概率论1-5.ppt

1、概率论,授课教师 : 徐伟娟 Mobil:13951722422 QQ:26950270,2,第一章 随机事件及概率,随机事件 随机事件的概率 古典概率模型（等可能概率模型） 条件概率 随机事件的独立性,3,1.1 随机事件,一、随机试验,随机现象：在一定条件下，事先不能断言会出 现哪种结果，这种现象称为随机现象。,例：抛一枚硬币，观察出现正面或反面的情 况。,4,（3）试验中一切可能出现的结果可以预先知 道。必然性（统计规律性）,随机试验必需满足：,（1）在相同条件下，可以进行大量次重复试验。可重复性,（2）每次试验中可以出现不同的结果，而不 能预先知道发生哪种结果。偶然性,随机试验一般用字

2、母E表示。,5,例1 E1：掷一枚硬币，观察其正面（H）和反面（T）出现的情况。试验的条件是掷一枚硬币，条件实现（一枚硬币掷出）就完成一次试验。,例2 E2：将一枚硬币掷2次，观察正、反面出现的情况。试验的条件就是把硬币掷2次，条件实现（硬币掷了2次）就完成一次试验。,6,例3 E3：从含有2个黑球 和3个白球 的盒子中任意的取出3个球，观察取出的球；条件实现（从5个球中取出3个）就完成试验。,例4 E4：把2个球a和b任意的放入3个盒子中（每个盒子可以放任意多个球），观察球在盒子中的放法。,7,例5 E5：记录某网站在1分钟内的点击次数。,例6 E6：观察某厂生产的灯泡的使用寿命t。,8,随

3、机事件：一个随机试验E中可能发生也可能 不发生的事件称为该试验的随机事件（简称 事件）通常用字母A、B、C等表示。,基本事件：试验E的每一可能的结果叫做基本 事件 ，一般用表示。,样本空间：基本事件的全体组成的集合称为 该试验的样本空间。,二、随机事件,9,必然事件：每次试验中必然发生的事件称为 必然事件，记为。,不可能事件：每次试验中不可能发生的事件 称为不可能事件，记为。,（1）样本空间的构成是由试验的条 件和观察的目的所决定。,注意,10,（2）基本事件是事件的一种，一般的事件是 由若干个基本事件共同组成的，因而是样本空 间的子集，通常又称其为复合事件。,（3）随机事件的另一个定义：样本

4、空间的某个子集。事件A发生当且仅当试验中出现A的某个基本事件。,11,三、事件之间的关系和运算,定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称 事件B包含事件A。记为:B A或A B。,（1）事件的包含关系,结论：若事件A B且A B，则称事件A和事 件B相等，记为AB。即：事件A、B所包含 的基本事件是一样的。,12,定义：事件A，B至少有一个发生，称为事件A与B的和（或称为并），记为AB,（2）事件的和,13,定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时发生，即AB，则称事件A、B是互不相容的事件。,结论：从基本事件说，互不相容事件就是没有公有的基本事件。显然，在一次试验中，两个基本事件不能同时发生

5、，所以任何两个基本事件都是互不相容事件。,（5）事件的互不相容性,14,定义：若AB ，AB，则称A、B为相互对立的事件（简称互逆），事件A的逆事件又可记为 。,（6）逆事件,15,交换律：ABBA，ABBA 结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC) 分配律：(AB)C(AC)(BC) ，(AB)C(AC)(BC),（7）事件的运算规律,德摩根公式：,16,例1、在一个口袋里装有红、黄、白三种球， 每种球都不止一个，一次任取两个球，观察 它们的颜色。设A两个同色球，B至少 一个红色球，问AB由哪些基本事件组成？,例2、设A、B、C为三个事件，试将下 列事件用A、B、C表示出来。 （1

6、）三个事件都发生； （2）三个事件都不发生；,17,（3）三个事件至少有一个发生； （4）A发生，B、C不发生； （5）A、B都发生，C不发生； （6）三个事件中至少有两个发生； （7）不多于一个事件发生 ； （8）不多于两个事件发生。,18,1.2 随机事件的概率,一、事件的频率,定义：如果在n次重复随机试验中，事件A发 生了nA次，那么就称比值 fn(A)为事件A发生 的频率，其中 ， nA称为A在这n次试验中发生的频数。,对任意随机试验E，频率具有性质：,19,20,二、概率的定义,（1）概率的统计定义,定义1：在同一组条件下所作的大量重复试验 中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的

7、常数 p 附近摆动，并且逐渐稳定于p，那末 数 p 就表示事件A发生的可能性大小，并称 它为事件A的概率，记作 。,21,（2）概率的公理化定义,定义2：设E是随机试验，是E的样本空间， 对于E的每一个事件A对应唯一的实数值，记为，称为事件A的概率，如果集合函数 满足下列条件：,22,（3）可列可加性： 是任意无穷多个互不相容的事件，有,这3条也是概率的三个基本性质，此外概率 还有一些其他性质：,23,24,25,概率的加法公式可推广到有限个事件的并的 情形。如：,这个式子称为“多除少补原理”.,26,1.3 等可能概型,等可能概型（古典概型）：如果一个随机试 验E具有如下的特征，则称为等可能

8、概型。,（1）基本事件的全集是由有限个基本事件 组成的；,（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可 能性是相同的。,27,定义：在古典概型中，若样本空间包含的基 本事件总个数为n，其中事件A包含的基本事 件个数为k，则事件A的概率为,古典概型中概率的计算,28,例1、 甲，乙两人各出8元赌注，采用抛硬币作为赌博手段。正面向上甲得1分，反面朝上乙得1分，谁先达到预先规定的分数就获得全部的16元赌注。当甲差2分，乙差3分时他们不愿意再赌下去，请问如何公平的分配这16元赌注？,例2、 盒中有a个黑球，b个白球，从中分不放回和有放回的抽取n个球，求事件A：“刚好取到k个黑球”的概率。,29,例3、n个

9、球随机放到N个盒子中，求下列事件发生的概率（1）A:某指定的n个盒子中每盒有1球；（2）B:任意的n个盒子每个盒子刚好有1个球；（3）C:第一个盒子刚好有k个球。,30,例4、(抽签的公平性) 盒中有a个黑球，b个白球，把球随机地一只只取出（不放回），求事件A：“第k（1 k ab）次取到黑球”的概率。,例5、一盒中含有N1个黑球，一个白球，每 次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球， 这样继续下去，求事件A：“第k次取到黑球” 的概率。,31,解：显然，这是一个古典概型的问题，样本 空间的大小为 ；而要求概率的事件A所包 含的基本事件个数就不容易计算了，但可考 虑其逆事件，包含的基本事件数为

10、：,32,例6、 从1，2，9中有放回的取n个数，求取到的n个数的乘积能被10整除的概率。,33,1.4 条件概率与乘法公式,一、条件概率的定义,在实际问题中，除了要知道事件A的概率 外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条件 下，事件A发生的概率。一般情况下，两者的 概率是不相等的，为了区别所见，我们把后者 称为条件概率，记为 ：,34,例1、设10件产品中有2件次品，8件正品。现 每次从中任取一件产品，且取后不放回，试求 下列事件的概率。 （1）前两次均取到次品 （2）第一次、第二次取到次品 （3）已知第一次取到次品的条件下第二次也取到次品,35,定义：A，B两个事件，P(A)0，称,为A

11、发生的条件下，事件B发生的条件概率。,如：,注意：（1）条件概率也是概率，所以，它满足概率的一切性质 。,36,（2）一般的，概率与条件概率之间没有大小关系，但是有一种情况例外。,（3）在古典概型中，设样本空间是由n个基本事件组成，若事件B包含m个基本事件 (m0)，AB包含k个基本事件，则,37,例2：有10个产品，其中4个是次品，从中不放回的抽取2个，已知取出的一个是次品的条件下另外一个也是 次品的概率。,38,二、概率的乘法公式,定理：两个事件的交的概率等于其中一个事件 的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概 率的乘积。即：,P(AB)=P(B) P(AB)P(A) P(BA),这是两

12、个事件的交，我们可以推广到求有限多个事件的交：,39,例3：把3个球随机地放到4个盒子中，A表示有球盒子的最小号码为3，求P(A)。,40,三、全概率公式和贝叶斯公式,41,设为随机试验E的样本空间， 为样本空间的一个划分。则：,2、全概率公式与贝叶斯公式,42,例4、 设有一箱同类型的产品是由三家工厂所生产的，已知其中有 的产品是由第一家工厂生产的，其它二厂各生产 ；又知第一第二两厂生产的有 2是次品，第三家工厂生产 的有4是次品，现从箱中任取一件产品，问拿到的是次品的概率为多少？,43,例5、产品整箱出售，每箱20个。各箱有0，1，2个次品的概率分别为0.7，0.2，0.1。一位顾客欲购买

13、一箱产品，在购买时，营业员随机地取一箱，而顾客从中任取4只检查，若无次品，则买下该箱产品，否则退货，求（1）顾客买下该箱产品的概率；（2）已知顾客买下一箱产品，则该箱都是正品的概率为多少？,44,例6、袋中N个球，其中红球个数从0N等可能，每次从中任取1球，观察其颜色后放回，如此重复了k次。结果k次都观察到红球，问袋中全是红球的概率。,45,一、 两个事件的独立性,1.5 事件的独立性,例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两 个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个 产品，求 （1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取 得次品的概率； （2）第二次取得次品的概率。,46,解： 设事件A第

14、一次抽到次品，事件B第二次抽到次品，,（1）因是有放回的：P(B|A) ;,（2）因是有放回的：P(B)P(B|A),所以， P(B|A) P(B) 。,47,定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个 事件，若满足 ，则称事件 A、B互相独立，记为i.d.（independent）。,定理：若事件A与B相互独立，且,48,49,二、多个随机事件的独立性,50,（1） 相互独立，则其中任取k个事件 也相互独立；反之不一定。,注意,51,例2、假若每个人的血清中含有肝炎病毒的概 率为0.004，混合100个人的血清，求此血清中 含有肝炎病毒的概率。,解：设Ai第i个人的血清中含有肝炎病毒， 可以

15、认为它们是相互独立的。,52,设一电路由5个同样的电子元件组成（如下图所示），每个元件正常工作的概率（元件的可靠性）为p，元件损坏即断路。每个元件工作状况互相独立，求此电路的可靠性（线路两端保持连通的概率）。,例3、（系统可靠性）,53,例4、甲、乙、丙3人同时独立的对飞机进行射击，3人击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7，飞机被1人击中而被击落的概率为0.2，被2人击中而被击落的概率为0.6，若3人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。,54,例5、由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2，损坏10，损坏90的概率分别为0.8，0.15，0.05。现从中任取3件，发现3件都

16、是好的，求此次物品运输被损坏了2的概率。（假设运输的物品足够多，不放回抽取近似地看成有放回抽取）,55,2、设 ，且，则 （ ）。,3、设A、B、C 为随机事件，且 ， ， 0.125，则A、B、C至少出现一个的概率是 。,1、已知 ，则 （A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。,56,4、设 ， ，若 事件A与B互逆，则 ；若 事件A与B独立，则 。,57,7、有来自三个地区的考生报名表各10份，15份和25份，其中女生报名表分别为3份，7份，5份。现任取一个地区的报名表，再从中取一份，求：（1）该表为女生表的概率；（2）已知该表为男生表，它来自第二个地区的概率为多少？,58

17、,第二章 随机变量及其分布,随机变量 随机变量的分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数的分布,59,从概率的定义我们知道，概率是自变量为集合的特殊的函数；为了能用变量，函数及微积分等工具来得出事件发生的概率、研究随机现象，引进了概率论中的另一重要概念随机变量。,2.1 随机变量,60,例1、抛一枚硬币1次，观察正(H)、反(T)面朝上的情况。,例2、从含有2个黑球，3个白球的盒子中任取3个球，观察取出球的情况。,61,若令X表示取出的3个球中黑球的个数,例3、观察某网站在一段时间内被点击次数。,例4、观察某厂生产灯泡的使用寿命t.,62,定义：设E是一个随机试验， 是其样 本空

18、间，如果对每一个 ，有唯一的实 数X()与之对应，则称X是E的一个随机变量。,63,（2）引进随机变量后，随机事件可以用随机变量在实数轴上某一个集合中取的值来表示。,所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取值的概率。,64, 2.2 随机变量的分布函数,对于随机试验而言，仅仅知道它可能的出现的随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的可能性有多大。 相对于随机变量X来说，就是X取什么值不重要，重要的是X取这些值的概率有多大。,65,定义：设X是一个随机变量， 是一个实 数，函数 就称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。,66,分布函数的性质：,特别需要说明的是：随机变量的分布函数 具

19、有上述3条性质；反之也成立。,67,例1、判断以下函数是否为分布函数：,68,关于分布函数还有一些常用公式：,（1）,（2）,（3）,（4）,69,2.3 离散型随机变量,离散型随机变量：随机变量的可取值范围，有 的可以排列出来，有的不能排列出来。把可取 值能按一定的次序一一列举出来的随机变量称 为离散型随机变量。,70,定义：如果离散型随机变量X的一切可能取值为 ，则称P(X=xk)pk为随机变量X的概率分布列，简称分布列或分布律。,一、离散型随机变量的分布列,71,例1、一射手对某一目标进行射击，一次击中 的概率为0.8 （1） 求一次射击的分布列； （2） 求到击中目标为止所需的射击次数

20、的 分布列。,解（1） 设X=0击不中目标， X=1击中目标，则：,72,p1P(X=0)0.2 ，p2P(X=1)0.8 所以分布列为：,（2） 设射击到击中目标为止，射击的次数是 随机变量Y，则Y1,2,3,k,。,73,所以Y的分布律为： pkP(Y=k)0.2 k-10.8，k=1,2,74,例2、把3个球任意的放到4个盒子中，令X表示 落到第 1个盒中球的个数，求X的分布列。,解：,75,分布律的性质 ：,反之，若数列 满足这两条性质，则一 定是某一离散型随机变量的分布律。,76,77,解：,78,对随机变量而言，除了要研究其分布列以外， 还要研究其分布函数 。根据上一节的内 容可得

21、离散型随机变量X的分布函数为,从几何上来看，这个函数的图像应是阶梯型,79,例5、 求例2中的随机变量X的分布函数。,分布函数为：,80,二、常见的离散型随机变量,（1）（0-1）分布：设随机变量X只可能取0和 1两个数值，它的分布律为,其中 ，则称 X 服从（0-1）分布。,81,（2）二项分布：若随机变量X的分布律为其中 ，则称X服从参数为n，p的二项分 布，记为 ，当 时，就是（0-1） 分布。,82,定义：把试验E在相同的条件下重复进行n次，各次试验的结果有限且互不影响，则称这n次试验为n次独立试验。,如果每次试验只有两个结果，则n次独立试验又称为n重伯努利试验。,83,定理：设X是n

22、重伯努利试验中成功（A发生）的次数，则XB(n,p)，其中p=P(A),例6、在正常情况下，某种家禽感染某种疾病的概率为0.3，现发明一种疫苗，将其给40只健康的家禽注射后发现有5只家禽受到感染，问应如何评价这种疫苗的作用。,84,定理：XB(n, p)，则,此时X的取值即为事件A最可能成功的次数，当k为最可能成功的次数时，称P(X=k)为二项分布的中心项。,85,例7、为了保证设备正常工作，需配备适量的 维修工人。现有同类设备300台，各台工作是 相互独立的，发生故障的概率为0.001，在通常 情况下，一台设备的故障由一个工人来处理。 问至少要配备多少工人，才能保证设备发生故 障后但不能及时

23、维修的概率小于0.01？,86,解：设需要配备N名工人。记同一时刻发生故 障的设备数为X，则 。问题 的实质是求最小的N，使,此时我们用二项分布公式来计算，很难得出结果，因此必须找另外的方法。,87,查表得: N+1=3,即N=2。 因此，为满足要求，至少需配备2名工人。,定理：,88,（3）泊松（Poisson）分布：设随机变量X可能 取的一切值为0，1，2，而取各个值的概率 为 ，其中 是常数，则称X服从参数为的泊松（Poisson） 分布，记为 XP（ ）。,89,定理： ，则, 当 是整数时，, 当 不是整数时，,90,91,92,一、连续型随机变量的概念,如果随机变量的取值能充满实数

24、轴上的某个 区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量 称为连续型随机变量。,2-4 连续型随机变量,93,定义：设随机变量 X 的分布函数为 。若 存在非负可积函数 ，使得对于任一实数 x 有 则称 X 是连续型随机变量，其中函数 称 为 X的概率密度函数，简称为概率密度。,94,反之，任何一个函数 满足了（1）， （2），则由定义的 也一定是某个连 续型随机变量的分布函数。,95,解：由概率密度函数的性质知,例1：设连续型随机变量X的概率密度函数 为： ， x +，求常 数C。,96,解：由分布函数的性质可知， 在 处是连续的，所以在 处其左、右极限 都应该是1，因此A1。,（3）若 在x处连

25、续，则,97,显然,而,98,我们还可以看 ，,它们也都满足概率密度函数的性质，所以，本 题的密度函数也可以取为 或 。,99,注意：一般的，同一个连续型随机变量X的概 率密度函数可以有许多，但它们除了在有限 个点或可数个点上不相等外，其它点都相等。 也即连续型随机变量X的概率密度函数是“几乎 处处”唯一的。,100,所以对连续型随机变量X而言，概率为0的事件未必是不可能事件；概率为1的事件也未必是必然事件。,（4）连续型随机变量X在一个点上取值的概率恒为0。,101,二、几个重要的连续型随机变量,1、均匀分布,102,分布函数：,例3、设随机变量X在区间0,1上服从均匀分布，现对其进行4次独

26、立观察，求至少有一次观察值大于2/3的概率。,103,2、指数分布,若随机变量X具有密度：,其中， 是常数，则称 X 服从参数为 的指数分布。记为：X 。 （指数分 布又常被称为寿命分布）,分布函数：,104,指数分布有一个特性：无记忆性。 我们看下面的例子：,例6、某种电器元件的使用寿命X服从参数为 1/2000的指数分布（单位：小时） （1）任取一个元件，求能正常使用1000小时 以上的概率。 （2）求其正常使用1000小时后还能使用1000 小时的概率。,105,解：X的密度为,（1）,（2）,106,由本题可见，指数分布的无记忆性；其实， 不仅是指数分布有这样的性质，几何分布也 同样具

27、有这样的性质。,107,3. 正态分布,定义：连续型随机变量X的密度函数为：其中、都是常数(0)， 则称X服从参数为、的正态分布，记 为：XN(,2) 。,108,正态曲线具有以下性质：,（1）曲线位于x轴的上方，以直线x=为对 称轴，它向左向右对称地无限延伸，并且以 x轴为渐近线；（2）当x=时曲线处于最高点，当x向左右 远离时，曲线逐渐降低，整条曲线呈现“中 间高、两边低”的形状；,109,（3）参数决定了正态曲线的形状，愈 大，曲线愈“矮胖”(即分布愈分散)，愈小， 曲线愈“高瘦”(即分布愈集中于的附近)。,110,特殊的：当0、1时的分布称为标准正态分布，记为N(0,1)，则其密度函数

28、为：,分布函数为：,111,正态分布与标准正态分布的联系：,重要公式：,112,例7、某科统考成绩近似服从正态分布在参加统考的人中，及格者 100人，（及格分数为60分）计算： （1）不及格人数。 （2）估计第10名的成绩。,解：（1）设考生的成绩为 X ，显然：,113,若参加考试人数是 n ，则有,114,（2）设第10名的成绩为 a 分，则,115,例8、测量某一目标的距离时，测量误差 X(cm)N(50,1002)，求： （1）测量误差的绝对值不超过150厘米的概 率。 （2）在三次测量中至少有一次误差的绝对 值不超过150厘米的概率。,116,解：,（2）在3次测量中，令Y表示误差不

29、超过 150(cm)的次数，则 YB(3，0.8185),117, 分位点：给定常数 ，若存 在数 满足 ，则称 为,随机变量X的上 分位点；当 时， 称 为随机变量X的中位数。,118,一般的,上 分位点可查表得到 例:,在其它一些书上,也有将上 分位点称为临 界点。,119,2-5 随机变量函数的分布,问题的一般提法：已知随机变量 X 的分布， 是一连续函数，求 的分布。,120,121,（1）确定常数 a 的值；（2）求 的分布列。,122,解：根据分布列的性质得：,123,例2、设随机变量 XP()，求Y=X2的分布律。,124,2、X 是连续型随机变量：,设 X 的密度函数为 ，则随

30、机变量 的分布函数为,再对 y 求导即可得 Y 的密度函数。,例3、设随机变量 XU(0 , 1)，求 的分布。,125,X 的密度为,解：X 是连续型的，而 Y 是离散型的。显然 Y 的可取值为1，2，N。,126,127,128,所以，XN(0,1)时，求Y=X2的分布。,129,解：由 知,130,131,所以，随机变量 Y 的密度为：,132,第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量的联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 n维随机向量简介 随机向量函数的分布,133,3.1.1二维随机变量及其分布,定义3.1：设 是随机试验 E 的样本空 间，X和Y是定义在 上的随机变量，

31、由它们构 成的二维向量（X，Y）称为 E 的一个二维随机 变量。,3.1 多维随机变量及其分布,134,定义3.2：设（X，Y）是二维随机变量，对一切 (x,y)，称二元函数 为（X，Y）的联合分布函数，或称为（X,Y） 的分布函数。,联合分布函数的性质： （1）,135,136,性质（ 4 ）正是一维随机变量与二维随机变量 的不同之处。,137,如果，二维随机变量（X，Y）的一切可取值 为有限多对，或可列多对，则称（X，Y）为 二维离散型随机变量。,定义3.3：设二维离散型随机变量（X，Y）所有 可能取得值为（xi ，yj），i，j1，2，则 称：,3.1.2、二维离散型随机变量,138,为

32、（X，Y）的联合分布律，或称为（X，Y） 的分布律。,（X，Y）的分布律也可以用如下的表格表示：,139,例1（二维01分布）设一个袋中有2个黑球， 3个白球，从中任取2个球，X 表示第一次取出 的白球个数，Y 表示第二次取出的白球个数， 分别求出（1）有放回抽取，（2）不放回抽取 时,（X，Y）的联合分布律。,140,解：直接用表格表示为：,（1）,Y,X,141,例2、抛一枚硬币3次，令X表示头两次出现正面的次数，Y表示3次总共出现正面的次数，求(X,Y)的联合分布律。,142,例3、把5个球任意的放到3个盒子中，令X表示落在第一个盒子中球的个数，Y落在第二个盒子中球的个数，求(X,Y)的

33、联合分布律。,解： （X,Y）=（i , j）（ 其中i , j= 0,1,5；i+j5）,143,144,3.1.3 二维连续型随机变量,定义3.4：设 是二维随机变量（X，Y） 的分布函数，若存在着非负可积函数 ， 使对一切的 有,145,则称（X，Y）是二维连续型随机变量，函数 称为二维连续型随机变量的联合概 率密度函数。,密度函数 有如下性质：,146,（4）设 G 是 xy 平面上的一个区域,向量 落在G内的概率为：,其中（1），（2）为联合密度函数的基本性质。,（3）若 在点 处连续，则有：,147,148,149,例6（二维均匀分布）设G是xy平面上的区域，S是G的面积，定义二元

34、函数：,显然该函数满足密度函数的性质（1），（2），故其是二维连续型随机向量的联合密度函数，并称(X,Y)服从二维均匀分布。,150,3.2 边缘分布,一、边缘分布函数,定义：设 是（X，Y）的联合分布 函数，称 分别为（X,Y）关于X，Y的边缘分布函数。,定理：,151,二、 边缘分布律,定理：设（X,Y）是二维离散型随机向量，其联合分布律为：,152,例1：在3-1例1中，分别求出（X，Y）关于 X 和 Y的边缘分布。,153,154,求X,Y的边缘分布律。,155,例3、向一目标进行独立射击，每次击中目标 的概率为 p，令 X 表示首次击中目标所需的 射击次数，Y 表示第二次击中目标所需

35、的射 击次数，求（X，Y）的联合分布律和边缘分 布律。,显然，（X，Y）可能取的一切值为,156,设每次击中目标记为事件 A，由于射击是独立 的，所以,第 i 个,第 j 个,157,158,三、边缘概率密度函数,由3.2.1定理知：,而,由分布函数的定义知：,159,例2：在 0 , 1 区间上任意取两点，令 X 和 Y 分别表示这两点的坐标（设 XY），求 （X，Y）的联合概率密度及（X，Y）关于X 和Y 的边缘概率密度。,所以：,160,解：由题意可知， 其 面积为 S，则 另一方面， X、Y 是任取得两点，所以 （X，Y）在 G 上服从二维均 匀分布 ，故其联合概率密度为,161,那么

36、，边缘密度为：,162,163,一、条件分布函数,3.3 条件分布,164,165,二、离散型随机变量的条件分布律,设（X，Y）的联合分布律为,166,并称,为在 条件下随机变量 Y 的条件分布律。,求条件分布律P(Y=j |X=1),167,例2、向一目标进行独立射击，每次击中目标 的概率为 p，令 X 表示首次击中目标所需的 射击次数，Y 表示第二次击中目标所需的射 击次数，求（X，Y）的条件分布律。,解：由前面的解题过程可知，联合分布律为：,168,169,由条件分布律的定义得：,170,三、连续型随机变量的条件密度,171,同理可得：,172,例2、设二维随机变量（X，Y）在区域 上服

37、从均匀分布，求条件概率密 度 。,173,解：因为（X，Y）服从均匀分布，且圆面积 为。所以，联合概率密度为：,边缘分布为：,174,所以，当 时，条件分布为：,175,176,例3、设（X，Y）的联合密度为,求：,177,解：,即,从而,178,所以,179,3.4 随机变量的独立性,180,181,（2）,解（1）,182,183,相互独立的两个充要条件：,184,而且 （1）求 X 和 Y 的联合分布律； （2）问 X 和 Y 是否独立？,例2、已知随机变量 X 和 Y 的分布律为 ：,185,186,3.5 n维随机变量简介,一、 n维联合分布,187,定义2 如果(X1,Xn)只取有

38、限或可列无穷多组 向量值，则称(X1,Xn)为n维离散型随机变量，,称为(X1,Xn)的联合分布律。,188,189,（3）对n维连续型变量(X1,Xn)，落在n维 空间某区域G内的概率为,190,二、k维边缘分布及条件分布,定义4 称(X1,Xn)中任意k个分量所构成的k 维随机变量的分布为(X1,Xn)的k维边缘分布。,191,三、 独立性,192,193,3.6 随机变量函数的分布,问题：已知 Z = g(X,Y) 以及 (X,Y) 的联合分布， 如何求出Z的分布？,1、 (X,Y)为二维离散型随机变量,194,试求:(1) Z1=X+Y;(2) Z2=XY; (3)Z3=max(X,Y

39、) 的分布律。,195,196,197,198,2、 二维连续型随机变量的函数的分布,思路：设二维连续型随机变量的函数为Z=g(X,Y), 显然Z是一维随机变量，其分布函数为,如果设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则,199,例5、设(X,Y)的联合概率密度函数为 求 的概率密度。,利用Z的分布函数与Z概率密度之间的关系， 可以最终求出Z=g(X,Y)的概率密度。,200,设 是 的分布函数，记区域：根据连续型随机变量在平 面上的一个区域内取值得概率等于其联合概率 密度在这个区域上的二重积分。有,201,（此时的积分区域就是右图的G*）,交换积分次序有,202,203,例6、设 X、Y

40、 是两个相互独立同服从标准正 态分布的随机变量，求 的概率密度 函数。,解：X、Y 的密度为,204,由卷积公式得：,由 的密度可见，,更一般的结论，见教材P100 。,205,例7、设随机变量X,Y独立同分布于U(0,1), 求Z=X+Y的密度函数。,206,207,208,例9、设 X、Y 是两个相互独立同服从 分布的随机变量，求 的概率密 度函数。,例10、设随机变量X,Y独立同分布于U(0,1), 求Z=XY的密度函数。,209,例11、设 X1,X2,Xn 相互独立,分布函数分别为F1(x), F2(x),Fn(x) , 求 M = max(X1,X2,Xn)，N = min(X1,

41、X2,Xn) 的分布。,特别地, 当X1,X2,Xn i.i.d.时, 分布函数为F(x),则 FM(z)=(F(z)n , FN(z)=1-(1-F(z)n.,210,离散型随机变量没有密度函数，但是对于上式的分布函数公式仍然成立。,211,第四章 数字特征,数学期望 方差 协方差和相关系数 矩与协方差矩阵,212,4.1 数学期望,一、概念,例1、盒子中有6个球（如图），,从中任取一球再放回，重复了三次，问三次抽到号码的平均值。,213,214,对连续型随机变量 X 的数学期望类似的可定 义如下：,215,注1、若 ，仍称X的 数学期望不存在。,2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在有限

42、区间上积分，则X的期望一定存在。,3、离散型只取非负值，连续型只在x0时f(x)0，则只需直接计算期望。,216,二、常见随机变量的数学期望,217,（2）二项分布B(n,p),218,（3）泊松分布P(),219,（4）几何分布G(p),220,（5）均匀分布U(a , b),221,（6）指数分布,222,（7）正态分布 N(,2),223,三、随机变量函数的数学期望,定理4.1：设Y是随机变量X的函数，即 （g 是连续函数），（1）若X 是离散型随机变量，其分布律为而级数 绝对收敛，则有,224,（2）若 X 是连续型随机变量，其密 度函数为 ，若积分 绝对收敛，则有,225,（2）若（

43、X，Y）是二维连续型随机变量，有,226,例1：设 XB（n，p），求EX(X1)。,解：因XB（n，p），则X的分布律为,令 Yg(X) X(X1),227,228,例2、已知XN(0,1)，求E(X4),229,解：,230,例5：设X、Y相互独立同服从标准正态分 布N（0，1），求 E（maxX,Y）。,解：由题设，(X，Y)的联合密度为,231,232,（1） ECC，(C为常数) （2） E(CX)CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)EXEYE(aX+b)aEXb， E( ) （4）若X、Y是相互独立的随机变量，则E(XY)EXEY 。,四、数学期望的性质,233,例6、设X

44、的分布律为：,例7、把r个球放到n个盒子中，令X表示有球盒子的个数，求EX.,求 EX,234,4.2 随机变量的方差,一、方差的定义,对随机变量的特征进行考察，除了数学期望外，还要考察X的可取值与EX的偏离情况，由于XEX可正可负，因此用XEX2 来考虑。,235,定义4.3：设X是一个随机变量，若(XEX)2 的数学期望存在，则称E(XEX)2为X的方差，记为DX或Var(X)，即DXE(XEX)2,离散型随机变量：,连续型随机变量：,236,方差的计算公式：,二、几种常见的随机变量的方差,237,（2）二项分布：,（3）泊松分布：,（4）均匀分布：,238,（5）指数分布：,239,（6

45、）正态分布：,240,三、方差的性质,（1）D(C)0，(C为常数),（2）D(CX)C2DX ，(C为常数),（3）若X、Y是相互独立的随机变量，则D(X+Y)DXDY,（4）DX0,241,例1、已知 XN(1,22)，YN(2,22)，且X、Y相互独立，求：X-2Y+3的数学期望和方差 。,242,定理：切比雪夫不等式,243,一、协方差与相关系数的概念,我们在证明方差的性质时看到，当两个随机变量X和Y相互独立时，有,但当 X 和 Y 不相互独立时，它们之间的关系呢？,244,称 为 X、Y 的相关系数。,定义4.4：设 X、Y 是两个随机变量，称为随机变量 X、Y 的协方差，记为 即：

46、,245,相关系数的特征： 是一个无量纲的 量。它描述的是 X、Y 之间的线性相关程 度。,结论：X、Y相互独立，则其一定不相关； 但若 X，Y不相关，却未必相互独立。,246,二、协方差与相关系数的性质,1、协方差的性质:,247,2、相关系数的性质:,（1）| | 1 ;（2）| | = 1 的充要条件为 X 与 Y 以概 率1线性相关。即存在常数 a、b，a0 ， 使,248,249,例3、设随机变量X 的概率密度为求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否相关？,250,4.4 矩、协方差矩阵,一、矩,定义4.5：设X、Y是随机变量，称为X的k阶原点矩,称为X的k阶中心矩,称为X与Y的k+l阶混合中心矩,