圆心 E的距离加半径，即 ，所以 ，即最小值为 2.故答案为 2.【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，以及圆外一点到圆上任意一点距离的最大值的求法，常需要结合
14、图像求解，属于中档试题.17.已知函数 在开区间 上单调递减，则 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由函数在区间 上单调递减，得到其导函数小于等于 0恒成立，即 且 代入得到一个不等式组，可以把 视为不等式组内的点与原点距离的平方，结合图像即可求解.【详解】由题意， 在 恒成立.只需要 即可，整理得 ，作出其对应的平面区域如图所示；所以把 视为平面区域内的点与原点距离的平方，由点到直线的距离公式可得 ，所以 的最小值为 ，则 的取值范围是 .故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，需要依题意写出约束条件，作出可行域，再由目标函数的几何意义即可求解，属于中档试题.三、解答题。解答应
15、写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。18.（I）证明： ；（II）求函数 的最小正周期与单调递增区间.【答案】 （1）见证明；（2）【解析】【分析】（I）由两角和与差的正弦公式求和即可得出结论成立；（II）先将函数 整理成正弦型复合函数的形式，再根据正弦函数的周期和递增区间即可求出结果.【详解】 （I）证明：对任意 ， ， 两式相加，得， 即 ； （II）由（I） ，即 . 故 的最小正周期令 ，得 ，故 的单调递增区间是 .【点睛】本题第一问主要考查三角恒等变换，需要考生熟记两角和与差的正弦公式；第二问主要考查三角函数的图像与性质，需要考生灵活掌握三角函数的周期与单调性，属于常考题型.1
16、9.在三棱台 中， 是等边三角形，二面角 的平面角为 ，.（I）求证： ；（II）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见证明；（2）【解析】【分析】（I）先由线面垂直的判定定理证明 平面 ，进而可得 ；（II）可以在几何体中作出直线 与平面 所成的角，解三角形即可；也可用向量的方法建立适当的坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，根据向量夹角的余弦值确定线面角的正弦值.【详解】 （I）证明：设 ， 与 交于点 ，取棱 的中点 ，连结 .因 ， ，故 . 又 是棱 的中点，故 .同理又 平面 ，且 ，因此 平面 ，又 平面 ，所以 ； （II）方法一：作 ，垂足为 .因 平面 ，
17、故 平面 ，从而 为直线 与平面 所成的角. 不妨设 ,则 ， ， 所以 . 方法二：如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ，由（I） ， 为二面角 的平面角，则 ，设 ， ，则点 , , ， .设 为平面 ，即平面 的一个法向量，由 ，得 ， 令 ，则 ，即 . 设 是直线 与平面 所成的角，则 .【点睛】本题第一问主要考查由线面垂直推面面垂直，需要用到线面垂直的判定定理；第二问求线面角的正弦值，通常有两种做法：立体几何法（即在几何体中直接作出直线与平面所成的角，求解即可）和空间向量的方法（即建立适当坐标系求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量的夹角确定线面角即可） ；属于常考题型.20.已
18、知等比数列 的公比 ，前 项和为 .若 ，且 是 与 的等差中项.（I）求 ；（II）设数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 .求证：.【答案】 （1） （II）见证明【解析】【分析】（I）因为数列 是等比数列，所以结合题意列出方程组，求出首项和公比即可得出结果；（II）先由累加法求出数列 的通项，再由分组求和的方法求出数列 的前 项和 ，即可证明结论成立.【详解】 （I）由 ，得 .再由 是 ， 的等差中项，得 ，即 . 由，得 ，即 ，亦即 ，解得 或 ，又 ，故 . 代入，得 ，所以 ，即 ； （II）证明：对任意 ， ， ，即 .又 ，若规定 ，则 . 于是 ，从而，即 .【点睛】本题
19、主要考查等比数列的通项公式，以及分组求和法求数列的前 n项和的问题，熟记公式即可求解，属于常考题型.21.已知直线 与椭圆 恰有一个公共点 ， 与圆 相交于两点.（I）求 与 的关系式；（II）点 与点 关于坐标原点 对称.若当 时， 的面积取到最大值 ，求椭圆的离心率.【答案】 （1） （II）【解析】【分析】（I）联立直线与椭圆的方程，根据判别式等于 0，即可求出结果；（）因点 与点 关于坐标原点 对称，可得 的面积是 的面积的两倍，再由当时， 的面积取到最大值 ，可得 ，进而可得原点 到直线 的距离，再由点到直线的距离公式，以及（I）的结果，即可求解.【详解】 （I）由 ，得 ，则 化简
20、整理，得 ； （）因点 与点 关于坐标原点 对称，故 的面积是 的面积的两倍.所以当 时， 的面积取到最大值 ，此时 ，从而原点 到直线 的距离 ， 又 ，故 . 再由（I） ，得 ，则 . 又 ，故 ，即 ， 从而 ，即 .【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于中档试题.22.设 ，函数 .（I）证明：当 时，对任意实数 ，直线 总是曲线 的切线； （）若存在实数 ，使得对任意 且 ，都有 ，求实数 的最小值.【答案】 （I）见证明；（）-1【解析】【分析】（I）将 代入函数解析式，再对函数求导，由 与 的值
21、，即可证明结论；（）若存在实数 ，使得对任意 且 ，都有 等价于存在实数 ，使得对任意，都有 ，且对任意 ，都有 ，再由 ，得 ，进而可求出结果.【详解】易得 的导数 . （I）证明：此时 ， .注意到对任意实数 ， ， ， 故直线 是曲线 在原点 处的切线； （）由题意，存在实数 ，使得对任意 ，都有 ，且对任意 ，都有. 因 ，故 （否则，若 ，则在 的左右附近，恒有 ，从而 单调递减，不合题意）. 于是 ，因此 . 又当 ， 时， （等号成立当且仅当 ） ，于是 在 内单调递增，满足题意.所以 的最小值为 .【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要先对函数求导，再结合题意求解即可，属于常考题型.
