1、在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,引言,又如已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布，,求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等.,2.4 随机变量的函数的分布,这类问题的一般提法是：若X是随机变量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函数)。为了求Y的分布，首先我们要理解Y是一个怎样的随机变量，设X是定义在样本空间=上的随机变量，那么Y=Y()=g(X()，由此可见Y亦是定义在上的随机变量，它是经过g(.)与X(.)复合而成的。,设X是离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型随机变量。此时，只需由
2、X分布律求得Y的分布律即可。,求(1)Y=X-1; (2)Y= -2X2的分布律.,例: 设离散型随机变量X的分布律为,一、离散型随机变量函数的分布,解: 由X的分布律可得下表 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1 2 -2X2 -2 0 -2 -8 -18 由此可见 (1)Y=X-1的所有可能取值为-2,-1,0,1,2，且PY= -2=PX= -1=2/10; PY= -1=PX=0=1/10；PY=0=PX=1=1/10 ; PY=1=PX=2=3/10；PY=2=PX=3=3/10。,故得Y=X-1的分布律为,(2)
3、 Y= -2X2的所有可能取值为-18,-8,-2,0;且 PY= -18=PX=3= 3/10 ; PY= -8=PX=2=3/10 ； PY= -2=PX=1+ PX= -1 =1/10 + 3/10=2/5 ; PY=0=PX=0=1/10；,故得Y= -2X2的分布律为,一般地，我们先由X的取值xk，k=1，2，求出Y的取值yk=g(xk)，k=1，2 如果诸yk都不相同，则由PY=yk=PX=xk可得 Y的分布律； 如果诸yk中有某些取值相同，则把相应的X的取值 的概率相加。,二、连续型随机变量函数的分布,再由FY(y)进一步求出Y的概率密度,设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(
4、x)，又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量，若Y是连续型随机变量，考虑求出Y的概率分布。,1一般方法可先求出Y的分布函数FY(y)： 因为FY(y)=PYy=Pg(X)y，设ly=x|g(x)y 则,例1:设随机变量X具有概率密度,求Y=2X+1的概率密度.解: 先求Y的分布函数,计算的关键在于确定积分区间ly，即解不等式 g(x)y得出x的解区间ly。这种方法我们称之为 分布函数法。,当 1y9时，0(y-1)/24 ，,当 y9时 FY(y)=1,由此可得Y的概率密度为,当 y1时，(y-1)/20 FY(y)=0,例2: 设随机变量X具有概率密度fX(x)，求Y=X2的概率
5、密度。 解: 先求Y的分布函数FY(y)。由于Y=X20，故当y0时 FY(y)=0。当y0时，有,于是得Y的概率密度为,例如：设XN(0，1)，其概率密度为,则Y=X2的概率密度为,此时称Y服从自由度为1的2分布。,当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，我们有下面结果,设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数 g(x)处处可导且恒有g(x)0 (或恒有g(x)0) ， 则Y=g(X)的概率密度为,定理,其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，,2. 特殊方法,证：我们只证g(x)0的情况。此时g(x)在(-,+ )严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(，)严格单调增加，可导，现
6、在先来求Y的分布函数FY(y)。,因为Y=g(X)在(，)取值，故当y时， FY(y)=PYy=0； 当y时， FY(y)=PYy=1； 当y时， FY(y)=PYy=Pg(X)y =PXh(y),于是得Y的概率密度,合并两式，即得证。若(x)在有限区间a，b以外等于零，则只需假设在a，b上恒有g(x)0(或恒有g(x)0)， 此时,若g(x)0, 同理可证,例3: 设随机变量XN(，2),试证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布。 证明：X的概率密度为,现在y=g(x)=ax+b，由这一式子解得 x=h(y)=(y-b)/a,由定理得Y=aX+b的概度密度为,所以 Y=aX+bN
7、(a+b , (a)2 ),特别，在上例中取 a=1/ , b= -/ 得,例4: 设电压V=Asin，其中A是一个已知的正常数，相角是一个随机变量，在区间(-/2,/2)服从均匀分布，试求电压V的概率密度。 解: v=g()=Asin在（-/2,/2）上恒有g()=Acos0且有反函数 =h(v)=arcsin(V/A)，,又的概率密度为,于是，由公式：,若在上题中在(0，)上服从均匀分布，因为此时v=g()=Asin在(0，)上不是单调函数，上述定理失效，此时方法如何？,例4 设X在0,服从均匀分布，求：Y=sinX的分布函数FY(y). 解：（1）,（2）y=sinx在0,不单调，但可分
8、为两单调区间 （0,/2 ）(/2 , ),（3）求：FY(y)=PYy 当0y1时： FY(y)=PsinXy=P0 Xarcsiny +P-arcsiny X,x1=arcsiny,x2=-arcsiny,小结：求随机变量函数的分布的方法： 设离散型随机变量X的分布律为 PX=xi=pi，i=1,2,n ,又y=f(x)是x的连续函数，则Y=f(X)是随机变量，其分布律为PY=f(xi)=pi，i=1,2,n , 若某些f(xi)相等，将它们作适当并项即可。,2. 设连续型随机变量X的密度函数为fX(x), y=g(x)连续, 求Y= g(X)的密度函数的方法有三种：,（1）分布函数法；
9、（2）若y=g(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则 可用公式法； （3）若y=g(x)在不相重叠的区间I1,I2,上逐段严格单 调，其反函数分别为h1(y), h2(y), ,且h1(y), h 2(y), ,均为连续函数，则Y= f(X)是连续型随机变量， 其密度函数为,例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.,证明: 设Y的分布函数是G(y),于是,对y1, G(y)=1;,对y0 , G(y)=0;,由于,对0y1,G(y)=P(Y y),=P
10、(F(X) y),=P(X (y),=F( (y)= y,即Y的分布函数是,求导得Y的密度函数,可见, Y 服从0，1上的均匀分布.,例6: 设分布函数F(x)为严格递增的分布函数，F-1(x)为F(x)的反函数，若XU (0，1),证明Y=F-1(X)的分布函数为F(y)。 证明: 设Y的分布函数为FY(y)，由分布函数的定义有 FY(y)=PY y=P F-1(X) y=P XF(y) =F(y)这个结论在随机模拟中具有基本的重要性。均匀分布可通过上述方法产生分布函数为F(x)的随机变量。,例如，想得到具有密度函数为,的随机数.,参数为 的 指数分布,根据前面的结论， Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.,由于当x0时，,是严格单调的连续函数 .,应如何做呢？,于是得到产生指数分布的随机数的方法如下:,给指数分布参数,令,指数随机数,
