1、第六章 最优控制,2019年3月26日,本章内容,6.1 概述 6.2 研究最优控制的前提条件 6.3 静态最优化问题的解 6.4 泛函及其极值变分法 6.5 用变分法求解连续系统的最优控制问题 6.6 极小值原理 6.7 线性二次型最优控制问题,6.1 概述,甲仓 1500包,乙仓 1800包,1元,工地B 600包,工地C 1200包,2元,4元,4元,5元,9元,如何发送水泥最省运费?,工地A 900包,假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3;从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6,总运费为:,x的约束条件,目标函数,约束条件,最优化问题,
2、最优化问题的数学描述,目标函数,等式约束条件,不等式约束条件,静态最优化问题,最优化问题的数学描述,目标函数,约束条件受控对象的状态方程,动态最优化问题,6.2 最优控制的前提条件,1.状态方程,2.控制作用域,控制集,容许控制,3.初始条件,初始集,可变始端,4.终端条件,目标集,可变终端,5.目标泛函性能指标,综合型、鲍尔扎型,积分型、拉格朗日型,终端型、梅耶型,满足 的控制，称为最优控制；,在最优控制 下，状态方程的解，称为最优轨线,使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标,线性二次型性能指标,6.3 静态最优化问题的解,6.3.1 一元函数的极值,设J=f(x)为定义在闭区间a,b上的
3、实数连续可微函数，则存在极值u*点的必要条件是：,u*极小值点的充要条件是,u*极大值点的充要条件是,6.3.2 多元函数的极值,设n元函数 f = f(u), u=u1, u2, un ，存在极值点的必要条件是：,或者函数的梯度为零矢量,取极小值点的充要条件是,海赛矩阵,例6-1 求函数 f(x) 的极值点及极小值。,解：根据极值必要条件 ，得：,解得：,海赛矩阵：,正定，x*为极小值点,6.3.3 具有等式约束条件的极值,目标函数,等式约束条件,解法 （1）嵌入法 （2）拉个朗日乘子法,拉个朗日乘子法,等式约束条件,核心思想： 构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数，作为新得目标函数
4、，同时消去等式约束。,拉格朗日函数构造：,将拉格朗日函数最为优化目标函数：,则目标函数存在最优解的条件是：,目标函数,则目标函数存在最优解的条件是：,例6-2 求使,取极值的x*和u*，并满足约束条件,其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。,解：构造拉格朗日函数：,则目标函数存在最优解的条件是：,解得极值点为：,由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条件。,6.4 泛函及其极值变分法 1.什么是泛函?,泛函就是函数的函数 函数：对于x定义域中的每一个x值，y又有一个（或者一组）确定的值与之对应，则称y是x的函数，记做y(x)。 泛函：对应于某一类函数中的每一个确定的函数y(x)，因
5、变量J都有一个确定的值（注意、不是函数）与之对应，则称因变量J为宗量函数y(x)的泛函数，简称泛函，记做J=Jy(x),求弧长的泛函,一般的L也是x，y的函数，,2泛函的极值,求泛函极值的问题称为变分问题。求泛函极值的方法称为变分法。 如果泛函 在任何一条与y0(x)接近的曲线上所取的值不小于Jy0(x)，即 ，则称泛函 在曲线 上达到了极小值。反之，达到了极大值。,泛函的变分的另一定义,为关于 的线性泛函,是关于 的髙阶无穷小量，,例6-3 求下列泛函的变分,解：方法一,的线性主部为,，则,方法二,4泛函极值定理,6.泛函极值的必要条件欧拉方程,欧拉方程,证明：,设极值曲线为 ，泛函极值为,
6、在极值曲线附近有一容许曲线 ，则 代表了 与 之间所 有可能的曲线。,当 时， 就是极值曲线 。,根据泛函极值条件,对第二部分分部积分,欧拉方程,展开后得,欧拉方程是一个二阶方程，需要两个边界条件,如果有两个固定端点，边界条件为：,如有自由端点，则自由端满足,确定的边界条件为,例6-5 设受控对象的微分方程为,以 和 为边界条件，求 使下列性能泛函极值取最小值。,解：将微分方程带入性能泛函,欧拉方程为,解得,带入边界条件,解上面方程得到C1和C2，即获得,根据 ，可得最优控制,6.5用变分法求解连续系统的最优控制问题,拉格朗日问题,系统状态方程为,性能泛函为,寻求最优控制u(t)，将系统从初始
7、状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，并使性能泛函J取极值,解,状态方程写成约束方程形式,应用拉格朗日乘子法，构造增广泛函：,伴随方程,系统的状态方程,控制方程,哈密尔顿正则方程,6.7 线性二次型最优控制问题,1.有限时间状态调节器,状态调节器的任务在于，当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近平衡状态。 在研究这类问题时，通常把初始状态矢量看作扰动，而把零状态取做平衡状态。于是调节器问题就变为寻求最优控制规律u，在有限的时间区间t0,tf内，将系统从初始状态转移到零点附近，并使给定的性能泛函取极值。,设线性时变系统的状态空间表达式为,为
8、nn维半正定的状态加权矩阵，为rr维半正定的状态加权矩阵， 为nn维半正定的终端加权矩阵。,设u取值不受限制，寻求最优控制，使J取极值。,解：,（1）构造哈密尔顿函数,（2）控制方程,（3）正则方程,（4）边界条件,(5)根据控制方程，控制最优控制u*(t)是线性函数，为了使用状态反馈，我们希望u*(t)是x的函数，为此，假设,则K(t)就是最优反馈控制矩阵。,（6）将 带入正则方程，消去 ，得,（7）将 求导得,黎卡提矩阵微分方程（对称矩阵）,边界条件,2无限时间状态调节器,设线性定常系统的状态空间表达式为,为nn维半正定的状态加权矩阵， 为rr维半正定的状态加权矩阵。,设u取值不受限制，寻
9、求最优控制u*，使J取极值。,解：最优控制为,其中P为nn维正定常数矩阵，且满足下面得黎卡提矩阵代数方程,最优轨线是下列线性定常齐次方程得解,例6-22 已知系统的状态方程,性能泛函为,求使 的最优控制,解：已知,为使 正定，假设,经检验受控系统完全能能控。 和 正定， 因此存在最优控制,P是如下黎卡提代数方程的解,整理得三个代数方程,在保证 和P为正定条件下，可得,则系统最优控制为,闭环系统框图,闭环系统的状态方程为,闭环系统的传递函数为,闭环极点,参数根轨迹图为,课堂练习,给定线性定常系统状态方程 ， ，系统初值为 ， ，设性能指标为,设计最优状态反馈，使性能指标最小。,解,将上述矩阵带入黎卡提代数方程,将上式展开,由上述第一个方程得 ，取 带入后两个方程,状态反馈矩阵,
