1、高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】, ,选 B2.函数 的图象的大致形状是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 时， ，结合 可排除 BC 选项；当 时， ，结合 可排除 A 项；本题选择 D 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特
2、征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项3.已知函数 定义域是 ，则 的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：函数 定义域是 ，即 ，从而知 ，所以 的定义域为 ，因此对于 ，则必须满足 ，从而 ，即函数的定义域为 ，故选择 A.考点：复合函数的定义域.4.设 ，则 的值为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】当 时， ，故 ；当 时， ，故，故选 B.5.已知集合 ， ， 若 A B=A，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： ，又因为 即 ，所以 ，解之得 ，故选 C.考点：1.集合的表示
3、；2.集合的运算.6.已知函数 ，且 ，则实数 的值为（ ）A. -1 B. 1 C. -1 或 1 D. -1 或-3【答案】C【解析】当 时，由 得 ，符合要求；当 时， 得 ，即的值为 或 1，故答案为 C.7.已知 是 上的偶函数，且在 上是减函数，若 ，则不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： 是 上的偶函数，所以 ，又 在 上是减函数，且，根据偶函数的对称性，所以当 时， ， 时， ， 时， ， ，所以 的解是 或 ，故选 C考点：1、偶函数的性质；2、函数的单调性；3、函数的图象【思路点晴】本题主要考查了函数的图象，单调性及偶函数的性质，属于难
4、题本题求解时，先根据偶函数性质，将待求问题转化为 ，再根据函数在 上递减且 ，知函数在 时， ，当 时， ；再根据函数图象的对称性，知 在上的情况，然后分析出本题结果8.已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由二次函数的性质可得当 0x4 时，函数的值域刚好为8，1，故只需y= ，ax0 的值域为8，1的子集，可得 a 的不等式，结合指数函数的单调性可得详解：当 0x4 时，f（x）=x 2+2x=（x1） 2+1，图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x=1，故函数在0，1单调递增，1，4单调递减，此时函数的取值范围是8，1，又函数 f（
5、x）的值域为8，1，y= ，ax0 的值域为8，1的子集，y= ，ax0 单调递增，只需 ，解得3a0故选：B点睛：本题考查函数的值域，涉及分段函数、指数函数与二次函数的图象与性质及集合间的包含关系，属于中档题9.已知 ， ， 则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意结合指数函数、对数函数的性质确定 a,b,c 的范围，然后比较其大小即可.详解：由指数函数的性质可知： ， ， ，且 ， ，据此可知： ，综上可得： .本题选择 D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性
6、进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确 10.已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若点 也在函数 的图象上，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题可知，函数 的图像恒过点 A（-2，-1） ，将 A（-2，-1）代入到函数 中，得到 ，因此 ，所以；考点：对数的基本运算11.已知函数 的定义域是一切实数，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为函数 的定义域是一切实
7、数，所以当 时，函数 对定义域上的一切实数恒成立；当 时，则 ，解得 ，综上所述，可知实数 的取值范围是 ，故选 D.考点：函数的定义域.12.已知 ，是 R 上的增函数，那么 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件得 ，解出 a 的取值范围即可.【详解】 是（，+）上的增函数，由一次函数、对数函数，及分段函数的单调性即可得到 ，解得： ，故选：A【点睛】本题考查了分段函数的应用，正确理解分段函数单调性的含义是解答的关键，属于基础题.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13.计算 _.【答案】1【解析】【分析】利用对数的换底公式进行化简求值即
8、可【详解】 =故答案为：1【点睛】本题主要考查了对数的运算，对于不同底的对数，可以通过换底公式来计算，属于基础题.14.写出函数 的单调递增区间_【答案】 和【解析】【分析】先化简函数函数得 ，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详解】由题意，函数 ，作出函数 的图象如图所示：由图象知，函数 的单调递增区间是 和 故答案为： 和【点睛】(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像.15.函数 的定义域是_【答案】【解析】本题考查函数定义域的求法。解答：要使函数有意义，只需即 ，即故定义域为
9、 。16.若函数 与函数 （ 且 ）的图像有且只有一个公共点，则 a 的取值范围是_【答案】 或【解析】当 时，作出函数 图象：若直线 与函数 的图象有且只有一个公共点，由图象可知 或 ，解得 或 ；当 时，类似可得 或 ，无解，综上可得 的取值范围是或 ，故答案为 或 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知集合 ，集合（1）若 ，求集合 ；（2）若 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析;（1）将 的值代入集合 中的不等式，确定出 ，找出 的补集，求出补集与 的交集即可；（2）根据 为 的子集列出关于 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到
10、的范围试题解析;(1)当 ， ， ,.（2）当 时，满足 ,有 +1，即当 时，满足 ，则有 ，综上 的取值范围为18.求值：（1） （2）【答案】 （1） ；（2） 【解析】分析：(1)本题中各数都是指数幂的形式，故可以用有理数指数幂的运算法则将，化简求值,变形方向是把底数变为幂的形式，用积的运算法则化简；(2)本题中各数都是对数的形式，利用对数的运算法则将 ，化简求值即可，先将 变为 .详解：(1) .(2).点睛：本题主要考查对数的运算法则以及指数的运算法则，属于简单题.解得这类问题一是要掌握对数、指数的运算法则；二是要细心，注意避免出现计算与符号错误. 19.（1）已知 ，求（2）已知
11、 ，求 的解析式。【答案】(1) 1 ；（2）【解析】【分析】(1)把 2x 和 代入 中化简即可；（2）把 f（x+1）化简成关于（x+1）的式子，得出f（x）的解析式.【详解】(1) ，所以 = = . （2） f（x+1）x 2+2x+1（x+1） 2f（x）x 2.【点睛】本题考查了函数的求值和利用配方法求函数解析式的问题，属于基础题.20.定义在 上的单调递增函数 ，对任意 都有（1）求证： 为奇函数；（2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据 ，分别令 ， ，即可证得结论；（2）根据 在 上是单调增函数，且是奇函数， 对
12、任意 恒成立，转化为对任意 成立，进而可利用换元法，即可求得实数 的取值范围.试题解析：（1）证明： （ ） ，令 ，代入式，得 ，即令 ，代入式，得 ，又 ，则有 ，即 对任意 成立，所以 是奇函数.（2） 为增函数且为奇函数， 恒成立即 恒成立，即设 令 ， ， （ ）对称轴 ， ，点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“ ”是解题的关键所在，难度不大考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为 或 恒成立，即 或 即可，利用导数知识结合单调性求出 或 即得解.21.为了保护水资源，提
13、倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不超过 6 吨时每吨 3 元，当用水超过 6 吨但不超过 15 吨时。超过部分每吨 5 元，当用水超过15 吨时，超过部分每吨 10 元.（1）求水费 （元）关于用水量 （吨）之间的函数关系式；（2）若某居民某月所交水费为 93 元，试求此用户该月的用水量.【答案】 （1） （2）18 吨【解析】本试题主要是考查了分段函数在实际生活中的运用。（1）由题意可得，y(元)与 x（吨）的函数关系式是（2）已知该月所交水费为 93 元，9363,由（1）中的函数关系式（第三段）得，然后代入解析式得到结论。解：（1）由题意可得，y(元)与 x（吨）
14、的函数关系式是4 分（2）已知该月所交水费为 93 元，9363,由（1）中的函数关系式（第三段）得：，解得 x=18答：此用户该月的用水量为 18 吨。22.设函数 ，其中， 为实数 (1)当 时， 恒成立，求 的取值范围；(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）二次函数在 上的恒成立问题,转化为 利用 求解.（2）二次函数在闭区间上的恒成立问题,运用对称轴与区间的相对关系利用单调性求解.试题解析：（1） ，当 时恒成立，当 时恒成立，即 化简得 ，解得 .（2） 当 时恒成立（i） 无解.（ii） 解得 .（iii） 解得 ，所以考点：1.二次函数图像性质；2.在 上的恒成立问题；3.闭区间上的恒成立问题
