1、1习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 31 0 3C28A31C/8A03 80 0 1282.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律.【解】X 和 Y 的联合分布律如表：0 1 2 30 0 0 3247C5A13247C5A1 0 12347C65A21347312472 P(0 黑,2 红,2 白 )=247
2、C/35A123472347C5A03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x ，y）= .,020,sin他yxyx求二维随机变量（X，Y）在长方形域 内的概率.36,4【解】如图 0,(3.2)46PY公 式(),0,(,)466FFXYXY2sinsinsi0sin436362(1).AA题 3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）= .,0,0,)43(他yxAyxe求：（1） 常数 A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；（3） P0X0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p（0p1 ） ，且中途下车与否相互独立，以 Y
3、 表示在中途下车的人数，求：（ 1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】(1) .|C(1),0,01,2nnPYmpnYX15(2) ,|PXnYmPXnYmXnAeC(1),01,2.!np24.设随机变量 X 和 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X ，而 Y 的概率密度为 f(y)，7.3021求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 【解】设 F（y ）是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为()0.3|1.|2GuPPYPu0.31|.72|uu由于 X 和 Y 独立，可见 ()0.3
4、10.YY)7(2)Fu由此，得 U 的概率密度为 ()0.3(1)0.()gGFu.72fuf25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求 PmaxX,Y1.解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有1, 03,()3;xfx1, 03,()3.yfy因为 X， Y 相互独立，所以 1, 03,(,)9. xyfxy推得 .1ma,9PXY26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为1 0 110a 0 0.20.1 b 0.2XY161 0 0.1 c其中 a,b,c 为常数，且 X 的数学期望 E(X)=0.2,PY0|X0=0.5，记 Z=X+Y.求
5、：（1） a,b,c 的值；（2） Z 的概率分布；（3） PX=Z. 解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由 ，可得()0.2E.01ac再由 ,0.105PXYabPY得 .3b解以上关于 a， b， c 的三个方程得.0.2,.1,0ac(2) Z 的可能取值为2，1， 0，1，2，,.2PZXY，,0,10.P，01,.3PZXYXY，,.P，21,0.ZXY即 Z 的概率分布为Z 2 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) .0.104XPYb27. 设随机变量 X,Y 独立同分布,且 X 的分布函数为 F(x)
6、,求 Z=maxX,Y的分布函数.解：因为 X,Y 独立同分布，所以 FX（z ）=F Y(z),则 FZ（z）=PZz=PXz，Yz=Px zPYz=F（z） 2.28.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 1,013Pii17Y 的概率密度为 记 Z=X+Y.1,0,()Yyfy其 他 .（1）求 |;2PZX（2）求 Z 的概率密度 ()Zfz分析 题（1）可用条件概率的公式求解.题（2）可先求 Z 的分布函数，再求导得密度函数.解(1) 10,2|PXP,0YPX12（2） ()ZFzPzYz,1,0,1XYPXPXYz1,zzPYz13YzPzz()(1)YFF (1)
7、3ZZYfzfzfzf1,20.其 他29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 X 与 Y 不相关,f X(x),fY(y)分别表示 X,Y 的概率密度,求在 Y=y 的条件下,X 的条件概率密度 fXY (xy).解：由第四章第三节所证可知，二维正态分布的不相关与独立性等价，所以 f(x,y)= fX (x) FY(y)，由本章所讨论知， ./ ()(,() ()XYXY XYfxyfyfxfxA1830.设二维随机变量(X,Y )的概率密度为2,01,),.xyxyfy其 他（1）求 ;P（2）求 Z=X+Y 的概率密度 .()Zfz分析 已知(X,Y)的联合密度函数，可用联合密度函数的性质 (,)PXY解（ 1） ； Z=X+Y 的概率密度函数可用先求 Z 的分布函数再求导(,)Gfxyd的方法或直接套公式求解.解 （1） 2(,)xyPXYfdxy10257().84dx（2） (),),Zfzfxz其中 2(01,0xzxf 其 他,z其 他当 时，02z或 ()0Zf；当 时，102();zdxz当 时，z12(),Zzf即 Z 的概率密度为 2(1)0Zzf其 他
