1、四川外语学院重庆第二外国语学校高 2017 级高三下第一次检测数学试题（文）一、选择题。1.已知集合 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合 M 和集合 N,取交集即可得答案.【详解】 = ,则 = ,故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.设 ，则 =（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：因 ，故 ，所以应选 B.考点：复数及模的计算3.若 x，y 满足 ，则 的最小值为（ ）A. B. 7 C. 2 D. 5【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程
2、组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】根据线性约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z y+2x 为 y2 x+z，由图可知，当直线 y2 x+z 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，联立 ，解得 A（1，3） ，所以 故选： D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值是（ ）A. 1
3、B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足 2n n2，退出循环，确定输出的 n 值【详解】由程序框图知， 当 n1 时，2 11 2成立，当 n2 时，2 22 2不成立，退出循环，输出 n 的值为 2故选： B【点睛】本题考查循环结构的程序框图，解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合5.在 中， “ ” 是“ 为钝角三角形”的（ ）A
4、. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由向量数量积和两向量夹角的定义，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论；【详解】在 ABC 中，若 ，则 cos（ B）0，即 cosB0， B 为钝角，则 ABC是钝角；若 ABC 是钝角，不一定 B 角为钝角，则 不成立，所以“ ” 是“ 为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法:1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价
5、关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件6.若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 的值为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 【答案】C【解析】试题分析：由题可知，抛物线 的焦点为 ，双曲线 化成标准形式为 ，它的右焦点为（2,0） ，因此有 ，解得 ；考点：圆锥曲线的性质7.定义在 上的函数 ，则满足 的 取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 为偶函数，且 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且图象关 轴对称，则由 )得，解得 ；故选 D.点睛：本题利用函数
6、的奇偶性和单调性判定函数图象的对称性和开口方向，进而将问题转化为 的求解问题，较好地避免了讨论.8.知 为 的三个内角 的对边，向量 若 ，且 ，则角 的大小分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 可得 即 所以角 ，且 及 可得9.在 中， 是 边上一点，且 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由又 则; ,所以；考点：向量运算的几何意义。10.给出下列三个命题：函数 的单调增区间是经过任意两点的直线，都可以用方程 来表示；命题 ：“ ， ”的否定是“ ， ”，其中正确命题的个数有（ ）个A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析
7、】【分析】由复合函数的单调性即可判断；由两点的直线方程的变形，可得表示经过这两点的直线，即可判断；由全称命题的否定为特称命题，即可判断【详解】对于，函数 y=log2（x 2-5x+6） ，由 x2-5x+60，可得 x3 或 x2，再由 t=x2-5x+6 在（3，+）递增，y=log 2t 在（0，+）递增，可得函数 y=log2（x 2-5x+6）的单调增区间是（3，+） ，故错；对于，经过任意两点的直线，都可以用方程（y-y 1）x 2-x1）=（x-x 1） （y 2-y1）来表示，包括斜率不存在的情况，故正确；对于，命题 p：“ ， ”的否定是“ ， ”，故错其中正确命题的个数为
8、1故选：B【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是复合函数的单调区间,直线的方程和全称命题的否定，考查判断能力，属于基础题11.设 ， ，若直线 与圆 相切，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为直线 与圆 相切,所以，即 ，所以 ，所以 的取值范围是 。考点：圆的简单性质；点到直线的距离公式；基本不等式。点评：做本题的关键是灵活应用基本不等式，注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等。12.已知函数 （ ， 为自然对数的底数）与 的图象上存在关于直线对称的点，则实数 取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为函数 与 （ 为自然
9、对数的底数）的图象上存在关于直线 对称的点，所以函数 与 的图象有公共点，则 有解，即 有解，令，则 在 成立， 在 上成立，即在 单调递减，在 上单调递增，且 ，所以；故选 A.点睛：解决本题的技巧在于利用指数函数和对数函数的对称性将问题等价转化为有解问题，再分离参数，使问题进一步转化为求函数的最值问题.二、填空题.13.已知数列 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列，则数列 的通项公式为_【答案】【解析】数列 an是公差 d0 的等差数列， 成等比数列， =a2a8，(2+3 d)2=(2+d)(2+7d)，化为 2d24d=0，解得 d=2 或 d=0(舍). an=2+2
10、(n1)=2n.故答案为： an=2n.14.已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为_【答案】0.6【解析】试题分析：从这 5 件产品中任取 2 件的取法为 ，所以基本事件总数为 10；设“选的 2件产品中恰有一件次品”为事件 A，则 A 包含的基本事件个数为 ，所以 考点：1、古典概型；2、组合数15.学校艺术节对同一类的 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是 或 作品获得一等奖” ；乙说：“ 作品获得一等奖”丙说：“ 两项作品未获得一等奖” ；丁说：“是 作品获得
11、一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_【答案】B【解析】若 是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若 是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若 是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若 是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是 16.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的面积为_【答案】【解析】试题分析：由三视图知，该几何体为一个底面腰长为 4 的等腰直角三角形、高为 4 的三棱锥，且有一侧棱与底面的两腰两两垂直，所以可将此三棱锥补形为棱长为 4 的正方体，所以该三棱锥外接球的直径 ，即 ，所以
12、该球面的面积为 考点：1、空间几何体的三视图；2、球的表面积【思路点晴】求解几何体外接球的表面积和体积问题的关键在于找到球心和求出半径.找外接球圆心的方法是：先找到一个面的中心，如本题的 ，然后过中心做这个面的垂线，球心就在这条垂线上，然后假设球心的位置，根据球心到表面的距离相等列方程，从而求出半径三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数（）求 的最大值；（）求 的最小正周期与单调递增区间【答案】 （）最大值为 2（）最小正周期为 ，增区间为 ，【解析】【分析】化简函数 f（x）为正弦型函数（）利用正弦函数的图象与性质求 f（x）的最大值；（）求出 f（2x）的解析式，利
13、用正弦函数的图象与性质求出它的最小正周期和单调递增区间【详解】（）因为 ，故最大值为 2 （） ，最小正周期为 令 ，解得 故增区间为 ，【点睛】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，考查三角函数的周期及求法以及正弦函数的单调区间，属于基础题.18. 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 75，85) 85，95) 95，105) 105，115) 115，125)频数 6 26 38 22 8（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区
14、间的中点值作代表） ；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定？【答案】 （1）（2）质量指标值的样本平均数为 100，质量指标值的样本方差为 104（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】试题分析：（1）根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数总数计算出各组的频率，再根据：高度=频率组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图;（2）根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可
15、得：质量指标值的样本平均数为，进而由方差公式可得：质量指标值的样本方差为 ;（3）根据题意可知质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 ，由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.试题解析：（1）（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.所以这种产品质量指标值（3）质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.考点：1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数
16、与方差的计算视频19.如图，在三棱柱 中，各个侧面均是边长为 的正方形， 为线段 的中点（）求证： 平面 ；（）求证：直线 平面 ；（）设 为线段 上任意一点，在 内的平面区域（包括边界）是否存在点 ，使，并说明理由【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）充分利用正三棱柱的性质得到 CC1底面 ABC，得到 CC1BD，只要再证明 BD 垂直于 AC即可；（2）连接 B1C 交 BC1于 O，连接 OD，D 为 AC 中点，得到 AB1OD，利用线面平行的判定定理可得；（3）在BC 1D 内的平面区域（包括边界）存在点 E，使 CEDM，此时 E 在线段 C1D
17、 上；只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明【详解】（ ）证明：三棱柱 中，各个侧面均是边长为 的正方形， ， ， 平面 ，又 平面 ， ，又底面为等边三角形， 为线段 的中点， ，又 ， 平面 （ ）证明：连接 交 于 ，连接 ，则 为 的中点， 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，直线 平面 （ ）在 内的平面区域（包括边界）存在点 ，使 ，此时 在线段 上，证明如下：过 作 交线段 与 ，由（ ）可知， 平面 ，而 平面 ， ，由 ， ，得 平面 ， 平面 ， 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直
18、，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.已知中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆过点 ，且它的离心率（I）求椭圆的标准方程；（II）与圆 相切的直线 交椭圆于 、 两点，若椭圆上一点 满足，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得 (t0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于 x 的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点 C 的坐标，代入椭圆方程后整理得到 ，根据 的范围可得 ，进而得到所求范围【详解】 （1）设椭
19、圆的标准方程为 ，由已知得 解得所以椭圆的标准方程为 . （2）因为直线 ：ykxt 与圆(x1) 2y 21 相切，所以 1，整理得 (t0) 由 消去 y 整理得(34k 2)x28ktx4t 2240，因为直线 与椭圆交于 M，N 两点，所以 ，将 代入上式可得 恒成立 设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有 x1x 2 ，所以 y1y 2kx 1tkx 2tk(x 1x 2)2t ， 因为 )，所以可得 C ，又因为点 C 在椭圆上，所以 1,所以 ，因为 t20，所以 11，所以 ，所以 的取值范围为 .【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出
20、明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数值域的求法，确定参数的取值范围21.已知函数（1）讨论 的单调性并求最大值；（2）设 ，若 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （I） 在 单调递增，在 单调递减， 的最大值为 ；（II） .【解析】试题分析：（I）求导，列表研究 在 在定义域上的符号变化情况，得到其单调区间和极大值点，得其单调区间和最大值；（II） 恒成
21、立即 ，令，通过讨论研究其再 单调性，得到 的最小值，即可求得实数 的取值范围试题解析： （I）由题有 ，可知， 在 单调递增，在 单调递减；的最大值为（II）由题有令 ，则 ，当 时，当 时， ，则 单调递增，则 ，即 恒成立，故当 时，当 时， ， 单调递减，则 ，则 不能在上恒成立综上：实数 的取值范围是考点：利用导数研究函数的单调性、最值及不等式的恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值及不等式的恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.研究函数的单调性就是研究导函数在其定义域内的符号变化情况，可通过列表解答，简单、清晰；本题解答的难点是不等式 恒成
22、立，通过整理得到 恒成立，构造新函数，通过讨论参数的范围研究其单调性得到最小值情况，即可求得 的范围.22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （ 为参数） ，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且直线 与曲线 交于 ， 两点（1）求曲线 的普通方程及直线 恒过的定点 的坐标；（2）在（1）的条件下，若 ，求直线 的普通方程【答案】 （1） ,定点 （2） 或【解析】【分析】（1）利用 x=cos，y=sin，能得到曲线 C 的普通方程，由直线 l 的参数方程能得到恒过的定点 A 的坐标 （2）在（1）的条件下，将直线 方程代入曲线 方程利用参数的几何意
23、义，求出斜率 k，即可求直线 l 的普通方程【详解】 （1）曲线 的普通方程为： , 直线 恒过的定点为 （2）把直线 方程代入曲线 方程得：由 的几何意义知 ， ，因为点 在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以 ，所以即 ，解得 ， ，故 因此，直线 的方程 或【点睛】本题考查直线的参数方程，考查简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义.23.函数 ，（）若 求不等式 的解集（）若不等式 的解集非空，求 的取值范围【答案】 （） （，2）（ ，+） （） （1，0） 【解析】【分析】（）若 a2，分类讨论，即可求不等式 f（ x）+ f（2 x）2 的解集；（
24、）求出函数f（ x）的值域为 ，+） ，利用不等式 f（ x）+ f（2 x） 的解集非空，求 a 的取值范围【详解】 （）当 a2 时， f（ x）| x+2|，f（ x）+ f（2 x）| x+2|+|2x+2|2，不等式可化为 或 或 ，解得 x（，2）（ ，+） ；（） f（ x）+ f（2 x）| x a|+|2x a|，当 x a 时， f（ x） a x+a2 x2 a3 x，则 f（ x） a；当 a x 时， f（ x） x a+a2 x x，则 f（ x） a；当 x 时， f（ x） x a+2x a3 x2 a，则 x ，所以函数 f（ x）的值域为 ，+） ，因为不等式 f（ x）+ f（2 x） 的解集非空，即为 ，解得 a1，由于 a0，则 a 的取值范围为（1，0） 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立,有解问题联系起来，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
