1、1复变函数考试试题（一）1、 _.（ 为自然数）1| 00)(znzdn2. _.22cossin3.函数 的周期为_.z4.设 ，则 的孤立奇点有_.1)(2f)(zf5.幂级数 的收敛半径为_.0nz6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.7.若 ，则 _.nzlimnzzn.li218. _，其中 n 为自然数.)0,(Renzs9. 的孤立奇点为_ .zi10.若 是 的极点，则 .0)(f_)(li0zfz 三.计算题（40 分）：1. 设 ，求 在)2(1)(zzf )(zf内的罗朗展式 .1|0:zD2. .cos1|zd3. 设 ，其中 ，试求Czf73)(2 3
2、|:z).1(if4. 求复数 的实部与虚部.1w四. 证明题.(20 分)1. 函数 在区域 内解析. 证明：如果 在 内为常数，(zfD|)(|zfD那么它在 内为常数.2. 试证: 在割去线段 的 平面内能分出两个()1)fzz0Re1z单值解析分支, 并求出支割线 上岸取正值的那支在 的1z值. 复变函数考试试题（二）二. 填空题. (20 分)21. 设 ，则iz_,arg_,| z2.设 ，则Ciyxyxixyf )sn(1)2() 2_.lim1zz3. _.（ 为自然数） 1| 00)(znzdn4. 幂级数 的收敛半径为_ .0n5. 若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且
3、m0，则 z0 是 的_ 零点.)(f6. 函数 ez 的周期为_. 7. 方程 在单位圆内的零点个数为_.83258. 设 ，则 的孤立奇点有_.21)(zf)(f9. 函数 的不解析点之集为_.|10. ._),(Res4z三. 计算题. (40 分)1. 求函数 的幂级数展开式.)2sin(3z2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数 在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.iz3. 计算积分： ，积分路径为（1）单位圆izId|（ ）的右半圆.1|z4. 求 dzz22)(sin.四. 证明题. (20 分)1. 设函数 f(z)
4、在区域 D 内解析，试证：f (z)在 D 内为常数的充要条件是在 D 内解析.)(zf2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）二. 填空题. (20 分)1. 设 ，则 f(z)的定义域为_.1(2zf2. 函数 ez的周期为_.33. 若 ，则 _.nniz)1(2nzlim4. _.cosi5. _.（ 为自然数）1| 00)(znzdn6. 幂级数 的收敛半径为_.0nx7. 设 ，则 f(z)的孤立奇点有_.1)(2zf8. 设 ，则 .e_9. 若 是 的极点，则 .0)(f _)(lim0fz10. .,Resnz三. 计算题. (40 分)1. 将函数 在圆环
5、域 内展为 Laurent 级数.12(zfe0z2. 试求幂级数 的收敛半径.nz!3. 算下列积分： ，其中 是 . Cze)9(d21|z4. 求 在| z|0，则 z0 是 的_零点。)(f7、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内_。 、8、函数 的不解析点之集为_。|)(zf 9、 _，其中 n 为自然数。)0,(Resnz10、公式 称为_.xiixsco三、计算题（8x5=40 分）：1、设 ，其中 ，试求Cdzzf 173)(2 3|:zC.if2、求 。 3|1| )4(12sinzz dide3、设 ，求)(2zf .,Refs4、求函
6、数 在 内的罗朗展式。ze1|05、求复数 的实部与虚部。w6、求 .21ii四、证明题（6+7+7=20 分）：201、设 是函数 f(z)的可去奇点且 ，试证：CAzfz)(lim。)li),(Refsz2、若整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部且 ，则0)(f。0)(Czf3、证明 方程在 内仅有 3 个根。0364z2|1z 复变函数考试试题（四） 一、判断题（3x10=30 分）：1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 （ ）2、如果 z0 是 f(z)的本性奇点，则 一定不存在。 （ ）0lim()zf3、若 存在且有限，则 z0 是 f(
7、z)的可去奇点。 ( )lim0z4、若函数 f(z)在 z0 可导，则它在该点解析。 （ ）5、若数列 收敛，则 与 都收敛。 （ ）nRenzInz6、若 f(z)在区域 D 内解析，则|f(z)| 也在 D 内解析。 （ ）7、若幂级数的收敛半径大于 0，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ）8、存在整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部。 （ ）9、若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数，且在 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数。 （ ）10、 。 （ ）1|sin|C二、填空题（2x10=20 分）1、函数 ez 的周期为 _。212、幂级数 的和函数为
8、_。0nz3、函数 ez 的周期为 _。4、设 ，则 的孤立奇点有_。21)(f)(zf的收敛半径为_。5、幂级数 的和函数为_。0nx6、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_。7、若 ，则 _。nlimnzzn.li218、 _，其中 n 为自然数。)0,(Renzs9、方程 在单位圆内的零点个数为_。08325z10、函数 的幂级数展开式为_。21)(f三、计算题（5x6=30 分）：1、 .)(92|zdzi2、求 ).,1(Res2iz3、 .6limnni4、求函数 在 内的罗朗展式。ze1|05、求方程 在单位圆内零点的个数。142586、
9、求 。nnil四、证明题（6+7+7=20 分）1、设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 在 D 内解析。2、如果函数 在 上解析，且 ，)(zf1|:z )1|(|)|zf则 。1|)(|zf3、设方程 证明：在开单位圆内根的个数为04258z5。22复变函数考试试题（五）一、判断题（3x10=30 分）：1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 连续。 （ ）2、若函数 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0 解析。 （ ）3、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 处满足
10、Cauchy-Riemann 条件。( )4、若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数，则 。)(0)Dzf（ ）5、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C都有 。 （ ）0Cd6、若 f(z)在区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有。 （ ）C7、若 ，则函数 f(z)在是 D 内的单叶函数。 （ )(0)zf）8、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点，则 z0 是 1/ f(z)的 m 阶极点。 （ ）9、如果函数 f(z)在 上解析，且 ，1|:D)1|(|zf则 。 （ ）)|(|z10、 。 （ ）)(1|sin|Cz二、填空题（2x1
11、0=20 分）1、若 ，则 _。nniz)(2nzlim2、设 ，则 的定义域为_。1)(2ff3、函数 sin z 的周期为_ 。234、 _。z22cosin5、幂级数 的收敛半径为_。0n6、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m1，则 z0 是 的_零点。)(f7、若函数 f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程 在单位圆内的零点个数为08325_。10、公式 称为_。xieixsnco三、计算题（5x6=30 分）：1、 .62limnni2、设 ，其中 ，试求Cdzzf 173)(2 3|:zC.1if 3、设 ，求2()
12、1zefR(),.sfzi4、求函数 在 内的罗朗展式。63sinz|05、求复数 的实部与虚部。1w6、求 的值。ie3四、证明题（6+7+7=20 分）1、方程 在单位圆内的根的个数为 6。016937zz2、若函数 在区域 D 内解析， 等于常),(),()yxivuf v(x,y)数，则 在 D 内恒等于常数。(x3、若 z0 是 的 m 阶零点，则 z0 是 1/ 的 m 阶极点。)f )(zf24复变函数考试试题（六）一、判断题（3x8=24 分）1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 （ ）2、若函数 f(z)在 z0 处解析，则 f(z)在
13、 z0 满足 Cauchy-Riemann 条件。 （ ）3、如果 z0 是 f(z)的可去奇点，则 一定存在且等于零。( )lim0fz4、若函数 f(z)是区域 D 内的单叶函数，则 。 （ (0Dz）5、若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数。 （ ）6、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D 内恒等于常数。 （ ）7、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点，则 z0 是 1/ f(z)的 m 阶极点。 （ ）8、 。 （ ）1|sin|C二、填空题（2x10=20 分）1、若 ，则 _。1si()nnzilinz2、
14、设 ，则 的定义域为_。2()fzf3、函数 的周期为_。ze4、 _。22cosin5、幂级数 的收敛半径为 _。20nz6、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m1，则 z0 是 的_零点。)(f7、若函数 f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程 在单位圆内的零点个数为_。8302510、 _。)0,(Resnz三、计算题（5x6=30 分）1、求 .21ii2、设 ，其中 ，试求Cdzzf 73)( 3|:zC.1if3、设 ，求2()zefR(),0.sfz4、求函数 在 内的罗朗展式。(1)z|25、求复数 的实部与虚部。
15、zw6、利用留数定理计算积分： 20,(1).cosdxa四、证明题（6+7+7=20 分）1、方程 在单位圆内的根的个数为 7。7632491zz2、若函数 在区域 D 内解析， 等于),(),()yxivuzf|()|fz常数，则 在 D 内恒等于常数。3、若 z0 是 的 m 阶零点，则 z0 是 1/ 的 m 阶极点。)(f )(zf五、计算题（10 分）求一个单叶函数，去将 z 平面上的上半单位圆盘保形映射为 w 平面的单位圆盘 。:|1,I0zz:|1w26复变函数考试试题（七）一、 判断题（2x10=20 分）1、若函数 f(z)在 z0 可导，则 f(z)在 z0 解析。 （
16、）2、若函数 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0 解析。 （ ）3、如果 z0 是 f(z)的极点，则 一定存在且等于无穷大。( )lim0zfz4、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C都有 。 （ ）Cd5、若函数 f(z)在 z0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。 （ ）6、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C都有 。 （ ）0Cd7、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某一条曲线上恒为常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数。 （ ）8、若 z0
17、 是 f(z)的 m 阶零点，则 z0 是 1/ f(z)的 m 阶极点。 （ ）9、如果函数 f(z)在 上解析，且 ，则1|:)1|(|zf。 （ ）)1|(|)|zf10、 。 （ ）limze二、填空题（2x10=20 分）1、若 ，则 _。2sin(1)ninzlim2、设 ，则 的定义域为_。()ifzf3、函数 sin z 的周期为_ 。4、 _。22cosin5、幂级数 的收敛半径为_。0nz6、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m1，则 z0 是 的_零点。)(f7、若函数 f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_。8、函数 的不解析点之集为_。()f
18、z9、方程 在单位圆内的零点个数为8320150z_。2710、 _。2Res(,1)z三、计算题（5x6=30 分）1、 .6limnni2、设 ，其中 ，试求Cdzzf 173)(2 3|:zC.1if3、设 ，求2()1zefR(),.sfzi4、求函数 在 内的罗朗展式。()z|25、求复数 的实部与虚部。1zw6、利用留数定理计算积分 。24109xdx四、证明题（6+7+7=20 分）1、方程 在单位圆内的根的个数为 6。6937zz2、若函数 在区域 D 内解析， 等于),(),()yxivuzf ),(yxu常数，则 在 D 内恒等于常数。3、若 z0 是 的 m 阶零点，则
19、z0 是 1/ 的 m 阶极点。)(f )(zf五、计算题（10 分）求一个单叶函数，去将 z 平面上的带形区域 保形:I2z映射为 w 平面的单位圆盘 。:|1w复变函数考试试题（八）二、 判断题（4x10=40 分）：1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 （ ）282、如果 z0 是 f(z)的本性奇点，则 一定不存在。 （ ）)(lim0zfz3、若函数 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y),(,yxivu都在 D 内连续。( )4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。 （ ）5、若 z0 是 的 m 阶零点，则 z0 是 1/
20、 的 m 阶极点。 （ ）)(f )(zf6、若 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件，则 f(z)在 z0 解析。 （ ）7、若 存在且有限，则 z0 是函数的可去奇点。 （ ）li0z8、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C都有 。 （ ）Cd9、若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数。 （ ）10、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D 内恒等于常数。 （ ）二、填空题（4x5=20 分）1、函数 ez 的周期为 _。2、幂级数 的和函数为_。0n3、设 ，则 f(z)的定义域
21、为_。1)(2zf4、 的收敛半径为_。0n5、 _。),(Resnz三、计算题（8x5=40 分）：1、 .)(92|zdzi2、求 .,1Res23、 。nnii4 设 。求 ，使得2(,)ln()uxyy),(yxv为解析函数，且满足 。,),()ivyxuzf1ln2fi其中 （D 为复平面内的区域） 。5、求 ，在|z|1 内根的个数014z29复变函数考试试题（九）一、判断题。 （正确者在括号内打，错误者在括号内打，2 5=10 分）1当复数 时，其模为零，辐角也为零。 （ ）0z2若 是多项式 （ ）的01)( azaPnnn根，则 也是 的根。 0zz（ ）3如果函数 为整函数
22、，且存在实数 ，使得)(zf M，则 为Mf)(Re一常数。 30（ ）4设函数 与 在区域 D 内解析，且在 D 内的一小段)(1zf2f弧上相等，则对任意的 ，有 。 z)(1zf2f（ ）5若 是函数 的可去奇点，则 。 z)(zf 0)(Rezfsz（ ）二、填空题（每题 2 分）1 。_65432iii2设 ，且 ， ，0yxz zarg2arctn2xy当 时， 。,_ctnarxyz3函数 将 平面上的曲线 变成 平面上的zw11)(2w曲线 。_4方程 的不同的根为)0(4a。_5 。_)1(i6级数 的收敛半径为nnz0)1(2。_7 在 （n 为正整数）内零点的个数为zcos|。8函数 的零点 的阶数为 。)6(si6)(3zzf 0z_9设 为函数 的一阶极点，且a)(zf，则0,)(,0)(a。_Rezfsaz10设 为函数 的 m 阶极点，则)(f。_)(ezfsaz
