1、Hertz弹性接触理论,弹性力学基础理论 空间轴对称问题的基本微分方程 空间轴对称问题 弹性接触问题(Hertz弹性接触理论) 一般接触问题,弹性力学的应力与应变关系,在弹性力学中假设物体是均匀、连续、和各向同性的，应力和应变的关系只决定于物体的物理性质，所以弹性力学与塑性力学的主要区别主要是应力和应变的关系定性。,拉伸试样示意图,PD3钢轨,物体的弹性变形曲线,材料力学的虎克定律,x = E x式中E称为弹性模量，对于一种材料在一定温度下它是一个常数。,应变关系,在研究拉伸变形时沿受力的方向引起伸长，同时在垂直于力作用线的方向则引起缩短。根据实验得知，在弹性范围内，横向缩短和纵向相对伸长成正
2、比，而缩短与伸长符号相反，故有： y = - x 其中是弹性常数，称为波桑系数。,应变与三向应力关系,考虑应力x 、y 、 z 同时作用在x轴方向的应变，则有： x = x - （y +z ）/E 同理可以得到 y轴和 z轴方向的应变。,剪应变与剪应力的关系,同样的方法可以得出剪应变与剪应力的关系表达式：xy = xy / G 式中G为剪切弹性模量。,广义虎克定律,将各向同性材料在空间应力状态时的应力与应变关系按上述方程式给出，即为广义虎克定律。 由于进行三向均匀加力存在实验技术困难，广义虎克定律难与直接用实验来验证，但在长期的实践中已间接证明它的可靠性。,2,空间轴对称问题的基本微分方程,在
3、工程中有不少问题，其几何形状和约束情况都是对称于 z 轴的。此时，用柱坐标表达则比较方便，所有各个分量都只是 r 和 z 的函数而与 无关。这种问题称为空间轴对称问题。,图所示为一个微小弹性体，用相距 dr 的两个圆柱面，互成 d 的两个铅直面和相距 dz 的两个水平面组成。 图中所有应力分量、应变分量和位移分量都将只是 r 和 z 的函数，不随 变化。即以 z 轴为对称。,图1,注意到应力分量是（r，z）的函数，将各面上的应力分量写出，单位体积内的体积力在 r 、z 方向的分量表示为 fr 、fz。根据此单元体在r方向的平衡方程：可以得：,方程（）,因为 d 很小，所以可以认为式中的并略去高
4、阶微量，并除以 rdr d dz， 前式整理后可得：,方程（）,同理可得 z 方向的平衡微分方程:,方程（）,进一步推导空间轴对称问题的几何变形方程: 设u、w分别代表 r 及 z 轴方向的位移分量，则有关系式：,方程（）,根据广义虎克定律，可得出物理方程：,令 e 为体积应变，即：,前面各项式中共有个未知数，即：它们必需满足方程式（，）。 当体积力时，将方程（）代入方程（）中，便可得到位移表达的平衡方程式（）。即为解空间轴对称问题的位移法的基本方程。,方程（）,通过边界条件，求出满足方程式（）的位移函数，然后代入到方程（、），即可求得应变及应力分量。,3，空间轴对称问题,设在弹性半空间体（即
5、在一个方向界面，在其余各方向皆为无限大）的界面上，受垂直界面集中力的作用，如图所示。现用位移法求此时的位移及应力分量。,图2,求位移函数,对空间轴对称问题，把轴放在力的作用线方向，将力作用点作为坐标原点。 当用位移法求解时,问题在于如何求出方程式(5)的解，并使之满足边界条件。,通过解方程可以求得两组位移函数满足方程特解，它们为： 第一组解：,第二组解：,方程（）,式中 r 和 z 是被考察点的两个坐标，=(r2+z2)1/2 是被考虑点到坐标原点的距离。、是两个任意常数。 为此可以将方程（）的通解写为：,方程（）,现已得到满足基本方程的位移函数。通过边界条件来确定常数、 。 将方程（）代入方
6、程（）中，求解可以得方程（）：,方程（）,把所得的、代回方程（）式，最后可以求得位移函数为：,求应力分量（）,将（）式的、代入方程（）中，可求得应力分量的计算公式（）：,由位移及应力计算公式可以看出，随着的增大，位移和应力分量都迅速减少。当时，位移和应力分量都趋于零。这说明此物体受力状态下的应力与位移均带有局部性质。 当时，各应力分量都趋于无限大。所以集中力作用点处进入塑性变形区域。而实际中加载不可能在一点上，而是分布在一个区域的面积上，因此分布压力计算更有意义。,4、Hertz弹性接触理论,在机械工程中，常遇到两曲面物体相互接触，以传递力的情况。例如齿轮、轮轨接触等。这种接触在加载前都是点接
7、触或线接触，而在加载后，由于材料的弹性变形，接触点变为了接触面。实际工程中常常需要求解接触面的压力分布和接触区域的应力分布。,年， Hertz首先用数学弹性力学方法导出接触问题的计算公式。其假设条件为：认为材料是均匀的，各向同性的、完全弹性的；接触表面的摩擦力可忽略不计，表面是理想的光滑表面，在上述假设下，基本公式才能成立。,应用的三个基本原理,（）、变形方程：点接触物体受力后其接触表面为椭圆；而线接触物体受力后其接触表面为矩形。两接触物体的变形符合变形连续条件。 （）、物理方程：由于材料处于弹性阶段且服从虎克定律，因此接触表面上应力的变化规律与接触体的应变成线性关系，在应变最大的接触表面中心
8、压应力最大。,Hertz假设接触表面的压应力分布为半椭圆体。 （）、静力平衡方程：根据接触表面压应力分布规律求得表面接触压力所组成的合力应等于外加载荷。将上述三方面的方程表达式联合求解，即可求得各种接触问题的公式。,现推导两个球体弹性接触时的公式。 设两圆球体的半径分别为、 。开始时在公切平面上的点相互接触，如图所示。,Hertz接触模型示意图,方程（）,在两球的子午面截线上，与 z和z 相距距离 r 处的两点和的坐标 z、z 可以近似地表达为：当z、z 很小时，上式（）成立。,当两球体受到力的作用而沿着点的法向相互压紧时，在接触处发生局部变形，而形成一个小的圆形接触面（斑），其接触区半径及变
9、形均远远小于两球半径、。 因此和两点的距离为：,弹性变形量计算（）,设 w1 表示球体面上的点由于局部变形所产生的沿 z1 轴方向的位移，w2 表示球面上的点由于局部变形所产生的沿 z2 轴方向的位移，两球的中心1彼此接近的距离为。如果和点在接触区域内，则可以得到：,方程（）,由于对称性，由接触产生的压力 q 和位移 w 对于接触中心都是轴对称的。 从图中可得，取圆为接触面，其中点是接触面上球体的一点，将球体近似地作为弹性半空间，则利用以前求得的位移方程（）可得：,推导为：而为压力分布函数，可以用积分方式表示。,方程（）,在方程（）中，1、 1 是球的弹性常数，积分是对整个接触面取的。 同样方
10、法可以求得球体的位移变形方程，于是可以求得：,方程（）,由方程（）和（）可以求得方程（）的表达式为：现在问题转化为寻求 q 的一个表达式以满足上式。,按照Hertz假设，接触区域的压力分布是半球体形式的，这样接触中心的压力最大，为q，其位置在接触中心处。所以接触区的压力分布q的积分可以表达为（见图）：,式中是虚线半圆的面积，a 是接触圆半径。 积分表达式是把接触压力沿弦 mn 进行积分，可以求得。 将上述方程代入到方程（）式，得：,对于 r 的任何值，此方程式都是使用的，因此有：,方程（）,由此可以计算出：,以上公式可见，最大接触压应力与载荷不时线性关系，而是与载荷的立方根成正比，这时候因为随
11、着载荷的增加，接触面积也在增大，其结果使接触面上的最大压应力的增长较载荷的增长为慢。应力与载荷成非线性关系是接触应力的重要特征之一。接触应力的另一个重要特征是应力与材料的弹性模量及波桑比有关，这时候因为接触面积的大小与接触物体的弹性变形有关部门的缘故。,方程式（）中，当 ， 0.3 时，可以得：,当圆球与平面接触时，则可以将 ； 代入方程求解即可。 如果当圆与凹球面接触，则用-代入计算即可。,5，一般接触问题,以下列出工程中常用的接触物体计算公式。,1，两圆球接触,计算公式,当材料相同， 为0.3时可得：,2，圆球与平面接触,计算公式,当材料相同， 为0.3时可得：,，圆球与凹球接触,计算公式,当材料相同， 为0.3时可得：,，圆柱与平面接触,计算公式,当材料相同， 为0.3时可得：,，两圆柱相交接触,计算公式（接触区是椭圆）,上式系数、及可查表获得,一般情况接触,一般情况的接触计算较为复杂，通常也是利用查表计算，相关弹性力学书籍中可以获得。,End!,
