1、微波技术与天线哈尔滨工业大学（威海）论文名称 微波谐振器日 期 2013 年 7 月姓 名学 号 100250311微波谐振器一引言在微波领域中，具有储能和选频特性的元件称为微波谐振器，它相当于低频电路中的LC 振荡回路，它是一种用途广泛的微波元件。 低频 LC 振荡回路是一个集中参数系统，随着频率的升高，LC 回路出现一系列缺点，主要是，损耗增加。这是因为导体损耗、介质损耗及辐射损耗均随频率的升高而增大，从而导致品质因数降低，选频特性变差。尺寸变小。LC 回路的谐振频率 ，可见为了提高 必须减少 LC 数值，回路尺寸相应地需要变小，这将导致回路储能减少，功率容量降低，寄生参量影响变大。因为这
2、些缺点，所以到分米波段也就不能再用集中参数的谐振回路了。在分米波段，通常采用双线短截线作谐振回路。当频率高于 1GHz 时，这种谐振元件也不能满意地工作了。为此，在微波波段必须采用空腔谐振器作谐振回路。 实际上，我们可以把空腔谐振器（简称谐振腔）看成是低频 LC 回路随频率升高时的自然过渡。图 7-1-1 表示由 LC 回路到谐振腔的过渡过程。为了提高工作频率，就必须减小L 和 C，因此就要增加电容器极板间的距离和减少电感线圈的匝数，直至减少到一根直导线。然后数根导线并接，在极限情况下便得到封闭式的空腔谐振器。 二 微波谐振器的基本参量根据不同用途，微波谐振器的种类也是多种多样。图 7-2-1
3、 示出了微波谐振器的几种结构。(a)为矩形腔，(b)为圆柱腔，(c) 为球形腔，(d) 为同轴腔，(e)为一端开路同轴腔，(f)为电容加载同轴腔，(g)为带状腔，(h)为微带腔。在这些图中，省略了谐振器的输入和输出耦合装置，目的是使问题简化。但在实际谐振器中，必须有输入和输出耦合装置。 微波谐振器的主要参量是谐振波长 （谐振频率 或 、固有品质因数 Q0 及等效电导 G0。 图 7-2-1 几种微波谐振器的几何形状1、谐振波长 与低频时不同，微波谐振器可以在一系列频率下产生电磁振荡。电磁振荡的频率称为谐振频率或固有频率，记以 。对应的为谐振波长 。 是微波腔体的重要参量之一，它表征微波谐振器的
4、振荡规律，即表示在腔体内产生振荡的条件。我们先只研究与外界无联系的孤立腔体，即自由振荡的情况。 随着谐振器的种类不同，产生谐振的条件也不同，因而谐振波长的求解方法也各有所异。 首先研究波导空腔谐振器，它是微波谐振器的一种最重要的形式。对此，我们可以直接利用规则波导理论中的现成结果确定谐振波长。. 图 7-2-2 波导空腔谐振器一般，规则波导中的电场横向分量可表示为 (7-2-1) 式中， 为传输常数； 为截止波数； 为介质波数。我们知道，波导谐振腔可以看成是两端用导体板封闭的规则波导段，如图 7-2-2所示。这样，腔体就有两个边界条件可供利用： 时， ； 时， 。于是 根据，得 ，则式（7-2
5、-1）变为 (7-2-2) 根据，式（7-2-2）变为 故得 (7-2-3) 式中，常数 对 H 型波而言不能为零，否则所有场分量均为零，即该波型场均不存在。在波导讨论中我们已经知道，沿横向两坐标（x, y）场呈驻波分布；现在的腔体中由于 z 方向也有导体封闭，故沿纵轴方向波也呈驻波状态。当条件适合时就产生了振荡。 这样，我们将 和式（7-2-3）代入 中，即可求出谐振频率 的一般表达式 (7-2-4) 式中， 为介质中 TEM 波的相速。于是波导腔的谐振波长 的一般表达式，可立即写出 (7-2-5) 由上二式可以看出，波导腔的谐振波长 与腔体几何尺寸、工作模式有关，而与填充介质无关；谐振频率
6、不仅与几何尺寸、模式有关，还与填充介质有关。谐振波长 就是谐振频率下介质中的 TEM 波的波长。 其次研究同轴腔。图 7-2-1 中的(d)、(e)、(f)都可用平行双线等效，长度为 l，特性阻抗为 Z0，始端和终端各接导纳 和 ，当终端短路时，导纳趋于 ；当终端开路时，导纳会等于零；如终端为电容加载，则导纳为 。图 7-2-3(d)等效电路。若同轴线无耗，则从任意一个参考面 向两侧看去的输入导纳分别为 与 ，当 (7-2-6) 图 7-2-3 同轴腔的等效电路 图 7-2-4 谐振条件的圆图表示法 谐振腔谐振。相应的腔体长度称为谐振长度，相应的波长称为谐振波长。 谐振条件（7-2-6）可用导
7、纳圆图表示，如图 7-2-4 所示。 由于 和 都是纯电纳，又是异号，故二者对称分布于导纳圆图实轴两侧的 （最外圆）的圆上。利用这个原理，可以方便地确定各种同轴腔的谐振长度和谐振波长。 设参考面 与两端距离分别为 和 ，总长度为 l。由于终端短路，故从短路点沿 圆顺转 即得 ，再从短路点顺转 即得 。由于 、 对称分布于实辆两侧，故 若由 再继续顺转几圈，最后仍落在 位置上，谐振条件仍成立，即有 故同轴腔的谐振波长为 (7-2-7) 上式指出，当同轴腔谐振长度 l 给定时，其谐振波长 有无穷多个。当 给定时，对应的谐振长度为 (7-2-8) 可见 l 值也有无穷多个，且相邻两谐振长度之差等于
8、。 同理，可以得到图 7-2-1(e)所示的一端开路同轴线的谐振波长 与谐振长度 l 之间的关系为 (7-2-9) (7-2-10)对比式（7-2-8）和式（7-2-10）可知：对给定的 ，一端开路的同轴腔较两端均短路的同轴腔内导体长度缩短一半。 2、品质因数 品质因数是微波谐振器的另一个重要参量。它表征谐振器选择性的优劣和能量损耗的程度。腔体损耗主要源于腔壁导体的损耗和腔内介质的损耗。我们用电导 G0代表损耗，则腔体任一个参考面上的等效电路即如图 7-2-5 所示。这样一个并联谐振电路的品质因数 为 。但对谐振器来说， C、 G0都是未知值，因而不可能由上式计算 。类此，将 公式作如下变化(
9、7-2-11) 式中，U 为并联回路的电压幅值， （1/2）CU 2 为回路中所储能量的时间平均值， （1/2）G0U2 为回路损耗功率的时间平均值。对于大我数谐振腔来说，介质损耗可以忽略不计，而腔壁导体损耗则是主要的。因此谐振器的固有品质因数 可定义如下：在谐振情况下，谐振器中的储能与一周内腔体损耗能量之比的 倍，即为 (7-2-12) 当腔壁为理想导体时，腔内所储电能的时间平均值 与磁能时间平均值 是相等的，因而腔内总储能的时间平均值，为 (7-2-13) 式中，V 为腔体体积，H 为腔内各点的磁场强度。腔壁损耗功率的时间平均值 为 (7-2-14)式中， Rs 为腔壁导体的表面电阻， S
10、 为腔壁内表面面积。故谐振器的固有品质因数 的一般公式，为(7-2-15) 令 为腔壁导体的集肤深度，其值为 (7-2-16) 表面电阻 Rs 为 式中， 为腔壁导体的导电率，故 于是谐振器的固有品质因数公式，可化作 (7-2-17) 由此可见，为了计算腔体的品质因数 ，必须给出腔内各点的场强表达式。对不同类型的谐振器只要将其磁场分量与其共轭值点乘再积分，即可逐一算出各自的 值。 式中 为腔壁表面切向磁场。考虑到 ，则式（7-2-17）可写作 (7-2-18) 为了粗略估计空腔谐振器的 Q 值，我们假定腔内的场无变化，即 常数，则由上式可得 (7-2-19) 因在一般情况下，空腔的线尺寸与波长
11、 成正比，故式（7-2-19）可变为 (7-2-20) 在厘米波段，腔体的集肤深度 为几微米，由上式可粗略估计出 值约为 104105 微量级。由此可见，空腔谐振器的 值远大于 LC 回路的 值，这是空腔谐振器的一个重要优点。 3、等效电导 前已述及，考虑到腔壁损耗后，谐振器的等效电路可用图 7-2-5 表示。根据式（7-2-11）和式（7-2-12 ）可知，标志腔体损耗特性的等效电导 与损耗功率 的关系为 (7-2-21) 图 7-2-5 微波腔等效电路 于是等效电导可表示为 (7-2-22) 与波导一样，空腔中的电压与积分路径有关，因此 并非单值。若选定积分路径后，则其电场强度的线积分为一
12、定值，并称之为计算点间的等效电压，即 (7-2-23) 因此得到 (7-2-24) 综上所述，按照式（7-2-5） 、式（7-2-18）和式（7-2-24 ）可以严格计算出一个微波腔的 、 和 。但实际上要进行严格的计算往往是很困难的，除了矩形、圆柱形腔之外大多数腔体有复杂的形状，以致不能严格解出电磁分布。因此常常是在理论指导下粗略估算之后，再通过实验测定出腔体的 和 。 需要注意的是，腔的三个主要参量 、 和 都是针对某种谐振腔中的某一种谐振模式而言的，不同模式有不同的 、 和 。下面我们将结合不同类型的谐振器分别加以讨论。 四 波导矩形谐振腔波导矩形谐振腔是由一段两端用导体板封闭起来的矩形
13、波导构成的，如图 7-3-1 所示。它是几何形状最简单的一种空腔谐振器。 图 7-3-1 矩形空腔谐振器 将 代入式（7-2-3）中，可求得矩形腔的谐振长度，为 (7-3-1) 式中， 为矩形波导，轴向波导波长。 为计算三个基本参量，以及适当选择输入输出耦合装置，确定适当的调谐方式，抑制不需要的振荡模式等等，都必须知道腔内的电磁分布。由于传输线型谐振器中所发生的电磁振荡，可看成是传输线上沿正反两个方向传输的行波所合成的驻波场，因此，矩形腔中的电磁场可由矩形波导中的场方程利用新的边界条件直接导出。 （1）、矩形腔中的方程和矩形波导相对应，矩形腔也存在 H 型和 E 型振荡模式。 1H 型振荡模式
14、 对于 H 模式， 。将矩形波导中沿+z 和-z 方向传输的 H 模之 分量迭加，可得 由边界条件 ，可得 。则上式可写成 (7-3-2) 再由另一边界条件 代入上式，得 故(7-3-3)这和式（7-2-3）完全一致。于是(7-3-4) 根据麦克斯韦方程，H 模式的其它分量可用 表示如下 (7-3-5) 式中，。于是可求得矩形腔 H 型振荡模式的场分量表示式，为 (7-3-6) 2E 型振荡模式 对于 E 模式， 。利用同样方法可求得 E 型振荡模式的场方程，为 (7-3-7) 式中 (7-3-8) 由式（7-3-6）和式（7-3-7 ）两式可看出，在矩形腔中可存在无穷多个 H 型和 E 型振
15、荡模式。通常用 和 表示之，角标 m、n、p 为正整数，分别表示场沿 a、b 分布的半驻波个数。正如上面所述，对于 H 型， ，故 是不存在的，而 振荡模式则是可以存在的，因为对 E 型， 。 （2）、矩形腔的基本参量1谐振波长 对于矩形腔，截止波长为 代入式（7-2-5）即得矩形腔的谐振波长，为(7-3-9)对于同一腔体（ a、 b、 l 一定），不同模式有不同的谐振波长，只要将其m、 n、 p 代入上式，即可求得所对应的 。例如，矩形腔中的 模式，将 ，代入式（7-3-9）得(7-3-10) 又如对于 有 (7-3-11) 2品质因数 为求得矩形腔中各振荡模式的固有品质因数 ，只要将相应的
16、场分量代入式（7-2-18）进行计算即可。下面以 的模式为例，介绍计算方法。 将 代入式（7-3-6）中即得 模式的场方程，为 (7-3-12) 于是在腔内储能为 (7-3-13) 关于腔壁损耗，需按部位分别求出： 在空腔前后两壁上（ ） 在空腔左右两壁上（ ） 在空腔上下两壁上（ ） 于是腔壁总损耗为 (7-3-14) 将式（7-3-13）和式（7-3-14）代入式（7-2-18 ）中，得 (7-3-15) 对于正方空腔谐振器，因 ，则其固有品质因数为 (7-3-16) 若正方腔中的工作模式为 ，则由式（7-3-10）可求得 。于是式（7-3-16 ）变为 (7-3-17) 3等效电导 前已
17、述及，等效电导与所选择的等效电压的计算位置有关。作为特例，我们来计算 模式的等效电导。选择上下壁中心处作为等效电压计算点，并以两中心点连线为积分路径，则等效电压振幅的平方，为 (7-3-18) 因为 又由式（7-3-10）得 于是式（7-3-18）可改写为 (7-3-19) 将它们代入式（7-2-24）中，可得 (7-3-20) （3）、矩形谐振腔的模式图由式（7-3-9）可见，矩形腔的谐振波长为 不仅与空腔尺寸 a、b、l 有关，还与振荡模式的模数 m、n、p 有关。为了更直观地看出谐振频率随空腔几何尺寸和振荡模式的变化关系，需将式（7-3-9）作一下变换。令 ，尺寸均以 cm 为单位，频率
18、 以 GHz 为单位，光速 ，则式（7-3-9）变为 (7-3-23) 根据上式可对不同模数 m、n 、p 作出的关系曲线，如图 7-3-2 所示。这就是工程上所用的“模式图” 。图中每条曲线均代表一种或两种振荡模式的谐振曲线。 图 7-3-2 时矩形腔的模式态 实际上，式（7-3-23）是代表自变量为，因变量为 之直线方程，其中（ ）为其截距，而直线之斜率为 。因此图中所示各条曲线实际上是不同截距（即不同的 m、n）和不同斜率（即不同的 p）的直线。 由图可见，当空腔尺寸一定时，不同的 m、n、p 便有不同的振荡模式，即具有不同的振荡频率。且随着模数 m、n 、p 的增大， 也随之升高。同时
19、不同的谐振频率的差值越来越小。此外，对于某一种工作模式，当改变空腔长度进行调谐时，还可能出现其它的不需要的“虚假”模式。虚假干扰莫式共有 4 种，它们是： （1）干扰模式 就是当改变腔体长度进行调谐时，谐振频率与工作模式保持恒差的那种模式，称为工作模式的干扰模式。在模式图中所列的各平行线族均系干扰模式。干扰模式的特点是：它们与工作模式具有相同的 p（斜率） ，不同的 m、n（截距） 。 （2）自干扰模式 在模式图中，其调谐曲线与工作模式的谐振曲线相交于纵轴上一点的振荡模式称其为自干扰模式。其特点是：它们与工作模式具有相同的截距，不同的斜率。 （3）交叉干扰模式 在模式图中，其调谐曲线与工作模式
20、调谐曲线相交于图中某一点（不在纵轴上）的振荡模式称为交叉干扰模式。其特点是其模数 m、n、p 与工作模式的均匀不相同。就是说它们的调谐曲线的截距和斜率均相同。 （4）简并干扰模式 就是谐振频率的工作模式的频率完全相同，但场分布完全不同的振荡模式称为简并干扰模式。在模式图中，凡同一条调谐曲线上标有两种模式的，这两种模式互为简并干扰模式。其特点是：它们和工作模式具有相同的 m、n、p。 上述种种虚假干扰模式的出现，破坏了空腔谐振器的正常工作。利用模式图就可以正确选择“工作方框” 。 “工作方框”就是在模式图中，由选定的工作模式和直线为对角线，由最大和最小的 及对应的 值所确定的矩形区域。利用工作方
21、框来确定无虚假干扰模式的矩形腔的尺寸和频率调谐范围，从而达到迅速设计的目的。根据给定的最低工作频率，由工作方框左下角对应的数值计算矩形腔的最大腔体长度和最低工作频率，由右上角对应的数值确定腔体的最小长度和最高工作频率。于是就可确定无虚假干扰模式的最大工作带宽和腔体长度的可调范围。 五 圆柱谐振腔圆柱谐振腔也是一种结构简单的波导空腔谐振器。它由在 和 两处用导体板短路的一段圆柱波导所构成，如图 7-4-1 所示。它的计算方法与矩形腔类似，可以利用圆形波导中的一些结果直接写出场方程。 （1）、电磁场分量1H 型振荡模式 图 7-4-1 圆柱形腔 (7-4-1) 式中， 为截止波数， 为 m 阶第一
22、类贝塞尔函数导数的第 n 个根。实际上还存在极化简并模式“ ”或“ ”，由于导出相似，故这里不再写出。 2E 型振荡模式 (7-4-2) 式中， 为 m 阶第一类贝塞尔函数的第 n 个根。 由上二式可见：圆柱腔中可存在无穷多个 H 型和 E 型振荡模式，通常用 ， 表示。对 的模式存在。对 的模式存在。模式指数 m、n、p 分别表示沿半圆周（ 向） 、半径（向）以及腔长 l（z 向）上场量出现极大值的个数。 （2）、圆柱腔的基本参量1谐振波长 （1）H 型振荡模式 将 代入式（7-2-5）得到 (7-4-3) 与圆波导中的最低磁模 H11 相对应，圆柱腔中的最低 H 振荡模式是 H111，则
23、(7-4-4) 另一个常用振荡模式是 H011，其谐振波长，为 (7-4-5) （2）E 型谐振模式 将 代入式（7-2-5）中，得到 (7-4-6) 与圆皮导中的最低电模 E01 相对应，圆柱腔中最低电振荡模式是 E010，则 (7-4-7) 比较式（7-4-4）和式（7-4-7）可见，当 时， ，而当 时， 。这就是说圆柱腔中的最低振荡模式可能是 H111 也可能是 E010，这要由 l 与 R 的比例关系而定。 2品质因数 波形因数圆柱腔固有品质因数的计算方法与矩形腔一样，这里不作详细推导，只给出结果。但由于 与腔体的形状尺寸、工作模式、腔壁导体材料的特性及工作波长等都有关，所以为了能作
24、普遍性讨论，常用表征谐振腔的性质。只与腔体尺寸和工作模式有关，故称之为波形因数。 模式的波形因数，可求得为 (7-4-8) 我们还可以求出 、 的波形因数如下 (7-4-9) (7-4-10) 令 ，则由上二式可求得 (7-4-11) (7-4-12) 图 7-4-2 给出了 H111 和 H011 的场结构图。 图 7-4-3 为 H011、H 012、H 013 及 H111、H 112、H 113 等几种模式的分布曲线。图 7-4-2 圆柱腔中的场结构 图 7-4-3 圆柱腔几种 H 模的曲线 同样，E 型振荡模式的波形因数可求得，为 (7-4-13) 式中 是一个常数因子，其值为 (7
25、-4-14) 于是 的波形因数为 (7-4-15) 最低电振荡模式 E010 的波形因数和固有品质因数为 (7-4-16) (7-4-17) 图 7-4-4 为 E010 模式的电场分布图。 图 7-4-5 为圆柱腔中几种 E 型模的的关系曲线。 图 7-4-4 圆柱腔中 E010 模场结构 图 7-4-5 圆柱腔中几种 E 模的曲线 （3）、圆柱腔的模式图圆柱腔 H 型和 E 型振荡模式的谐振波长已在式（ 7-4-3）和式（7-4-6）中给出。现在我们将 和 统一用 来代替，两式就具有同一形式，加以改造可以写成如下形式： (7-4-18) 式中， 为腔的直径， 为谐振频率， 为介质中的波速，
26、若腔中无介质则 。如果频率以 Hz 为单位，几何尺寸以 cm 为单位，则上式可改写为 (7-4-19) 与矩形腔类似，上式也是一个线性方程。其截距为 ，斜率为 。把绘成曲线，就构成圆柱腔的模式图，如图 7-4-6 所示。 图 7-4-6 圆柱形腔模式图 模式图中每一条直线均代表一种或几种振荡模式。下面举例说明模式图的应用。假定在圆柱腔中需要激发的是 H011 模式，此时 直线如图 7-4-7 中的 AB 所示。如果圆柱腔内径 D 已给定，那么为了使腔内出现 H011 模式的谐振，腔的长度 l 必须随着信号频率 的改变而改变。 从图中可以看出，谐振频率 、 、 与腔的谐振长度 、 、 一一对应。
27、在腔体设计中，希望腔的 尽可能高些。由图 7-4-3 可以看出，当 时，可使 值最高。为此，我们选 ，则可从图 7-4-7 直扫读出 值。若腔的内径D 给定，则频带中心的谐振频率 即可确定。反之，若 给定，则 D 值即可确定。再根据两边频 和 ，确定相应的 和 值，从而圆柱腔的主要尺寸全部确定。 图 7-4-4 圆柱腔的设计举例 与矩形腔一样，设计时均需利用“工作方框” ，这个方框的中心位置是由固有品质因数确定的，方框的高与宽由工作频带确定。 由图 7-4-7 可见，若选图中所示的工作方框，那么，除选用的工作模式 H011 外，还有干扰模式 H211，自干扰模式 H012，交叉干扰模式 H11
28、2 及简并干扰模式 E111。这些虚假模式的存在，势必影响谐振腔的正常工作。故在腔体设计中，应尽力设法消除这些干扰模的影响。常用的措施如下： （1）移动工作方框的中心位置，把部分干扰模框在工作方框之外。但这种措施将使腔体的固有品质因数降低，不可能十分理想。 （2）压缩工作方框的高度和宽度，亦可使部分干扰模框在工作方框之外。但这一措施将使腔的工作频带变窄。 （3）适当选择谐振腔的输入激励装置，以使部分干扰模式不致于被激发。 （4）适当选择腔体结构，使部分干扰模式即使有可能激发也不可能在腔内存在。 （5）适当选择谐振腔的输出耦合装置，使已经存在于腔内的干扰模式不能被耦合输出。 这些措施每个都有局限性，一个正确的设计，往往是这些措施的综合运用，取长补短，达到避免、抑制和削弱干扰模式有害影响的目的。一般地说，自干扰和交叉干扰模式常采用上述（1） （2）两种措施消除，而干扰模式和简并干扰模式则多采用（3）（5）三种措施加以消除。
