1、- 1 -商水一高 20142015 学年度下学期期中试题高二数学（文）试题第卷 选择题（共 60 分）一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1设 a 是实数，且 是实数，则 a( )a1 i 1 i2A. B 1 C1 D2122有下列命题：两组对应边相等的三角形是全等三角形； “若 xy0，则|x|y|0”的逆命题；“若 ab，则 2xa2xb”的否命题； “矩形的对角线互相垂直”的逆否命题其中真命题共有( )A1 个 B3 个 C2 个 D4 个3已知变量 x，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为 3
2、bx，若y i17， i4，则 b 的值为( )10i 1x10i 1yA2 B1 C2 D14正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此 f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理( )A结论正确 B大前提不正确 C小前提不正确 D全不正确5下列函数求 导运算正确的个数为( )(3x)3xlog3e； (log2x) ； (ex)ex；1xln 2( )x； (xex)ex 1.1ln xA1 B2 C3 D46已知集合 A ，则集合 AR 的子集个数为 ( )12i， i2， |5i2|， 1 i2i ， i22A8 B7 C3 D 27函数 f(x)x2 2axa 在区间
3、 (，1)上有最小值，则函数 g(x) 在区间fxx(1，)上一定( )A有最小值 B有最大值 C是减函数 D是增函数- 2 -8甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表：甲 乙 丙 丁r 0.82 0.78 0.69 0.85m 106 115 124 103则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性( )A甲 B乙 C丙 D丁9对于在 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x a)f (x)0，则必有( )Af(x)f(a) Bf(x)f(a) Cf(x)f(a) Df(x)f(a)10
4、按如图所示的算法流程图运算，若输出 k2 ，则输入 x 的取值范围是( ) A19x 200 Bx 19 C19x200 Dx20011我们知道，在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 a，类比上述结32论，在边长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值( )A. a B a C. a D a63 64 33 3412已知函数 f(x)x3ax2bx c ，x表示的曲线过原点，且在 x1 处的切线斜率均为1 ，给出以下结论：f(x) 的解析式为 f(x)x34x，x；f(x) 的极值点有且仅有一个；f(x) 的最大值与最小值之和等于 0.其中正确的结论有( )A0
5、个 B1 个 C2 个 D3 个第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：(本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共 20 分)13设 Sn1 ，则 Sn1Sn_.12 13 14 12n14为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班 50 名学生进行了问卷调查，得到了如下的 22 列联表：- 3 -喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生 20 5 25女生 10 15 25合计 30 20 50则至少有_的把握认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示 )附：K2nad bc2a bc da cb dP(K2k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.7
6、06 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82815如图所示，有 5 组(x ，y)数据，去掉_组数据后，剩下的 4 组数据的线性相关性最大16.下面有 4 个命题：当 x0 时， 2x 的最小值为 2；12x若双曲线 1(a0， b0)的一条渐近线方程为 y x，且其一个焦点与抛物线x2a2 y2b2 3y2 8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为 2；将函数 ysin2x 的图象向右平移 个单位，可以得到函数 ysin(2x )的图象；6 6在 RtABC 中，AC BC ，ACa，BCb，则ABC 的外接圆半径 r ；类比到空a2 b22间，若三棱锥 SABC 的三条侧棱
7、 SA、SB、SC 两两互相垂直，且长度分别为 a、b、c，则三棱锥 SABC 的外接球的半径 R .a2 b2 c22其中错误命题的序号为_三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17 (本题 10 分)已知数列an的各项均为正数，观察程序框图，若 k5，k10 时，分别有S 和 S .试求数列an的通项公式511 1021- 4 -18 (本题 12 分)已知 f(x)x2axb.(1)求：f(1)f(3)2f(2) ；(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 .1219 (本题 12 分)实数 m 分别取什么数
8、值时？复数 z(m25m 6)(m22m15)i(1)与复数 212i 相等；(2)与复数 1216i 互为共轭复数；(3)对应的点在 x 轴上方20 (本题 12 分)已知函数 f(x) 在 x1 处取得极值 2.axx2 b(1)求函数 f(x)的表达式；(2)当 m 满足什么条件时，函数 f(x)在区间(m,2m1)上单调递增？2 1(本题 12 分) 某学校为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从 2014 级的年龄在 17 19 岁之间的大学生中随机抽取了自南方和北方的大学生各 10 名，测量他们的身高，量出的身高如下(单位：cm)南方：158,170,166,169,180,
9、175,171,176,162,163北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166- 5 -(1)根据抽测结果，完成茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出两个统计结论；(2)设抽测的 10 名南方大学生的平均身高为 ，将 10 名同学的身高依次输入按程序框图进行x运算，问输出的 S 大小为多少？并说明 S 的统计学意义。22 (本题 12 分)已知函数 f(x)x2alnx.(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若 g(x)f(x) 在2x1.解析：选 B.由 是实数得，a1 i 1 i2 a1 i
10、 1 i2 a 1 ia 12a 10，a 1，选 B.2 C 是假命题， 是真命题， 是真命题，是假命题3.解析：选 A.依题意知， 1.7， 0.4，x1710 y 410而直线 3 bx 一定经过点 ( ， )，y x y所以3b1.70.4，解得 b2.4.【解析】f(x)sin(x21)不是正弦函数， 上述推理过程中小前提不正确【答案】C5.【解析】 (3x)3xln 3；(log2x) ；(ex)ex；( ) 1xln 2 1ln x 1xln x2；(xex) ex xexex(x1)，故选 B.1xln x2- 6 -【答案】 B6.解析 A 12i， i2， |5i2|， 1
11、 i2i ， i22 ，所以 AR ， i2， 1， 5， 2， 12 5， 2， 12故其子集个数为 238. 答案 A7.【解析】 由函数 f(x)x22axa 在区间(，1)上有最小值，可得 a 的取值范围为a 1，又 g(x) x 2a，fxx ax则 g(x)1 ，ax2易知在 x(1，)上 g(x )0，所以 g(x)为增函数【答案】 D8.D 丁同学所得相关系数 0.85 最大，残差平方和 m 最小，所以 A、B 两变量线性相关性更强9.【解析】 由(xa)f(x)0 知，当 xa 时，f(x)0 ；当 xa 时，f (x)0.当 xa 时，函数 f(x)取得最小值，则 f(x)
12、f(a)【答案】 A10.【 解析】由流程图可知，输出 k2，需满足Error!解得 19x200，故选 A.11.【 解析】正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为 h1，h2，h3 ，h4，每个面的面积为 a2，正四面体的体积为34a3，212则有 a2(h1h2h3 h4) a3，13 34 212得 h1 h2h3h4 a.63【答案】A12.解析：选 C.f(0)0 ，c0 ，f(x)3x2 2axb.Error!，即Error!.解得 a0 ，b 4，f(x) x34x，f (x)3x24.- 7 -令 f(x)0 ，得 x
13、，233极值点有两个f(x) 为奇函数，f(x)max f(x)min0.正确，故选 C.二、填空题：13【 解析 】Sn11 ，12 12n 12n 1 12n 2nSn1 ，12 13 14 12nSn1Sn .12n 1 12n 2 12n 2n【答案】 12n 1 12n 2 12n 3 12n 2n14 .答案 99.5%15.解析：因为 A、B、C、E 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D 点离得远故应去掉 D 点答案：D16.【 解析】对于，2x 取得最小值为 2 的条件是 x 0，这与 x0 相矛盾；对于，将12x函数 ysin2x 的图象向右平移 个单位，可以得到函数 y
14、sin2(x )sin(2x )的图象；易6 6 3证成立；对于，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线【答案】三、解答题：17.【 答案】 由程序框图可知，数列an是等差数列， 首项为 a1，公差为 d.Si ( )1a1a2 1a2a3 1aiai 1 1d1a1 1a2 1a2 1a3 1ai 1ai 1 ( ).5 分1d1a1 1ai 1当 k5 时，S ( ) .1a1 1a61d 5a1a6 511a1a611，即 a1(a15d) 11- 8 -当 k10 时，S( ) ，1a1 1a111d 10a1a11 1021a1a11 21，即 a1(a110d
15、)21 由、联立，得 a11，d2 ，因此 ana1 (n1)d2n1. .10 分18.(1)解 f(1)ab 1， f(2)2a b4，f(3)3ab9，f(1) f(3)2f(2)2. .5 分(2)证明 假设 |f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 .12则 f(1) ， f(2) ， f(3) ，12 12 12 12 12 121 2f(2)1，1f(1)f(3)1.2f(1)f(3)2f(2)2 ，这与 f(1)f(3) 2f(2)2 矛盾假设错误，即所证结论成立.12 分19.解：(1) 根据复数相等的充要条件得Error!解之得 m1. .4 分(2)根据共轭复数的定
16、义得Error! 解之得 m1. .8 分(3)根据复数 z 对应点在 x 轴上方可得 m22m15 0 ，解之得 m3 或 m5. .12 分20.解：(1) 因为 f(x) ，而函数 f(x) 在 x1 处取得ax2 b ax2xx2 b2 axx2 b极值 2，所以Error!即Error!解得Error!所以 f(x) 即为所求.6 分4x1 x2(2)由(1)知 f(x)4x2 1 8x2x2 12 . 4x 1x 11 x22令 f(x)0 得 x11 ，x2 1 ，则 f(x)的增减性如下表：x ( ，1) (1,1) (1，)f(x) f(x) - 9 -可知，f(x)的单调增
17、区间是，所以Error! 所以当 m(1,0时，函数 f(x)在区间(m,2m1)上单调递增.12 分21. (1)茎叶图如图，统计结论： (给出下述四个供参考，考生只要答对其中两个即可，给出其他合理的答案也可)北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高南方大学生身高比北方大学生的身高更整齐南方大学生的身高的中位数为 169.5 cm，北方大学生的身高的中位数是 172 cm.南方大学生的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的高度分布较为分散.6 分(2) 169，S42.6，S 表示 10 位南方大学生身高的方差，是描述身高离散程度的量，S 值越x小，表示身高越整齐，S
18、 值越大，表示身高参差不齐.12 分22.解：(1) 易知函数 f(x)的定义域为(0，)当 a2 时， f(x)x22lnx ，f (x)2x .2x 2x 1x 1x当 x 变化时，f(x)和 f(x)的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，)f(x) 0 f(x) 递减 极小值 递增由上表可知，函数 f(x)的单调递减区间是(0,1) ，单调递增区间是(1 ，) ，极小值是 f(1)1. .6 分(2)由 g(x)x2alnx ，得 g(x) 2x .2x ax 2x2若函数 g(x)为1，)上的单调增函数，则 g(x)0 在1，)上恒成立，即不等式2x 0 在1，)上恒成立也即 a 2x2 在1 ， )上恒成立2x2 ax 2x令 (x) 2x2，则 (x) 4x.2x 2x2当 x1，)时，(x) 4x0 ，2x2- 10 -(x) 2x2 在1，)上为减函数，2x(x)max(1)0.a0 ，即 a 的取值范围为0，).12 分
