1、第 2 讲 绝对值中的分类讨论思想（1）【链接方法】1.若 （ ），则 .xm0xm2.若 ，则 ；若 ，则 .a1a13灵活运用绝对值基本性质: ； .20;aaba )0(baab4.绝对值的非负性的应用：若 ，则 ； ，则 .b020a【挑战例题】【例 1】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3倍，且在数轴上表示这两数的点之间的距离为 8，求这两个数.分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？解：设甲数为 x，乙数为 y由
2、题意得： ， yx3（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若 x在原点左侧，y 在原点右侧，即 x0，则 4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6若 x在原点右侧，y 在原点左侧，即 x0，y0，y0，则 2y=8 ，所以 y=4,x=12【例 2】(山东省竞赛题)如果 cba、 是非零有理数，且 ，那么0cba的所有可能的值为( )abcaA0 B 1 或一 l C2 或一 2 D0 或一 2因为 a+b+c=0，所以 a、b、c、存在两种情况，即两个正数一个负数和一个正数两个负数。当两个正数一个负数时 a/|a|+b/|b|+c/|c|=1，abc/|abc|=-1，所以 a/|a|+b/
3、|b|+c/|c|+abc/|abc|=0当一个正数两个负数时 a/|a|+b/|b|+c/|c|=-1，abc/|abc|=1，所以 a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=2【例 3】(1)(北京市“迎春杯”竞赛题)已知 ，且 ，321cba， cba那么 cba因为 abc， a 最大为 1， 所以 b只能是-2， c-2 所以 a=1或-1 b=-2 c=-3 所以 a+b+c=-6或-4.(2)(“希望杯”邀请赛试题)已知 是有理数， ，dca、 169dcba，且 ，那么 25dcbaba-b9，c-d16,且 25 = |a-b-c+d| = |(a-b) + (
4、d-c)| |a-b| + |d-c| 9 + 16显然，上式中只能“=”成立可见 a-b 与 d-c 同号，且 |a-b| = 9，|d-c| = 16于是 |b-a| - |d-c| = 9 - 16 = -7【例 4】(“五羊杯”竞赛题)已知 互为相反数，试求代数式：12ba与的值11()(2)(0)(2)abab思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出 的值ba、根据已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，可得 b=1，a=2把 a，b 的值代入原式=1/2+1/（23）+1/（34）+1/（20132014）=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/2013-
5、1/2014=1-1/2014=2013/2014【例 5】有 3个 的值使等式 成立，则 的值为 .x21xa解：若|x-2|-1=a，当 x2 时，x-2-1=a，解得：x=a+3，a-1；当 x2 时，2-x-1=a，解得：x=1-a；a-1；若|x-2|-1=-a，当 x2 时，x-2-1=-a，解得：x=-a+3，a1；当 x2 时，2-x-1=-a，解得：x=a+1，a1；又方程有三个整数解，可得：a=-1 或 1，根据绝对值的非负性可得：a0即 a只能取 1故答案为 1变式：关于 x的方程|x+3|-1|=a 有三个解，则 a的值为 1解：若|x+3|-1=a，当 x-3 时，x
6、+3-1=a，解得：x=a-2，a-1；当 x-3 时，-x-3-1=a，解得：x=-a-4；a-1；若|x+3|-1=-a，当 x-3 时，x+3-1=-a，解得：x=-a-2，a1；当 x-3 时，-x-3-1=-a，解得：x=a-4，a1；又方程有三个解，可得：a=-1 或 1，而根据绝对值的非负性可得 a0，故答案为：1【提升能力】1. =3， =2，且 xy，则 x+y的值为（ ）xyA、5 B、1 C、5 或 1 D、5 或1解：|x|=3，|y|=2， x=3，y=2，又xy， x=3，y=2， x+y=5 或 x+y=1， 故答案为 D2.若 ，则必有（ D ）abA、a0,b
7、0 D、 0ab3设 ， ，则 的值是（ ）0cccbA-3 B1 C3 或-1 D-3 或 1原式= -a/|a| - b/|b| - c/|c| = -（a/|a|+ b/|b| + c/|c|）因为 a+b+c=0,abc0 所以 a、 b、 c 中一定有两个是负数，一个是正数。 所以 a/|a|、 b/|b|、 c/|c|中，有一个是 1，两个是-1 所以 原式 =-（a/|a|+ b/|b| + c/|c|）= 14. 当 b= 时，5- 有最大值，最大值是 .2当 b0.5 时，|2b-1|有最小值为 0，即 5-|2b-1|有最大值为 55.若 与 互为相反数，则 -1 .19a
8、2b201()ab6.已知 0 ， 0，且 ，则ccccax2013 .3213axb7若 、 为有理数，那么，下列判断中：(1)若 ，则一定有 ； (2)若 ，则一定有 ； (3)若 ，则babababa一定有 ；(4)若 ，则一定有 正确的是 (填序号).ba22)(解：（1）若 a=-2，b=2，|a|=b，但是 ab，故错误；（2）若 a=-3，b=-2，|a|b|，但是 ab，故错误；（3）若 a=-2，b=-4，|a|b，但是|a|b|，故错误；（4）若|a|=b，那么等号两边平方得 a2=b2=（-b） 2故正确故答案为：（4）8(江苏省竞赛题)设 分别是一个三位数的百位、十位和
9、个位数字，并且c、，则 可能取得的最大值是 cbaba解：a、b、c 分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且 abc，a 最小为 1，c 最大为 9，|a-b|+|b-c|+|c-a|=b-a+c-b+c-a=2c-2a，|a-b|+|b-c|+|c-a|可能取得的最大值是 29-21=16故答案为 169.使等式 成立的 的值有 3个，则 的值为 2 .23xaxa10.若 ， ，且 ，求 的值5yyx知 x0, a=4,b=2 或 a=-4,b=-2 ， 6 或 -6.12.已知 ， ，且 ，求 的值2a4b0baba32|a|=2， a=2 或-2， |b|=4，b=4 或-4，
10、又a+b0 a=2， b=4 或 a=-2， b=4， =16或 8.ba3213有理数 均不为零，且 ，设 ，cba、 0cbbaccx试求代数式 的值194x解：由 a，b ， c 均不为 0，知 b+c，c+a ，a+b 均不为 0， 又 a，b ，c 中不能全同号，故必一正二负或一负二正，a=（bc），b=（c+a），c= （a+b ），即 ， 中必有两个同号，另一个符号其相反，即其值为两个+1，一个1 或两个 1，一个+1 ， ， ，x19+99x+1914=1+99+1914=201414(全国初中联赛题)求满足 的非负整数对(a，b)的值1ab解：设 ab，则|a-b|+ab=a
11、-b+ab=1，a（1+b）=1+b，a=1，b0，b=0同理，当 ab，原式=b（a+1）=a+1，b=1，a=0当 a=b 时，a=b=1答案为（1，1 ），（1 ，0），（0，1）15若 为整数，且 ，求 的值cba、 1919acb cbac解：a，b，c 均为整数，则 a-b，c-a 也应为整数，且|a-b| 19，|c-a| 99为两个非负整数，和为 1，所以只能是|a-b| 19=0且|c-a| 99=1，或|a-b| 19=1且|c-a| 99=0由知 a-b=0且|c-a|=1，所以 a=b，于是|b-c|=|a-c|=|c-a|=1；由知|a-b|=1 且 c-a=0，所以 c=a，于是|b-c|=|b-a|=|a-b|=1无论或都有|b-c|=1 且|a-b|+|c-a|=1，所以|c-a|+|a-b|+|b-c|=2
