1、1江西省吉安一中 2013-2014 学年下学期高二年级第一次段考数学试卷（理科）考试时间 120 分钟一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1. 设 i 是虚数单位，复数 ia21为纯虚数，则实数为（ ）A. 2 B. -2 C. D. 212. 若 132121 dxeSdxSdxS，则 321S， 的大小关系为（ ）A. 32B. 32C. 32D. 12S3. 将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16则数表中的数字 2014 出现在（ ）A. 第 44 行第 78 列 B. 第 45 行第 78 列C. 第 44 行第 77 列 D.
2、 第 45 行第 77 列4. 己知函数 )(xf=x3-12x+a，其中 a16，则下列说法正确的是（ ）A. f有且只有一个零点 B. )(xf至少有两个零点C. )(x最多有两个零点 D. 一定有三个零点5. 己知函数 )0(*2Nnaxyn，的图象在 x=1 处的切线斜率为 )2(1*Nnan，且当 n=1 时，其图象经过 8,，则 7=（ ）A. 21B. 5 C. 6 D. 76. 二项式nx)(2的展开式中各项系数的和为（ ）A. 32 B. -32 C. 0 D. 17. 由曲线 y=x2-1，直线 x=0，x=2 和 x 轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（ ）2A. d
3、x20)1(B. 201dxC. 20D. 2102)()(dx8. 已知函数 )1ln()(xf，则 )(xfy的图象大致为（ ）9. 定义在 R 上的函数 )(xf满足： )(xff恒成立，若 21x，则 )(21xfe与)(12xfe的大小关系为（ ）A. )(122xfeB. )()(1221xfefxC. )(21fxD. 1与 2的大小关系不确定10. 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大 3 所大学，若每所大学至少保送 1 人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种（ ）A. 150 B. 114 C. 100 D. 72二、填空题（每小题 5
4、分，共 25 分）11. 若 10*nN， ，且二项式nx)1(23的展开式中存在常数项，则所有满足条件的值的和是 。12. 在13)2(x的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为 ，则 10dx= 。13. 将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给3同一人的 2 张参观券要连号，那么不同的分法种数是 。14. 对任意实数，有432104 )()()3()()( xaxxaax，则3a的值为 。15. 下列使用类比推理所得结论正确的序号是 。直线 a，b，c，若 ab，bc，则 ac。类推出：向量 a， b， c，若 a b， 则 。同
5、一平面内，三条不同的直线 a，b，c，若 ac，bc，则 ab。类推出：空间中，三条不同的直线 a，b，c，若 ac，bc，则 ab。任意 a，bR，a-b0 则 ab。类比出：任意 a，bC，a-b0 则 ab。以点（0，0）为圆心，r 为半径的圆的方程是 x2+y2=r2。类推出：以点（0，0，0）为球心，r 为半径的球的方程是 x2+y2+z2=r2。三、解答题（12+12+12+12+13+14=75 分）16. （12 分）已知有如下等式：67432165321632 ，当 *Nn时，试猜想2n的值，并用数字归纳法给予证明。17. （12 分）已知 a 为实数， )(4)(2axxf
6、（1）求导数 )(xf；（2）若 0，求 )(f在 2,上的最大值和最小值；（3）若 )(xf在 2,和 上都是递增的，求 a 的取值范围。18. （12 分）如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 M 在AB 的延长线上，N 在 AD 的延长线上，且对角线 MN 过 C 点。已知 AB=3 米，AD=2 米。（1）设 AN=x（单位：米） ，要使花坛 AMPN 的面积大于 32 平方米，求 x 的取值范围； （2）若 x3，4（单位：米） ，则当 AM，AN 的长度分别是多少时，花坛 AMPN 的面积最大?并求出最大面积。419. （12 分）已知函数dc
7、xaxf 2341)( ),(Ra满足0)1()0(ff，且 )(xf在 R 上恒成立。（1）求 a，c，d 的值；（2）若 41243)(2bxh，解不等式 0)(xhf。20. （13 分）数列 na满足1(20nnnamS，其中 60cos2xd。（1）求 321S， ，猜想 ；（2）请用数学归纳法证明之。21. （14 分）已知函数 1ln)(2axaxf，（1）求证函数 f在 ,0上的单调递增；（2）函数 1)(txy有三个零点，求 t 的值；（3）对 1)(,221 exff， 恒成立，求 a 的取值范围。5高二数学（理）参考答案1-10 ABBCB，CBAAC11. 95012.
8、 7613. 9614. 815. （4）16. 6)12(3212nn，证明见解析【解析】先猜想，然后再用数学归纳法进行证明。证明时分两个步骤：第一步，先验证是当 n=1 时，等式是否成立；第二步，假设 n=k 时，等式成立；再证明当 n=k+1 时，等式也成立，再证明时一定要用上归纳假设。否则证明无效解：猜想： 6)12(3212nn4 分以下用数学归纳法证明其正确性10 当 n=1 时，左=12=1，右=1)(1，左=右，等式成立 5 分20 假设当 n=k )(k时等式成立，即 6)12(3212k6 分则22222 )1()( kk8 分6163()1( kk11 分即当 n=k+1
9、 时等式也成立。由 10 和 20 可知等式对任何 *Nn都成立 12 分17. （1） 423)( axxf。 （2）最大值为 29，最小值为 2750。 （3） 2，【解析】试题分析：（1）由原式得 axf 4)(23，6 423)( axxf。 2 分（2）由 0)1(f得，此时有43)(21(422 xfxxf，。 由 0)(f得 3或 x=-1，又 750)(f，0)2()(29)1( fff，所以 )(xf在 2,上的最大值为 29，最小值为。 7 分（3）解法一： 43)(axf的图象为开口向上且过点 )4,0(的抛物线，由条件得 0)2()( ff， ，即 08 2a。所以 a
10、 的取值范围为 ,。 12 分解法二：令 )(xf即 432ax，由求根公式得)1222,1x所以 43)(2axf。在 ,(1x和 ),2上非负。由题意可知，当 或 2时， 0)f，从而 21x， ，即 .612aa解不等式组得 2a。a 的取值范围为 ,。考点：函数求导数求最值判定单调性点评：函数最值一般出现在极值点或线段端点处，根据导函数图象 )(xf在 )2,和),2(上都是递增的可得函数的导数 0)(xf，解法一利用数形结合法，利用导函数图象求解较简单。18. （）),8()3,2；（）花坛 AMPN 的面积最大 27 平方米，此时 AN=3 米，7AM=9 米。【解析】试题分析：（
11、）把 AM 用 x 表示后，再把矩形 AMPN 的面积表示出来，解不等式可得；（）对（）中的函数解析式，以导数为工具，求出最大值。试题解析：由于 AMDCN即32，则 23xAM故 23xSAMPN3 分（1）由 APN得 ，因为 x2，所以 06432x，即 0)8(3x，从而 382x或 x8即 AN 长的取值范围是),8(),6 分（2）令 23xy，则22)(43)(6 xxy8 分因为当 4,时， 0，所以函数y在 ,上，从而当 x=3 时 23xy取得最大值，即花坛 AMPN 的面积最大 27 平方米，此时 AN=3 米，AM=9 米 12 分考点：函数的应用、导数的应用。19.
12、（1）041dca，（2）当b时，解集为),2(b，当 21时，解集为)21,(b，当时，解集为【解析】 （1） 0)(f， d，cxaxf)(。又 0)(f，2ca。 0)(xf在 R 上恒成立，即021cxa恒成立。80212axa恒成立，显然当 a=0 时，上式不恒成立。所以 a0， 3 分 ， 0)21(4)(0a即 ， 0162a解得ca，。 6 分（2）由（1）知 412)( xxf。由 0)(xhf，得043142bx，即0)2(b，即)21(x，当1时，解集为),1(，当b时，解集为),(b，当 21时，解集为。12 分20. （1）1， 2， 3， nS。 （2）见解析。【解
13、析】第一问中利用数列的赋值思想，由定积分得到 m=1，则可以得到 0na，)(2nnaS，借助于通项公式与前 n 项和关系求解前几项的和，并猜想得到通项公式。运用数学归纳法加以证明即可。解（）易得：m=1。 0n， nS，由)1(21aS，变形整理得 12，取正根得 1S。由)(22及 212S得 2)(22，变形整理得2S，取正根得 S。同理可求得 3。由此猜想 n。 5 分9（）用数学归纳法证明如下：（1）当 n=1 时，上面已求出 1S，结论成立。 7 分（2）假设当 n=k 时，结论成立，即 k。则 n=k+1 时，)1(21)(2)(21111 kSSSaS kkkkk 。整理得21
14、k，取正根得 。故当 n=k+1 时，结论成立。 12 分由（1） 、 （2）可知，对一切 *Nn， nS都成立。 13 分21. （1）详见解析；（2） 2t；（3） ea1。【解析】试题分析：（1）证明函数在某区间单调递增，判断其导函数在此区间上的符号即可；（2）判断函数零点的个数一般可从方程或图象两个角度考察，但当函数较为复杂，难以画出它的图象时，可以将其适当等价转化，变为判断两个函数图象交点个数；（3）恒成立问题则常用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，也可直接考察函数的性质进行解决，本题则可转化为 1)()(minaxeff ，而求 minax)()(ff， 则可利用导数去判断函
15、数的单调性，还要注意分类讨论。试题解析：（1）证明： xxafxx 2l)1(ln2l)( ， 0xa， ， 1ln， )(f函数 x在 ),0(。 4 分（2）解：令 f，解得 0x， 1)0()(minfxf，函数 1)(tx有三个零点， f有三个实根， 1t， 2t。 8 分（3）由（2）可知 )(xf在区间 0,，在区间 1,0， )(max10)(min ffxf ，又faf ln1)(l1，afln211，10设1ln21)(aag，则0)1(21)(2ag 在 ,， 0)(g，即 0f， afxfln1(m，所以，对于 xfx l)(1)(1,ma221， ， lnea， ea。 14 分考点：函数的单调性、函数的零点、不等式恒成立问题。
