1、1,1.2 事件的概率与性质,历史上概率的三次定义, 公理化定义, 统计定义, 古典定义,联数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmo- gorov)给出,2,在相同条件下进行n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值,1.2.1 频率,称为事件 A 发生的 频率.,3,频率的性质,事件 A, B互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,4,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012
2、, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰( Buffon )投币,皮尔森( Pearson ) 投币,5,实验1.1 抛掷硬币的仿真试验具体步骤： 第1步：进入Excel表格界面，在Excel主菜单中依次选择“工具”/“数据分析”； 第2步：在“数据分析”对话框中选择“随机数发生器”，单击“确定”； 第3步：出现“随机数发生器”对话框窗，分别输入变量个数（指试验轮数），随机数个数n（试验次数），分布（这里选柏努利），参数（这里取0.5），输出选项，单击“确定”，得所产生的0、1随机数；,6,第4步：根据随机数是1或0确定硬币抛掷后出现正面或反面，随机数求和可得频数m，进一
3、步可计算频率 （注：如果点击“工具”后未出现“数据分析”项，则需点击“加载宏”，进行该项功能加载）,7,例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率, 发现各字母出现的频率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.09
4、87 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,8,频 率 的 应 用,第5章指出:当试验次数较大时有,事件发生 的概 率,事件发生 的频 率,根据如下百年统计资料可得 世界每年发生大地震的概率,9,近百年世界重大地震,1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 万 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万 1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万 1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万 1935.05.30 巴基斯坦
5、基达地区 7.5 5 万,“重大”的标准, 震级 7 级左右, 死亡 5000人以上,10,1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万 1970.01.05 中国云南 7.7 1 万 1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 万1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 万 1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万 1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万 2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万 2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万,世界每年发生大地震概率约为14%,11,医生在检查
6、完病人的时候摇摇头：“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：“但你是幸运的因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”,医生的说法对吗?,请同学们思考,12,概率的 统计定义,1.2.2 概率的定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越,小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点：直观易懂,缺点：粗糙模糊,不便 使用,13,其中 为两两互斥事件.,设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋
7、于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：,非负性：,归一性：,可列可加性：,概率的 公理化定义,14,概率的性质,若,15,对任意两个事件A, B, 有,B,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+ P(B AB),16,加法公式：对任意两个事件A, B, 有,推广：,17,一般形式：,右端共有 项.,18,例1 小王参加某智力游戏节目, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王,解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率(2) 至少有
8、一类问题能答出的概率(3) 两类问题都答不出的概率,(2),(3),19,思考题,例1 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是？,20,例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下，P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得, 最小值, 最大值,最大值在 时取得,21,思考题,最小值是否正确？,例2 中回答当 时, 取得,这相当于问如下命题是否成立,答：不成立 ！,式是“肉包子打狗 ”有去路,没回路,为什么呢？学了几何概型便会明白.
9、,22,设 随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算公式：,记,则,1.2.3 古典（等可能）概型,概率的 古典定义,23,例3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率,解 （1）不放回情形,E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复 m 次,:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,24,又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色,1:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,则,因此,称超几 何分布,不放回地逐次取 m
10、 个球, 与一次任取 m 个球算得的结果相同.,25,（2）放回情形,E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次,2:,记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则,称二项分布,26,设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ),（5）至少有两个球在同一盒子中；,（6）每个盒子至多有一个球.,例4 （分房模型）,27,解,设 (1) (6)的各事件分别为,
11、则,28,例4的“分房模型”可应用于很多类似场合,信封,信,钥匙,门锁,女舞伴,生日,人,男舞伴,29,例5 “分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人，求至少有两,人生日相同（设为事件A ) 的概率.,解,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子”,若 n = 64，,每个盒子至多有一个球. 由例4（6）,30,用上面的公式可以计算此事出现的概率为P(A)=1-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，
12、结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,31,这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪. 计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：,32,表 3.1人数 至少有两人同 生日的概率20 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53830 0.70640 0.89150 0.97060 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的. 实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大. 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,33,解
13、,例6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数， 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.,设 A为“能排成首位非零的四位偶数”,四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的四,位数有 种取法,所以有利于A发生的取,法共有 种.,34,解,设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积能被10整除”,设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数”A2表示事件 “n 次取到的数字中有5”,A = A1 A2,例7 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( )个数,求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.,35,36,1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需 设计符
14、合问题要求的随机试验, 使其成为 等可能概型.,3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例7.,2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同, 如 例3不放回试验的两种不同设计. 一般 越小越好.,37,例8 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,1.2.4 几何概型 (等可能概型的推广),38,几何概型设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入 内任何区域 A 中的概率与区域 A 的测度成正比, 而与A的位置和形状无关，则样本点落入 A内的概率为,39,那么,两人
15、会面的充要条件为,例9 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连. 求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,解,40,故所求的概率为,若以 x, y 表示平面上点的坐标 ,则有,41,例10 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内独立随机地到达码头. 若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率.,解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x 24船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y 24,设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头,42,43,用几何概型可以回答例2中提出的“概率 为 1 的事件为什么不一定发生?”这一问题.,如图，设试验E 为“ 随机地向边,长为1 的正方形内投点” 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内” ,由于点可能投在正方形的对角线上, 所以,事件A未必一定发生.,求,
