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类型第5章-误差理论.ppt

  • 上传人:myw993772
  • 文档编号:6087222
  • 上传时间:2019-03-27
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    第5章-误差理论.ppt
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    1、测量学 第五章 测量误差基本知识,49,1,5-1 测量误差概念,一、 测量误差产生的原因 二、测量误差的分类与处理原则 三、偶然误差的特性,49,2,一、 测量误差产生的原因,产生测量误差的三个因素:仪器原因 仪器精度的局限性,轴系残余误差等;人的原因 判断力和分辨力的限制,经验缺乏等;外界影响 气象因素如温度变化,风力,大气折光等 。,结论:观测误差不可避免(粗差除外),有关名词:观测条件 上述三大因素总称为观测条件观测精度 在观测条件基本相同的情况下进行的观测,称为“等精度观测”;否则,称为“不等精度观测”。,49,3,二、 测量误差的分类与处理原则,(一)系统误差,在相同的观测条件下,

    2、对某一量进行一系列观测,如果误差的出现在符号和数值上都相同,或按一定的规律变化,这种误差称为“系统误差”。系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的规律性。如能够发现其规律,则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。,49,4,按测量误差产生原因和对观测成果的影响,分为系统 误差、偶然误差和粗差。,49,5,钢尺尺长误差 Dk 钢尺检定,尺长改正钢尺温度误差 Dt 钢尺检定,温度改正水准仪视准轴误差 i 中间法水准,前后视等距经纬仪视准轴误差 C 盘左盘右观测,取平均值,对系统误差采取措施举例:,误差来源,采取措施,在相同的观测条件下,对某一量进行一系列观测,误差出现的符号和数值大小都不相同,

    3、从表面看没有任何规律性,这种误差称为“偶然误差”,是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。偶然误差不可避免,但在一定条件下的大量的偶然误差,在实践中发现具有统计学规律。,(三)粗差由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”(俗称错误),应避免和舍弃粗差。,偶然误差举例:仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄 准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响。,49,6,(二)偶然误差,(四)误差处理原则,49,7,粗 差 细心观测,用多余观测和几何条来件来发现,将含有粗差的观测值剔除。,系统误差 找出发生规律,用观

    4、测方法和加改正值等方法抵消。,偶然误差 用多余观测减少其影响,利用几何条件检核,用“限差”来限制。,三、偶然误差的特性,偶然误差的定义设某一量的真值为X,对该量进行 n 次观测,得n个观测值 ,产生n个真误,49,8,l1, l2, ln,1,2,n,真值与观测值之差定义为“真误差”,真误差属于偶然 误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和 计算中,在一般情况下真值是不知道的,只能根据几何 条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为180 (真值),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立 的观测值,据此求得三内角之和的真误差(三角形角度 闭合差)。,多次观测中寻找偶然误差的规律:对

    5、358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180,观测值为三个内角之和 (i +i+ i),因此其真误差(三角形闭合差)为: i = 180 ( i + i+ i)观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。,49,9,表5-1 偶然误差的统计,49,10,偶然误差的特性,有限性:在有限次观测中,偶然误差不超过一定数值; 渐降性:误差绝对值小的出现的频率大,误差绝对值大的出现的频率小; 对称性:绝对值相等的正负误差频率大致相等; 抵偿性:当观测次数无限增大时,由于正负相消,偶然误差的平均数趋近于零:,49,11,三角形闭合差的

    6、频率直方图,正态分布曲线以及标准差和方差,49,12,在统计理论上如果观测次数无限增多(n),而误差区间d又无限缩小,则频率直方图成为一条光滑的曲线,在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线”,其数学方程式为:,式中参数称为“标准差”,其平方 2 称为“方差”,方差为偶然误差(真差)平方的理论平均值:,标准差的计算式:,5-2 评定测量精度的标准,一、 中误差,49,13,用标准差衡量测量观测成果的精度,在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中,不可能对某一量进行无 穷多次观测。因此,定义:根据有限次观测的偶然误差, 用标准差计算式求得的称为“中误差”,其计算式为:,选择两组三角形内角之和的观

    7、测值,求得三角形角度闭合差,分别按上式在表5-2中计算中误差,得到:第1组: m1= 2.7 第2组: m2= 3.6 可见第1组的观测精度高于第2组。,按观测值的改正值计算中误差,49,14,表5-2,m1较小, 误差分布比较集中,观测值精度较高; m2较大,误差分布比较离散,观测值精度较低。,两组观测值误差的正态分布曲线的比较:,m1= 2.7 m2= 3.6,49,15,不同中误差的正态分布曲线,49,16,二、相对中误差,三、极限误差,某些观测值的精度仅用中误差衡量,还不能正确反映其 质量,例如距离测量误差应与长度成正比。观测值的中误差除以观测量称为“相对中误差”(简称相对误差),例如

    8、200m距离的测距中误差为2cm, 测距的相对误差为110000; 500m距离测距中误差也为2cm,则测距相对误差为125000;后者精度高于前者。,根据正态分布方程式可以表示误差出现在微小区间d的 概率:,将上式积分,得到偶然误差在任意大小区间中出现的概 率。设以k倍中误差作为区间,则在此区间中误差出现的 概率:,49,17,分别以k=1,k=2,k=3代入上式,可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、2倍中误差、3倍中误差的概率:,由此可见,大于2倍中误差出现的概率小于5,大于3倍中误差出现的概率小于0.3。因此,测量工作中以2倍中误差作为允许的误差极限,称为“允许误差”或“限差”。,49,

    9、18,5-3 观测值的算术平均值及改正值,一、 算术平均值,在相同的观测条件下,对某一量进行n次观测,观测值为 li (i=1n), 取其算术平均值 作为该量的最可靠的数值 (故也称“最或然值”):,算术平均值为何是该量最可靠的数值?可以用偶然误差的特性来证明:,证明算术平均值是最或然值,49,19,按真值计算各个观测值的真误差:,将上列等式相加, 并除以n,得到:,故算术平均值比较 接近于真值,而成 为最可靠的数值:,二、 观测值的改正值,最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称 改正值) v :,49,20,对vv求极小值:,符合最小二乘法原理,上列各式相加: 说明:一组观测值取算

    10、术平均值后,各个观测值的改正 值之和恒等于零,此可以作为计算的检核。,5-4 观测值的精度评定,在同样观测条件下对某一量进行n次观测,求得算术平均 值及观测值的各个改正值 v,据此计算观测值的中误差:,49,21,对比按真误差计算中误差的公式:两者差别仅在于以(n1)代替 n,以 代替真值X:,两式取总和,并顾及偶然误差的相消性,可以证明:,因此,可以按观测值的改正值计算中误差,算术平均值计算的实用公式,由于各个观测值相差很小,令其数值的相同部分为l0 , 差异部份为l,即 li =l0 +li ,算术平均值的实用公式:,49,22,按各个观测值的改正值计算观测值中误差的公式:,按观测值的改正

    11、值计算中误差的算例,49,23,计算算术平均值及其中误差的小结:,一、 已知真值X,进行n次观测,则计算观测值的真误差与中误差:,二、真值不知,则进行n次观测,计算算术平均值、改正值及其中误差:,49,24,中误差,真误差,5-5 误差传播定律,49,25,一、观测值的函数 测量所采集的数据(量)并非都是直接观测值,而是观测值的函数。观测值的误差使其函数也具有一定的误差。,和差函数 倍函数 线性函数 一般函数 ,例如算术平均值,例如斜距改平,例如分段量距相加,例如图上量长,化为实地长度,二、 一般函数的中误差,49,26,举例:矩形地块,量长度a、宽度b,求其面积P。,面积是观测值长和宽 的函

    12、数,函数式:,对函数式中的自变量 a、b求偏微分:,将微分元素以偶然误差i代替,面积误差(图中阴影面积)具有 几何意义,49,27,对于地块的长度和宽度进行n次观测:,上列n个等式平方后取其总和,并除以n,得到:,根据偶然误差的抵偿性,得到:,按照中误差的定义,上式可改写为求面积中误差公式:,对于一般函数:,49,28,误差传播定律 一般函数的中误差计算,式中xi为自变量(独立观测值),设mi 为观测值的中误差,Z 为独立变量的函数。则 Z 的中误差为:,式中 为各个变量的偏导数。,49,29,三、线性函数和倍函数的中误差,线性函数:,自变量的偏导数:,按照误差传布定律,得到线性函数的中误差:

    13、,算术平均值 也属于观测值的线性函数,根据误差传布定律:,49,30,由于是等精度观测,因此 m1 = m2 = = mn = m,由此可见,算术平均值的中误差比观测值的中误差小倍。,如果线性函数只有一个自变量: ,则成为 倍函数,其中误差为:,上式中的系数 k 即为误差扩大的倍数。,49,31,函数式为 D=500 d,实地距离和量距中误差为:,该距离及其中误差可以写成:,其他线性函数,例如和差函数:,49,32,其中误差均为:,和差函数的中误差计算方式也可用于多种独立误差来源 的观测值中误差的计算。例如用测角仪器观测水平方向 时,同时受到对中、瞄准、读数、仪器误差、大气折光 等误差影响,观

    14、测水平方向的偶然误差是这些误差的代数和:,故观测水平方向的中误差为:,误差传播定律应用小结,第一步:写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式 第二步:写出全微分式(计算对各个自变量的偏导数) 第三步:按误差传播定律写出中误差关系式 注意:误差传播定律只适用于将各个独立观测值作为自变量。如果观测值之间是相关的,则得到的结果将是不严格的。,49,33,5-6 误差传布定律的应用,49,34,一、距离测量的精度,光电测距的误差来源有:仪器误差、气温气压测定误差、 仪器对中误差、倾斜改正垂直角测定误差等。这里仅讨论前二者,即仪器频率调制误差 d f、测定相位的误差d 以及气象测定误差影响折射率 d n

    15、。,斜距测定 的函数式,对各个自变量 求偏导数得到 真误差关系式,用误差传播定律得到光电测距中误差的估算式:,49,35,上式根号内第一项为测定相位误差的影响,它与距离长短无关,称为“常误差”(a);第二、第三相为气象测定误差与频率误差的影响,它们均与距离长度成正比,称为“比例误差”(b)。因此,光电测距的误差估算式:,上式常作为测距仪本身的精度指标,a的单位为mm, b为百万分率,即每公里的毫米数(mm / km)。,二、角度测量的精度,DJ6级经纬仪和6秒级全站仪一测回方向观测值中误 差 m =6,水平角为两个方向观测值之差,故一测 回水平角观测的中误差为:,49,36,一测回水平角取盘左

    16、盘右角度的平均值,故半测回水平 角值的中误差为:,盘左、盘右水平角值之差的中误差为:,以2倍中误差作为极限误差为34(一般规定40),多边形水平角观测角度闭合差的规定 多边形内角(水平角)之和在理论上应为(n-2)180,由于水平 角观测中的偶然误差,产生角度闭合差:,49,37,每个角度的测角中误差为m ,则n个角度之和的中误差:,以2倍中误差作为极限误差,则n边形的角度的允许闭合差,例:设水平角观测的中误差m =18,则三角形的允许 角度闭合差:,三、 水准测量的精度,水准测量高差测定的计算式 h = a - b,设用S3水准仪在 水准尺读数的中误差m = 1 mm,则一次测定高差的中 误

    17、差:,49,38,两次测定高差之差 h = h1- h2 ,则高差之差的中误差:,以2倍中误差作为极限误差,则允许的高差之差为4 mm,水准路线高差测定的精度,49,39,在一条附合水准路线进行水准测量,共设n个测站,其高差 的总和:,设水准尺读数误差为m,每次高差测定中误差为mh,则线路的高差总和的中误差:,设水准线路长度为L,各测站前、后视平均长度为d,单位 长度的高差测量中误差为m0,则:,,,,,L以公里为单位,m0为每公里高 差测量中误差,49,40,上式说明:水准测量的精度与水准路线的长度的平方根 成正比。水准测量的等级以每公里高差测量的中误差mo 作为精度指标:,据此,可以按水准

    18、测量等级和设计水准路线长度,估算 水准测量全程的高差中误差。例如,路线长5km的四等 水准测量的精度:,四、 坐标计算的精度,49,41,两点之间,如果已测定其水平距离D和方位角,则可按下 式计算其坐标增量:,对观测值(自变量)D和求偏导数,得到函数式的全微分:,按误差传播定律,将上式转换为坐标增量的中误差表达式,49,42,坐标增量的中误差:,上式右边根号内第一项为纵向误差,是由距离误差造成, 第二项为横向误差,是由角度误差造成。由纵横坐标增量 误差或纵横向误差,形成两点间的相对点位误差:,一、 不等精度观测与观测值的权,49,43,5-7 加权平均值及其中误差,同一量的一系列等精度观测值可

    19、以取其算术平均值,而同一量的一系列不等精度观测值则应取其加权平均值。 “权”(P) 衡量轻重,观测值的中误差(m)小,则权大;反之则权小。定义权与中误差的平方成反比:,C为任意常数。等于1的权称为“单位权”,权等于 1 的 中误差称为“单位权中误差”( mo )。因此,权和中误差的另一种表达式为:,49,44,为了使“权”的概念简单明了,取一次观测、一个测回或单位长度(例如1 km)等的测量误差作为单位权中误差。例如,以一测回的水平角观测中误差m为测角的单位权中误差,则 n 测回取其算术平均值的角度中误差及其权为:,又例如水准测量以一公里的高程测量中误差mo作为单位权中误差,则L(km)高差测

    20、量中误差及其权为:,由此可知,水准测量的权是路线长度的倒数。,二、加权平均值及其中误差,49,45,对某一未知量进行一组不等精度观测:L 1 ,L2 , Ln ,其中误差为m1 ,m2 ,mn ,观测值的权为p1 ,p2 ,pn 。按照误差理论,此时应按下式取其加权平均值,作为该量的最或然值:,由于同一量的各个观测值其数值都相近似,取其相同部分为Lo,差别部分为Li :,加权平均值的中误差,49,46,加权平均值的计算式可以写成线性函数的形式:,按误差传播定律,得到:,加权平均值中误差及其权:,三、单位权中误差的计算,49,47,根据:,得到:,取以上各式总和,并处以n,得到:,以真误差 i 代替中误差 mi ,得到观测值的真值已知时, 用真误差计算单位权中误差的公式:,在真值未知时,用观测值的加权平均值 x 代替真值 X;用观测值的改正值 vi 代替真误差 i,得到按 vi 计算单位权中误差的公式:,加权平均值及中误差的算例,49,48,测量学 第五章 测量误差基本知识 放映结束,49,49,

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