1、宇航学院学习部整理线性代数期末考试模拟题一一、单项选择题1设 A 为 3 阶方阵, 数 =2, |A| =3, 则| A| =（ ）A24; B24; C6; D 6.2设 A 为 n 阶方阵, n 1+n2+n3=n, 且|A| 0, 即 , 123A则 A-1=( )A ; B ;12131213AAC ; D .1321A13213设 A 为 n 阶方阵, A 的秩 R(A)=rn, 那么在 A 的 n 个列向量中（ ）A必有 r 个列向量线性无关;B任意 r 个列向量线性无关;C任意 r 个列向量都构成最大线性无关组;D任何一个列向量都可以由其它 r 个列向量线性表出.4若方程组 AX
2、=0 有非零解 , 则 AX= (0)（ ）A必有无穷多组解;B必有唯一解;C必定没有解;DA、B、C 都不对.5. 设 A、B 均为 3 阶方阵, 且 A 与 B 相似, A 的特征值为 1, 2, 3, 则(2B )-1特征值为( )A2, 1, ; B. , , ; C1, 2, 3; D2, 1, .2146236. 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 R（A）= R（B） ， 则（ ）AAB=BA;宇航学院学习部整理B存在可逆矩阵 P, 使 P-1AP=B;C存在可逆矩阵 C, 使 CTAC=B;D存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ=B.7实二次型 是（ ）212321321, xxxf
3、A正定二次型;B半正定二次型;C半负定二次型;D不定二次型.8设 A, B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵,则必有（ ）AA 的列向量线性相关,B 的行向量线性相关；BA 的列向量线性相关,B 的列向量线性相关；CA 的行向量线性相关,B 的行向量线性相关；DA 的行向量线性相关,B 的列向量线性相关.二、填空题若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于_;2.设 n 阶矩阵 A 满足 A22A+3E=O，则 A-1=_;3.设 ，则1230,3,1,4,07,13TTT的一个最大线性无关组为_;321,4. 设 是非齐次方程组 AX=b 的一个解向量， 是对应的齐次0
4、 rn,21方程组 AX=0 的一个基础解系，则 , 线性_;0 r5. 设 1 , 2 为 n 阶方阵 A 的两个互不相等的特征值，与之对应的特征向量分别为 X1，X 2，则 X1+X2_矩阵 A的特征向量。， 6. 设 A 为 n 阶方阵， 若 A 有特征值 1 , 2 , n，则宇航学院学习部整理|A2+E|=_;7. n 维向量空间的子空间 W= (x1，,x 2, , xn): 的维120nx数是_;8. 设 如果|A|=1, 123123123123(,), (,4,9)AB那么 |B| = _.三、解矩阵方程 ，其中X， .012A30B四、设方程组 .,1321xx问当 取何值
5、时，（1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；（3）方程组有无穷多解，求其通解（用解向量形式表示）.宇航学院学习部整理五、已知二次型, ，2212313132,56fxxxx(1) 写出此二次型对应的矩阵 A;(2) 求一个正交变换 x=Q y, 把二次型 f(x1, x2, x3)化为标准型 .宇航学院学习部整理六、设 ， ， 是 R 3 中的向量组，用施密特正交化)1,()2,10(2),0(3方法把它们化为标准正交组.七、设 A 为 n 阶方阵, 求证: A 2 = A 的充分必要条件是 :R(A)+R(A-E) = n.宇航学院学习部整理试题一参考答案一. 1. B 2.C 3.A 4.
6、D 5.B 6.D 7.A 8.A二. 1. 0 2. A = 123E3. 21,4. 无关5. 不是6. 221()(1)n7. n28. 2三. 解 由 ，得 . 因为BAXBXAE)2(，所以矩阵 可逆，0301|2| EAE2BAEX|2|*)()(= . 13031031四. 解: 22154宇航学院学习部整理512101()0()42 当 ,即 且 时，有唯一解.0A2(1)10当 且 ，即 时，无解.()()4当 且 ，即 时，有无穷多解. 1021021此时，增广矩阵为 0原方程组的解为 ( ) 1223 10xk12,kR五. 1. 二次型 f 所对应的矩阵为： 53,A2
7、. 可求得 det()(4)9,AE于1230,于1231 ,.0pp将其单位化得 16 ,2qp21,0qp3 1.宇航学院学习部整理故正交变换为：标准型： 112 23 3162 ,06yx 23 49.fy六解： 易验证 线性无关，从而可施行施密特标准正交化.321,令 ，),(， )1,0(),13)2,0(,122 1233 , )(5)10(),02(七证法 1. 充分性由 R(A)+R(A-E) = n 可得:n - R(A)+n - R(A-E) = n则方程组 AX=0 与(A-E)X=0 两个解空间的维数之和为 n,故 A 有 n 个线性无关的特征向量 分别属于特征值 0,1nii ,210存在 P(P 可逆), 使得: P-1AP= Ern于是 P-1A2P= = P-1AP 20rnrE0nr故 A2=A 2. 必要性因为 A2=A所以 A(A-E)=0从而 n=R(E)R(A)+R(A-E)n故 R(A)+R(A-E) = n. 得证.
