1、- 1 -江西省吉安一中 2015 届上学期高三年级第二次阶段考试数学试卷（理科）第卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1. 已知集合 2|0Ax， |0Bx，则集合 AB等于（ ）A. |x B. |1x C. |1 D. |21x2. 复数 z满足 (2)3izi，则 z=（ ）A. i B. C. i D. i3. 某中学进行模拟考试有 80 个考室，每个考室 30 个考生，每个考生座位号按 130 号随机编排，每个考场抽取座位号为 15 号考生试卷评分，这种抽样方法是（ ）A. 简单随机抽样 B. 系统抽
2、样 C. 分层抽样 D. 分组抽样 4. 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线，一条渐近线方程是 3yx，则双曲线的离心率是（ ）A. 2 B. 32C. 3 D. 25. 甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法为（ ）A. 72 B. 36 C. 52 D. 246. 设(0,)(,)24，且1sin2taco，则下列结论中正确的是（ ）A. B. 4C. 4D. 7. 运行如图所示框图的相应程序，若输入 a，b 的值分别为 2log3和 l，则输出 M 的值是（ ）- 2 -A. 0 B. 1 C. 2 D. -18. 如下图是张大爷晨练时所走的离家距离（y ）与行
3、走时间（ x）之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（ ）9. 已知不等式组10xy，表示的平面区域为 M，若直线 3ykx与平面区域 M 有公共点，则 k 的取值范围是（ ）A. 1,3B. 1,3C. 10,3D. 1,10. 一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）m3- 3 -A. 72B. 92C. 73D. 9411. 在椭圆1369xy上有两个动点 P，Q，E（3,0）为定点，EP EQ，则 EPQ最小值为（ ）A. 6 B. C. 9 D. 126312. 已知函数 ()12fx， 0,x。定义： 1()fxf， 2
4、1()()fxf， nnf， 4满足 nf的点 0,称为 的 n 阶不动点。则 ()x的 n 阶不动点的个数是（ ）A. n 个 B. 2n2 个 C. 2（2n-1）个 D. 2n 个第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21 ）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22 ）题 -第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共四小题，每小题 5 分。13. 已知 2a， 3b， ,a的夹角为 60，则 2ab_。14. 设函数 ()sin)(0),()fxyfx图象的一条对称轴是直线 6x，则_。15. 数列 na的前 n 项和记为 nS， 11,2(1)naS，
5、则 na的通项公式为_。- 4 -16. ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，下列命题正确的是_( 写出正确命题的编号)。总存在某内角 ，使1cos2；若 siniAB，则 BA；存在某钝角ABC，有 tanttan0ABC；若 20aCbc，则ABC 的最小角小于 6；三、解答题（12 分5 分，+10 分）17. 已知数列 n的前 n 项和为 nS， 31na()N。（1 ）求 12,a；（2 ）求证：数列 n是等比数列；（3 ）求 n。18. 已知函数2()si2)cos1()6fxxR。（1 ）求 f的单调递增区间；（2 ）在ABC 中，三内角 A，B，C 的对边
6、分别为 a，b，c，已知1()2fA，b，a，c 成等差数列，且 9，求 a 的值。19. 如图，已知 AB平面 ACD，DE AB，ACD 是正三角形，AD=DE=2AB ，且 F 是 CD 的中点。（1 ）求证：AF平面 BCE；（2 ）求证：平面 BCE平面 CDE；（3 ）求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小。- 5 -20. 已知抛物线2(0)ypx的焦点为 F，点 P 是抛物线上的一点，且其纵坐标为 4，4PE。（1 ）求抛物线的方程；（2 ）设点 1(,)Axy， 2(,)B（ 0,12iy）是抛物线上的两点， APB 的角平分线与x 轴垂直，求 PAB 的面积最大
7、时直线 AB 的方程。21. 已知函数ln()axf在点 (1,)f处的切线与 x 轴平行。（1 ）求实数 a 的值及 f的极值；（2 ）是否存在区间2(,)03tt，使函数 ()fx在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数 t 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3 ）如果对任意的21,)xe，有1212()ffkx，求实数 k 的取值范围。请考生从第（22） 、 （23 ） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：知能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22. 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A，直线 PBC 交圆于 B、C 两点，D 是圆上一点，且AB CD，DC 的延长线
8、交 PQ 于点 Q。（1 ）求证：2ACB（2 ）若 AQ=2AP， 3,BP=2，求 QD。- 6 -23. 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C：2sincos(0)a，过点 P（-2 ，-4）的直线 l的参数方程为24xty（t 为参数） l与 C 分别交于 M，N。（1 ）写出 C 的平面直角坐标系方程和 l的普通方程；（2 ）若 P， ， 成等比数列，求 a 的值。24. 设函数 ()31fxax。（）若 a时，解不等式 ()4f；（II）若函数 ()fx有最小值，求 a 的取值范围。- 7 -【参考答案】1. B2. C3. B4. D5.
9、 B6. C7. C8. D9. A解析：试题分析：本题为线性规划含有带参数直线问题依据线性约束条件作出可行域，注意到 3()ykx所以过定点（3,0） 。作出可行域所以斜率应该在 x 轴与虚线之间，103k所以1,03k故答案为 A。考点：线性规划10. A11. A解析：试题分析：设 0(,)Pxy，则有201369xy，因为 EPEQ，所以22()EPQEPEQ22000(3)(3)9(1)6xxyx，即20684EP，因为 0x，所以当 04x时， EPQ取得最小值6，故选择 A。考点：向量、解析几何、二次函数在给定区间上的最值。12. D- 8 -解析：试题分析：函数12,0()1,
10、xfx，当10,2x时，1()20fx，当,时， 12()23fxx， 1()fx的 1 阶不动点的个数为 2，当0,4x， 12(),()40ff ，当2,25xx，当 123(,(),()44 3xffx，当 124(,),()5fxfx， 2)f的 2 阶不动点的个数为 ，以此类推， ()fx的 n 阶不动点的个数是 2n个。考点：函数与方程的综合运用。13. 1314. 5615. 13na16. 解析：试题分析：对，因为1cos2，所以03，而在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中必然会存在一个角(,3，故正确；对，构造函数sin()xF，求导得， 2cosin()xxF，当(0,)
11、2时， tanx，即sincox，则csi0x，所以cosi)F，即i()F在(0,)2上单减，- 9 -由 siniAB得siniBA，即 ()FBA，所以 BA，故不正确；对，因为 tattatatnCC，则在钝角ABC 中，不妨设 A 为钝角，有0,n0，故 tatnat0BC不正确；对，由 22()(2)()BbAcBbAccb，即 ()()acC，而 ,C不共线，则 0,，解得,，则 a 是最小的边，故 A 是最小的角，根据余弦定理222473cos 82bcaA，知 6，故正确；考点：1. 三角函数与解三角形；2. 利用导数求函数的最值；3. 不等式的应用。17. （1） 2a。1
12、4（2） （3 ）见解析解析：（1）解：由 1Sa，得 1a， 12。又 23Sa，即 123，得 24。（2 ）证明：当 n时， 11()()3nnnnaSa，得 12na，所以na是首项为12，公比为 的等比数列。（3 ）解：由（2）可得1()2nna。18. （1）,()6kkZ；（2） 32a。解析：（1）1()sin)cos1sincos2fxxxx2 分31sin2coi(2)6x3 分- 10 -由22()6kxkZ得，()36kxkZ5 分故 ()f的单调递增区间是,()366 分（2 ）1sin(2),0,26fAA于是5，故 3 8 分由 ,bac成等差数列得： 2abc，
13、由 9ABC得1cos9,8A10 分由余弦定理得，222cos()3abbc，于是245,18,312 分考点：三角函数变换，三角函数性质，三角形，平面向量，等差数列19.（ 1）见解析；（2 ）见解析；（3 ）45 。解析：（1）解：取 CE 中点 P，连结 FP、BP，F 为 CD 的中点，FPDE，且12FDE。又 AB DE，且12ABE， ABFP，且 AB=FP，ABPF 为平行四边形， AF BP又 F平面 BCE，BP 平面 BCE，AF平面 BCE（2 ） ACD 为正三角形，AFCD。AB平面 ACD，DEAB ，DE平面 ACD，又 AF 平面 ACD，DEAF 。又 AFCD ， CDE,AF平面 CDE又 BPAF ，BP平面 CDE。又 BP平面 BCE，平面 BCE平面 CDE（3 ）法一、由（2） ，以 F 为坐标原点，FA，FD，FP 所在的直线分别为 x，y ，z 轴（如图） ，
