1、2018-2019 学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级数学学科试题一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合 ,且 ,则实数 等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据 ,以及 与 的并集,确定出 的值即可.【详解】 ,且 ，所以 ，故选 A.【点睛】本题主要考查并集的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.2.下列从集合 到集合 的对应关系中，其中 是 的函数的是A. ，对应关系 ,其中B. ，对应关系 ,其中C. ,对应关系 ,其中D. ，对应关系 ,其中【答案】C【解
2、析】【分析】根据函数的定义：集合 中每一个元素，在集合 中都有唯一元素与之对应，逐一判断即可.【详解】对于 ， 中的奇数在 中无元素与之对应 不是 的函数；对于 , 中每个元素在 中都有两个不同元素对之对应， 不是 的函数；对于 , 中每个元素在 中都有唯一元素与之对应， 是 的函数；对于 , 中 在 中没有元素对应， 不是 的函数，故选 C.【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.3.函数 的定义域为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义域以及对数函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】要使函数 有意义，必须满足 ，解得 ，函
3、数 的定义域为 ，故答案为 ,故选 C.【点睛】本题主要考查幂函数与对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.4.已知 （ 是个无理数， ） ，则下列不等关系正确的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性与对数函数的单调性，分别判断 的取值范围，然后比较大小即可.【详解】由指数函数的性质可得， ，根据对数函数的性质可得，即 ，故选 B.【点
4、睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间） ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.下列函数中，是奇函数且在区间 上是增函数的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义与单调性的定义，分别判断选项中的函数是否是奇函数且在区间 上是增函数即可.【详解】对于 ， 在 上是减函数，不合题意；对于 ， 是偶函数，不合题意；对于 ， 在 上是减函数，不合题意；对于 ，是奇函数，在 上递增，合题意，故选 D.【点睛】本题主要考查
5、函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数） ；（3）作商法， （ 为偶函数，为奇函数） .6.已知实数 且 ，则在同一直角坐标系中，函数 的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：当 时，函数 的图象只有 D 满足要求，当 时，函数 的图象，无满足要求的答案，故选 D.考点：对数函数、幂函数的图象和性质.7.已知函数 ，则函数 的最小值是A. B. C. D. 【答案】B【解
6、析】【分析】利用对数的运算法则将函数 化为 ，利用配方法可得结果.【详解】化简，即 的最小值为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；换元法；不等式法；单调性法；图象法.8.定义在 上的函数 满足:对任意 有 ，则A. 是偶函数 B. 是奇函数C. 是偶函数 D. 是奇函数【答案】D【解析】【分析】设 ，由 ， ，由特值法求得 ，令 ，可得结果.【详解】设 ，由 ，可得则 ，令 ，得 ，令 ，是奇函数，故选 D.【
7、点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断 与 是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (奇函数)或(偶函数)是否成立9.已知二次函数 ， 分别是函数 在区间 上的最大值和最小值，则 的最小值A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴位置，分别判断二次函数的单调性，利用单调性求出最大值与最小值，分别求出 的范围，综合四种情况可得结果.【详解】当 ，即 时， ；当 ，即 时， ；当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，综上所述， 最小值为 1，故
8、选 B.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及分类讨论思想的应用，属于难题. （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解10.已知实数 ，实数 满足方程 ，实数 满足方程 ，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为 是 的解， 是 的解，所以 分别是 和 与 的图象交点的横坐标，可得 ，根据函数图象关于 对称，可得 利用基本不等式可得结果.【详解】
9、因为 是 的解, 是 的解，所以 分别是 和 与 的图象交点 的横坐标，可得 ， 的图象与 的图象关于直线 对称，的图象也关于直线 对称， 点 关于直线 对称，设 关于 直线对称的点 与点 重合，则 ，故 的取值范围是 ，故选 C.【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点.非选择题部分二、填空题（本题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）11.已
10、知指数函数 ，则函数必过定点_【答案】【解析】【分析】由函数 恒过 点，令函数 指数为 0 ,可得定点坐标.【详解】由函数 恒过 点，可得当 ,即 时， 恒成立，故函数恒过点 ,故答案为 .【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助 过定点 解答；(2)对数型：主要借助 过定点解答.12.计算： _【答案】【解析】【分析】直接利用对数与幂指数的运算法则求解即可,解答过程注意避免出现计算错误.【详解】，故答案为 .【点睛】本题主要考查对数的运算法则、幂指数的运算法则，属于简单题.求解对数、幂指数的化简求值题时，注意两点：一是熟练
11、掌握运算法则；二是注意避免出现计算错误.13.已知函数 ，那么 的值为_【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出 的值，从而可得 的值.【详解】 ，且 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值14.已知 ，则 _【答案】【解析】【分析】令 得 ，可得 ，从而可得到所求的函数解析式.【详解】由题意 ，得 ，因为 ，则 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解
12、析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.15.已知 是定义在 上的奇函数，对于任意 且 ，都有 成立，且 ，则不等式 的解集为_【答案】【解析】【分析】先判断 在 上递减，根据奇偶性可得 上递减， ，分两种情况讨论，解不等式组可得结论.【详解】当 ， 恒成立， ；当 ， 恒成立， 恒成立，在 递减，又 在 上是奇函数，在 和在 上递减，由不等式 可得，或 ，不等式 的解集为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查抽象函数的
13、奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.16.已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得 在区间 上单调递减，且 在区间 上恒为正数，由此列不等式组求解即可.【详解】设 ，则 单调递增，在区间 上单调递减，所以 在区间 上单调递减，且 在区间 上恒为正数，解得 ，即实数 的取值范围是 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查对数函数的
14、性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.17.已知函数 ，若 恒成立，则 的最小值为_.【答案】【解析】【分析】函数 写出分段函数的形式，判断 在 上递减，在上递增，可得 的最小值，从而列不等式可得结果.【详解】因为 ，所以 ，可得 ， ， ,在 上递减，在 上递增，恒成立，或 ，故 的最小值为 2，故答案为 2.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及不等
15、式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数.三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知集合 ；（1）求集合 ；（2）若 ，求实数 的取值范围。【答案】(1) (2) .【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性可化简集合 ；（2）根据一元二次不等式的解法化简 ，等价于 ，根据包含关系列不等式即可得出实数 的取值范围.【详解】(1) ,(2) 又【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究
16、集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 图19.已知定义在 上的偶函数 ，当 时， ；（1）判断函数 在 上的单调性，并用单调性定义证明；（2）解不等式： 。【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】【分析】（1）不妨设 ，再作差 ，通分合并，最后根据自变量范围确定各因子符号，得差的符号，结合单调性定义作出判断；（2）函数 是偶函数，由（1）可知函数 在上单调递增，在 上单调递减， 转化为 ，从而可得结果.【详解】 （1）函数 在 上单调
17、递增 证明： 函数 在 上单调递增（2）函数 是偶函数，由（1）可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减即可 .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取 ；（2）作差 ；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号） ， 可得 在已知区间上是增函数， 可得 在已知区间上是减函数.20.已知函数 ； （1）若 ，求 的值；（2）若区间 上存在 ，使得方程 成立，求实数 的取值范围。【答案】 （1） ;（2） 【解析】【分析】（1）由 ，可得 ，化为 ，从而可得结果；（2）由可得 ，求出 的取值范围即可得到
18、实数 的取值范围.【详解】 （1）因为 ，所以 ，所以（2）由 ,因为 ，【点睛】本题主要考查对数的基本运算以及方程有解问题，属于中档题. 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.21.已知函数 ；（1）若函数 在 上为偶函数，求 的值；（2）已知函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围；（3）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的
19、取值范围。【答案】 （1） ;（2） ;（3） .【解析】【分析】（1）由函数 在 上为偶函数，可得 从而可得结果；（2）因为函数增区间是 ，所以 是 的子集，由此列不等式可得结果；（3）不等式 对任意 恒成立，等价于 或 可得 或，从而可得结果.【详解】 （1）因为函数 在 上为偶函数，所以 可得 ，时 为偶函数， 符合题意；（2）因为函数 增区间是 ，所以 是 的子集，所以 ， ；（3） ，时，不等式显然成立或 或 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解， （2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
