1、集体风险模型,S的分布,假定单位时间内保单组合理赔的次数是一个随机变量，我们记为N， 表示按次序到来的的理赔，设S表示单位时间内的总理赔额，N表示单位时间内的理赔次数，集体风险模型可以描述为,假定 （1） 是独立同分布的随机变量 （2）N与Xi独立,我们按如下步骤讨论 理赔次数 S的分布 S的近似分布 S的分布数值计算方法,S的数字特征,例1：设理赔次数服从负二项分布， 已知参数 ，Var(N)=24，个别理赔额的分布为求总理赔额的均值与方差之和。,解：由负二项分布的性质，所以,二、计算S的分布,方法一：直接收集S的信息，如收集一个会计年度内每月的总赔付额，然后使用建模方法去拟合S的分布。 方
2、法二：首先分开研究个体理赔额X和理赔次数N的分布的信息，再利用复合分布公式来研究S的分布。本课主要讨论方法二，常用的方法有：,（）卷积法,设X的分布函数为FX(x)，N的分布列为pn。可以看出，S的分布是一个复合分布。由全概率公式有,其中，,若X是非负连续随机变量，则,若X是非负离散型随机变量，则,例2：假设有一组保单组合，在单位时间内可能发生的理赔次数为0，1，2和3，相应的概率为0.1,0.3,0.4 和0.2，可能产生的理赔额为1，2，3，相应的概率为0.5,0.4和0.1，试计算理赔总量的概率分布,解： 设N表示理赔次数，C表示理赔额，则,因此，由公式,其中的取值范围是0，1，9。具体
3、计算结果见下表。,计算例子：,练习：计算表中问号所代表的值。,例3：已知总理赔额S的分布密度函数为,其中理赔额X的分布为求E(S)的值。,解：由总理赔额的密度函数知,服从p0.6,r=3的负二项分布,例4：设个别理赔额X分布服从指数分布，均值为q，理赔次数N服从二项式分布，求S的分布。,解：固定n，由gamma分布的可加性知，X1X2+Xn的分布为gamma分布。因此，X的n重卷积为由于任何gamma函数G(n,x)都可以写成,因此,其中，,由于N服从二项分布B(m,p), 因此,从而，,（二）矩母函数法和母函数法,设PS(z)表示S的母函数，MS(t)表示S的矩母函数，则经简单推导可得,利用
4、母函数或矩母函数的唯一性，找到相应的分布，这种方法适用范围较窄。,例5: 设理赔额服从指数分布，均值为q。设理赔次数服从几何分布，参数为b。求S的分布。,解：Xi的矩母函数为,N的母函数为,S的函数,这是一个由指数分布和贝努利（01）分布组成的混合分布。它的分布密度和分布函数为,（三）递推法,设个体保单理赔额X取值0,1,2,，这r个值表示货币单位的整数倍，表示最大的赔付额，r可以取值无穷。假设理赔次数N属于（a,b,0）分布族, 即分布列满足下面关系式,定理1 如果N的分布属于（a,b,0）分布族，理赔额X取有限个整数值0,1,2,，则总理赔额的分布为,假设N服从泊松分布，,例6 设某险种的
5、总理赔额服从复合泊松分布，平均理赔次数为0.2次，在任何一次理赔中，有80的概率会损失5000元，有20的概率会损失10000元。试计算保险人所面临的总理赔额的分布。,解:设X为个别理赔额，则X取值为1，2两个数，货币单位为5000元，l0.2，由公式,如此递推下去，结果列入下表：,例7：设总理赔额S的分布列为已知E(S)=1.5,求理赔额变量X的期望E(X)。 解：从S的分布知，S服从由复合泊松分布的递归公式知X只取1、2、3，,故有方程组,由于,解得k0.7, 代入方程组有,因此l0.75，即E(N)=0.75。故,复合泊松分布的定义,称随机变量服从参数为的复合泊松分布，如果满足1随机变量
6、 ,是相互独立2若Xi具有相同的分布，且分布与X相同3N服从泊松分布，参数为l。,复合泊松分布的数字特征,复合泊松分布的计算公式,可加性,定理2：设S1,S2,Sn为相互独立的随机变量，且为参数为li，个体理赔分布为fXi(x)的复合泊松分布，i=1,m，则SS1S2+Sn服从参数为l=l1+ln，且理赔额变量为 的复合分布。,背景： m可看成m个保险保单组合，S则是这m个保单组合的总理赔额。 S也可以看作同一个保单组合在m个不同年度内的总理赔额,证明：设Si为参数li为的复合泊松分布，Si的矩母函数为由于S1,Sn为相互独立的随机变量，因此的矩母函数为：,设,由矩母函数的定义知， MX(t)
7、为 的矩母函数，因此,所以，S是一个参数为l=l1+ln，且理赔额变量为fX(x)的复合泊松分布。,例8：设S1服从复合泊松分布，S2也服从复合泊松分布，若S1和S2相互独立，求SS1S2的分布。,解：S服从复合泊松分布，参数l25，个别理赔额变量分布为,可分解性,定理3：设总理赔额S是一个复合泊松分布，其中个体保单的理赔额X的分布为fX(x)。假设X的取值可以分为m种类型：C1,Cm，其中pi=P(XCi)。设N表示理赔发生总次数，Ni分别表示类型Ci理赔发生的次数，NN1+Nm 。下面结论成立： （1）随机变量Ni相互独立，服从参数为li=lpi的泊松分布。 （2）设X(i)表示当第i类理
8、赔事件发生时的理赔额，即 ，令 ，则Si都是相互独立且服从参数为li的复合泊松分布，个别理赔额为X(i) 。,例9：设S服从复合泊松分布， 令 ,求X（1）、 X（2）的分布和S的分布。,解：令,则X（1）、 X（2）的分布为,设Ni表示第i类理赔事件发生的次数，则Ni是泊松分布，,因此，S1是复合泊松分布，l18，个体理赔分布为。是复合泊松分布， l22 ，个体理赔分布为。,例10：设某保险公司承保医疗保险，X表示一次医疗费用，N表示看病的次数，服从泊松分布，参数l100，S表示该医疗保险的总费用，设X的分布密度为试分析加入免赔额d50后，保险公司的总理赔额的变化。 解：首先考虑无免赔额情形
9、。总理赔额等于总医疗费用S。由X的分布密度计算得到,总理赔额的期望和方差为,下面考虑的情形。这时将医疗费用分为两类： 设N1表示医疗费用小于等于免赔额的次数，服从参数为 的泊松分布。 N2表示医疗费用大于免赔额， 服从参数为的泊松分布。 设则总损失额SS1S2，其中,S1表示医疗费小于等于免赔额的总费用，这部分费用完全由投保人承担。S2表示医疗费大于免赔额的总费用。由于,因此,其中YiX50|X50表示第i次看病的理赔额。从上式可以看出，总费用S2分为两部分，一部分由投保人承担，另一部分是总理赔额部分，由保险人来承担。我们记总理赔额为S3，则 。,Yi的分布密度为,可以得到总理赔额的期望和方差
10、为,事实上，总损失S可以分解为：,其中S4为投保人承担的医疗费用，S3是由保险人来承担理赔额。,练习：某保险公司承保车险业务。已知总损失额服从复合泊松分布，每年的损失次数为30。每次损失额，无论何种车型，服从指数分布，均值为200。为减少理赔成本，保险公司拟对保单契约作如下修改： （1） 对某些车辆不再承保。预计这项修改将使损失次数减少20。 （2） 只赔偿超过100的部分损失额。 求经过这两项修改后该保险公司的总理赔额的期望。,个体风险模型的复合泊松分布近似,假设有n张保单组成的保单组合，每张保单至多发生一次理赔，第j张保单发生概率为qj，理赔额为bj。设由个体风险模型知道，S的均值、方差和
11、母函数分别为,将PS(z)两边取对数，并进行泰勒展开，得到,当qj的值都非常小时，上式可以近似写为,其中,于是,因此S的分布可近似的看成参数为l，理赔额变量为X的复合泊松分布。,(1),近似分布的均值和方差为,例11某公司为14名员工购买了团体人身保险。保险公司的精算师选择了如下死亡表来代表该团体的死亡率。每个员工按他的工资水平（近似到1000）进行投保。具体资料如下：,用复合泊松模型计算总赔付额的近似分布。,X的分布列为,使用递归公式 计算S的近似分布为,当每张保单的理赔额是随机变量Bj时，这时XjIjBj，Xj的母函数为,相应的，S的母函数为,类似的，我们也可以用泰勒展开得到的lnPS(z)精确表达式，但这种方法比较繁琐。为了简化问题，在保证均值相同的基础上，我们只简单的将(1)中zbj替换为PBj(z)，于是得到S母函数的近似表达式,其中,近似分布的均值和方差为,X的分布为,与精确值相比较，两者的均值相同，近似分布的方差略高。,
