1、浙江师范大学图论考试卷（20072008 学年第一学期）考试类别 闭卷 使用学生 行知数学 051.052.考试时间 150 分钟 出卷时间 2008 年 1 月 4 日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、填空题 (25%)1、给定图 G u3 u2 u8 u1 u5 u6 u12 u11u10 u4 u7 u9 （1）给出图 G 的一条最长路；（2）给出图 G 的二个参数值 (G)= ,(G)= ；（3）给出图 G 的一个最大独立集 ；（4）作出子图 Gu2,u5,u7,u9,u11,u12_,G-u8,u9,u12_,G-u1u3,u1u4,u1u7,u1u10_ _
2、；2、图 G 是二分图的充分必要条件是 ；3、G=(X,Y,E)是二分图，无孤立点，则 1(G) 与 0(G)的关系是 ；4、Ramsey 数 r(k,t)、r(k-1,t) 和 r(k,t-1) 的关系是 ；5、G 是含有 56 个顶点的无回路图，且对中任两个不相邻的顶点 vu,，+ 有唯一的回路，则的边数为_;6、图 G 有 Euler 环游的充要条件是；二、设七个字母在通迅中出现频率分别为 a;25%,b;22%,c;20%,d;12%,e;10%,f;6%，g;5%。编一个最优前缀码，并画出相应的最优二元树。 (15%)三、 证明：非平凡连通图 G 至少有二个非割点。 (10%)四、
3、G 是点色数 (G)=2 的 k正则简单图。证明 G 有 k 个边不交的完美对集 M1,M2, , Mk，使 E(G)= M 1M 2M k 。 (13%)五、 给出平面图 G 的顶点数 p(G)、边数 q(G)、面数 )(和连通分支数 (G)的一个关系式，并给予证明。 (15%)六、 G 是 p 个顶点的简单图，对 G 中每一对不相邻的顶点 u、v,均有 dG(u)+dG(v)p-1。（1） 证明 G 有 Hamilton 路；（2） G 是二连通图吗？为什么？。 (12%)七、设是连通图，若对每个真子集 V0V(G) ，只要V 0k-1 ，G- V0仍连通.证明 q(G)kp(G)/2 。
4、 (10%)图论试卷参考答案和评分标准(2007-2008 学年第一学期)命题教师卜月华 使用学生 行知学院 数学 051 052 班 2008 年 1 月 4 日一、填空题 1、 （1） C= u 5u1u3u2u8u11u12u7u4u10u6u9 (2 分); (2) (G)=2 ,(G)= 2 ； （4 分）(3) u 3,u5,u8,u9,u10,u12 (2 分)(4) u2 u5 u11 u12 u9 (2 分)u7 u3 u2 u1 u5 u6 u10 u11 u4 u7 (2分) u3 u2 u8u1 u5 u6 u12 u11u10 u4 u7 u9, (2 分)2、 不含
5、奇圈的非平凡图 (2 分) 3、 0(G)= 1(G) (2 分) 4、 r(k,t)r(k-1,t) +r(k,t-1) (2 分)5、 55 (2 分)6、 G 连通且无奇点。 (3 分) 二、 （1）解：用 100 乘各频率，并由小到大排序，得 w 1=5 w2=6 w3=10 w4=12 w5=20 w6=22 0 1 w7=25，用 Huffman 算法求得权为 5，6，10，12，20， 22，25 的最优二元树 T。 (8 分) 0 1 0 1 在 T 上求一个最优前缀码 01 11A0000，0001，001，100，101，01，11 0 1 0 1 传送这六个字母的最优前缀
6、码为： 11 表示 a，01 表示 b，001 表示 c，100 表示 d， 0 1 001 100 101101 表示 e, 0001 表示 f，0000 表示 g. (7 分) 0000 0001 三、证明；因为 G 是非平凡连通图，故图 G 有生成树 T，且至少有二个点。（3 分） 则 T 中度为 1 的顶点个数至少有 2 个， （2 分）设 u1，u 2是 T 中度为 1 的顶点，则对每一个 ui,T-ui仍是树，且为 Gu i的生成树（i=1,2）,因此 Gu i是连通图，也即 u1，u 2都是图 G 的个非割点。因此连通因 G 至少有2 个非割点。 （5 分） 四、 证明；因为 G
7、 的点色数 (G)=2，所以图 G 不包含长为奇数的回路，由定理 5.1.1,G是 k正则二分图。 （3 分）由推论 5.3.3，图 G 有完美对集 M1. （4 分）因 G 是 k正则二分图，故 GM 1是(k-1)正则二分图,故当 k-11 时， 同样由推论 5.3.3，图 GM 1有完美对集 M2，依次类推，可得图 G 的 k 个边不交的完美对集 M1,M2, , M k ，使 E(G)= M 1M 2M k （6 分）五、 证明：若图 G 连通，则由 Euler 公式 p(G)-q(G)+ )(=(G)+1。 （3 分）设 G 的连通分支为 G1，G 2，G ，则对 G 的每一个连通分
8、支 Gi, Gi 是连通平面图，由 Euler 公式，有 p(Gi)-q(Gi)+ (Gi)= 2。 （4 分）又对 G，有 p(G)= )(1iip,q(G)= )(1iiq , (Gi)= )(1i- (-1) （3 分）现对式子 p(Gi)-q(Gi)+(Gi)= 2 关于 i 求和，并将上面三个式子代入，可得p(G)-q(G)+ (G)= +1 （3 分）六、 证明：构造图 H：在 G 中增加一个不在 G 中的顶点 w，使 w 与 G 中的每一个顶点相邻。 （2 分）现在 H 的顶点数为 p(G)+1,而且 G 中两个顶点不相邻当且仅当这两个顶点在 H 中不相邻，对 H 中每一个不同于
9、 w 的顶点 u，均有 dH(u) d G(u)+1。故对 H 中任二个不相邻的顶点 u,v,有 dH(u) +dH(v)d G(u) +dG(v)+2p。即d H(u) +dH(v) p(H) （4 分）由定理 4.3.2，图 H 有 Hamiltom 回路 C，则 C-w 就是 G 的 Hamiltom 路。(3 分）图 G 不一定是二连通图，如二个完全图有一个公共顶点所产生的图就是一个反例 。(3分）七、 设 V1是 G 的一个最小顶点割集，则 G-V1是非连通图且V 1 )(（3 分）由己知条件可知，V 1k，所以 )(Gk。但 (G) )(Gk。 （4 分）再由定理 1.3.12q(
10、G)= ud)( p(G)(G) p(G)k 故有 q(G) kp(G)/2 （3 分）模拟试题 1 (单击答案二字即可打开答案，再单击答案二字即折叠答案) 一、填空题（20 分，每空 2 分）1、给定图(1)、给出图 的一个最长回路 ；(2)、给出图 的一个生成树 ；(3)、给出图 的点连通度 ；(4)、给出图 的最大对集 ；(5)、作出图 的闭包 ；2、任一个圈中奇点的个数必为 ；3、若 有 44 个点的连通图，且对 每条边 ， 非连通，则 的边数为 ；4、设 有 个连通分支且 无回路，则 ；5、非平凡连通图 是 Euler 图的充分必要条件是 ；6、简单图 至少有 3 个点, , 为 的
11、非空真子集,则 的连通分支数至多是 .o 1. (1) o (2)o (3) 3 o (4) o (5) oo 2. 偶数 3. 43 4. 5. 无奇点 6. 二、(本题满分 12 分)试给出一个算法,求连通赋权图中权最大的生成树 .o 算法：1) 在 中选取边 ，使 尽可能的大；2) 若已经选定边 ，则在 中选取边，使满足以下两条：I. 不含回路；II. 在满足的前提下，使 尽可能的大。3) 当 2)不能继续执行时，停止。 三、 （本题满分 10 分）设 是 阶连通图,若对每个 ,只要 ,仍连通, 证明: .证：由条件知, 是 连通图，则 四、 （本题满分 12 分） 证明：简单图 是树当
12、且仅当 中存在一个顶点 到 中其余每个顶点有且只有一条路。o 证：必要性：由定理 3.1.1 立即可得。充分性：首先可见 连通。否则，设 有两个连通分支 、 ，且 ，则 到 中的顶点没有路，与题设矛盾。其次， 中无回路。否则，若 有回路 。由于 连通， 到 上的点 有路 ，且设 与 的第一个交点为 ，则 到 上除 外其余点都至少有两条路，又与题设矛盾。故 是树。 五、(本题满分 13 分) 设 是简单图若 ，则 中有一个长度至少是 的回路。 答案o 证：在 的所有路中，取一条最长的路 ,记 ，则 和 的所有邻点全在 中，由于 ，所以 至少有 个邻点，设有 ，则 就是 的一个长为的回路，显然 。
13、 六、 (本题满分 18 分) 设 是连通图 中某一回路，若删去 中任意一条边就得到 的一条最长路。证明：(1) 是 的 H回路；(2)讨论此时 中是否有完美对集。 答案o 证：(1)设 的长度为 。反证法，假设 不是连通图 的 H回路，即 连通，存在 路 ，设 与 最后一个交点为 。在 中去掉与 关联的一条边，再加上 路，就可以得到一条长度至少是 的路，与删去 中任意一条边就得到 的一条最长路矛盾。故 ，则 含个点，是 H回路 (2)当 为奇数时，无完美对集。 当 为偶数时，则令 ，则 是的一个完美对集，也是 的一个完美对集，故此时有完美对集。七、(本题满分 15 分) 设 是无奇圈的 -正
14、则图简单图( )，证明： 中有 个边不交的完美对集 ，使 。 答案o 证：对 用归纳法。 当 =1 时，图本身可以看成是一个对集，故此时命题成立。 假设当 时命题也成立，则当 时， 是 正则二分图，由推论 5.3.3， 有完美对集 是 正则二分图，由归纳假设，存在 个边不交的完美对集 ，使：。从而有存在 个边不交的完美对集，使： ，即命题成立。 模拟试题 2 (单击答案二字即可打开答案，再单击答案二字即折叠答案) 一、填空题（20 分，每空 2 分）1、 是 阶简单图，则 ，等号成立当且仅当 是 图。2、 的图是 图或 图。 3、边数最少的连通图是 。 4、 是简单图且 ，则 。 5、 是有
15、40 个点的简单图且 中任两个点之间有且只有 1 条路，则 。 6、二分图 中若 与 满足 ，则 必有完美对集。 7、若二分图 有 Hamilton 回路，则 与 满足 。 8、 的一个对集 是最大对集的充要条件是 。o 1、 ，完全图 2、平凡图，不连通图 3、树， 4、 5、39 6、 7、 8、 中无 可扩路 二、(本题满分 12 分) 对下图 ，求一个最优生成树。 答案o o三、(本题满分 13 分) 证明任意六个人中有三个人互相认识，或有三个人互不认识。. 答案o 证：构图 如下：图的顶点代表这 6 个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人互相认识。则对于图中任意一个点或 。不妨设 及
16、它的 3个邻点为 。若 中有任意两个点，不妨设为 ，相邻，则对应的 3 个人互相认识；否则， 中任意两个点不邻，即它们对应的 3 个人互不认识。 四、(本题满分 10 分) 连通图 的一条边 是割边当且仅当 不含在 的任何回路上。 答案o 证：必要性：假设 在 的某一回路上， ， 中存在 路 ， 1、若 ，则 是 中的 路； 2、若 ，则 是 中的 途径，从而 中存在 路。 故 连通。 ，与 是割边矛盾。故 不在回路中。 充分性：假设 不是割边，则 仍连通，存在 路 ，则就是含 的一个回路，与 不在回路中矛盾。故 是割边。五、(本题满分 12 分)设 是至少有 3 个顶点的连通图，证明 中存在
17、两个顶点 ，使得 仍是连通图。 答案o 证： 是至少有 3 个顶点的连通图，有生成树 ，设 是 的悬挂点，则 连通，是 的生成子图，从而 连通。六、 (本题满分 15 分) 是无奇点的连通图( )。证明： 中每个顶点 ，均有。 答案o 证：由题意知， 是 Euler 图。设 的每个连通分支为 ，则每个 中至少有两个点与 邻。否则的话，由于 是 Euler 图， 中每个顶点的度数为偶数。若 中只有一个点与 邻，设为 ，则 中除了 外其余点度数都是偶数，与推论 1.3.2 矛盾。故每个 中至少有两个点与 邻。从而 。 七、 (本题满分 18 分)图 ( )无奇圈，则 (1) 证明 有完美对集的充分
18、必要条件是 ； (2)举例说明若去掉 无奇圈这个条件，则上述结论不成立。 答案o 证：(1)由题意知 是二分图， 必要性： 。设二分图 的完美对集为 ，则 在 下分别与配对，故 。 充分性：由于 ，则 。另一方面，令 ，则 ；令 ，则。故 。从而由推论 5.3.2，二分图有完美对集。 (2)反例见 o 1、 (1)、o o (2)、3 (3)、 (4) 、 (5)、2 ，2 o 2、恰好有 2 个奇点 3、 4、 5、 二、(本题满分 12 分)若 有 Hamilton 路，则 。o 证：令 是 的一个 Hamilton 路，则。而 是生成子图，故 。三、(本题满分 13 分)平面上有 条线段
19、，其中任 3 条线段有公共端点，则这 条线段有公共端点。o 证：构图 ，其中 代表平面上线段的端点，两个顶点相邻当且仅当这两个点是同一条线段的端点。则所得图是简单图，且题目条件转化为证明存在一个顶点 ，使得 。 是连通图。否则， 不连通，至少有两个连通分支。令其一个连通分支为 。则分别在 中取 条边，在 中取条边，可见这 3 条边没有公共端点，与题设矛盾。故 连通。 用反证法。令 是图的最大度点， 且 设与 相关联。假设 中有一个顶点 与 不相邻。由题意知存在边 与 点相关联。从而 没有公共端点，与题设矛盾。故存在一个顶点 ，使得，即这 条线段有公共端点。 四、(本题满分 12 分)连通图 的
20、边 是割边的充分必要条件是 在 的每个生成树中。 o 证：必要性：假设 不是 的割边，即 连通，有生成树，与 在的每个生成树矛盾。故 不是 的割边。 充分性：假设存在一棵生成树 ，使得 不在 中，从而 连通，与 是 的割边矛盾。故 在 的每个生成树中。 五、(本题满分 15 分) 证明： 中有 个边不交的完美对集 ，使：。 答案o 证： 是 正则二分图，故只要证 正则二分图 中有 个边不交的完美对集 ，使： 。对 用归纳法。 1. 当 =1 时，图本身可以看成是一个对集，故此时命题成立。 2. 假设当 时命题也成立，则当 时， 是 正则二分图，由推论 5.3.3， 有完美对集 是 正则二分图，
21、由归纳假设，存在 个边不交的完美对集 ，使：。从而有存在 个边不交的完美对集，使： ，即命题成立。六、 (本题满分 10 分) 设 是简单图， 。证明： 中存在长度至少是 的路。 答案o 证：选取 的一条最长路 ，则 的所有邻点都在 中，所以 ，即 中存在长度至少是 的路。七、 (本题满分 18 分) 是简单图，对 中每一对不相邻的顶点 均有。证明： （1） 有 Hamilton 路；(2)讨论此时是否有完美对集。 答案o 证：（1）在 中添加顶点 ，并使 与 中所有点都相邻，记所得图为 。则在 中， ， 且， 由定理 4.3.2， 有 H回路 就是 的 Hamilton 路。 (2)如果 为
22、奇数，则没有完美对集。 如果 为偶数，设 的 Hamilton 路为 ，则是完美对集。模拟试题 4 (单击答案二字即可打开答案，再单击答案二字即折叠答案)一、填空题（20 分，每空 2 分）1、若 是 -正则图，则 。 2、简单图 满足 ，则 是 图。 3、 的图 是 图或 图。 4、树 恰有两个悬挂点，则 。 5、 有生成树的充要条件是 。 6、若 是有 31 个点的连通图且 中每条边都是割边，则 。 7、 阶图 是连通图，则 。 8、若 是 的一个对集，则 ，等号成立当且仅当 是 对集。 o 1、 2、不连通图 3、不连通图， 平凡图 4、2 5、 连通 6、30 7、 1 8、 ， 完美
23、对集二、(本题满分 12 分) 求下图 的生成树个数。 答案o o三、(本题满分 10 分) 设 是连通图，若对每个 ，只要仍连通，证明 。. 答案o 证：由题意知， 是 边连通图，。 四、(本题满分 12 分) 有一个六人团体，已知任意三人中总有二个人互相认识。证明：这六个人中总有三个人互相认识。 答案o 证：构图 如下：图的顶点代表这 6 个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人互相认识。则对于图中任意一个点 或 。 1. 及它的 3 个邻点为 。由题意知， 中有两个点相邻，不妨设为 ，则 对应的 3 个人互相认识；2.， 及 与 不相邻，由题意知 中有两个点相邻，则必有 。同理 ，即 对应
24、的 3 个人互相认识。五、(本题满分 13 分) 连通图 无回路的充分必要条件为 的每条边是割边。 答案o 证： 假设 不是割边， 连通，有一条 路 ，则是一个回路，矛盾。 设 有回路 ，令 是回路 上的任一条边。， 中存在 路 ， 1、若 ，则 是 中的 路； 2、若 ，则 是 中的 途径，从而 中存在 路。 故 连通。与图 上的一条边是割边矛盾。六、 (本题满分 15 分) 设 是连通简单图，证明 中存在 个顶点 ，使得 仍是连通图。 答案o 证： 是连通简单图，设其最大度点为 。设 是 关于 的保距生成树，则 ，故 中至少有 个悬挂点，不妨设为 ，则 连通，是的生成子图，即 连通。七、(
25、本题满分 18 分) 设 是连通图，证明： 是 Euler 图当且仅当存在边不交的回路，使： 。 答案o 证：充分性：若 中存在边不交的回路 ，使：。则对 中任意一个顶点 ，假设 在 个回路中，由回路的边不相交性，有 ，是偶数。又 连通，由定理 4.1.1，有 是 Euler 图。 必要性：对边数用归纳法。当边数为 1 的时候， 只能是一个顶点其边为环的图，显然满足条件。 归纳假设边数 时成立，现在证明边数等于 时定理的必要性也成立。 由于 是 Euler 图， 无奇点且连通，故 中每个顶点度至少是 2。由定理2.1.1 知 中存在回路 。现将 中属于 的边全删去，再除去孤立点得图 。显然 的每个顶点度仍然是偶数，则 的每个连通分支都是无奇点的连通图，是 Euler 图，且边数 ，由归纳假设， 中存在边不交的回路 ，使：。则 中存在边不交的回路，使： 。
