1、第五章傅里叶变换光学与相因子分析方法5.1 衍射系统 波前变换引言现代光学的重大进展之一，是引入“光学变换”概念，由此发展而形成了光学领域的一个新分支傅里叶变换光学，泛称为变换光学(transform optics)，也简称为博里叶光学，它导致了光学信息处理技术的兴起现代变换光学是以经典波动光学的基本原理为基础，是干涉、衍射理论的综合和提高，它与衍射、尤其与夫琅禾费衍射息息相关对于熟悉经典波动光学的人们来说，由于他们有着较充分的概念储备和较充实的物理图像，因而具备更为有利的条件，去深刻而灵活地掌握现代变换光学衍射系统及其三个波前如图所示，一个衍射系统以衍射屏为界被分为前后两个空间前场为照明空间
2、，充满照明光波；后场为衍射空间，充满衍射光波照明光波比较简单、常为球面波或平面波，这两种典型波的等幅面与等相面是重合的，属于均匀波，其波场中没有因光强起伏而出现的图样衍射波较为复杂，它不是单纯的一列球面波或一列平面波，其等幅面与等相面般地不重合，属于非均匀波，其波场中常有光强起伏而形成的衍射图样在衍射系统的分析中，人们关注三个场分布：其中，入射场 是照明光波到达衍射屏的波前函数；出射场 是衍射屏的透),(1yxU ),(2yxU射场或反射场，它是衍射空间初端的波前函数，它决定了整个衍射空间的光场分布；而衍射场 是纵向特定位置的波前函数。由此可见，整个衍射系统贯穿着波前变换：),(波前 这是衍射
3、屏的作用：),(),(21yxUyx波前 这是波的传播行为2由一个波前导出前方任意处的另一个波前，这是波衍射问题的基本提法，亦即波传播问题的基本提法标量波的传播规律己由惠更斯菲涅耳基尔霍夫理论(HFK 理论) 给出在常见的傍轴情形下，其表达式为其积分核为 ，这是一个球面波的相因子形式换言之 HFK 理论是个关于衍射的球面ikre波理论衍射场是衍射屏上大量次波点源所发射的球面被的相干叠加衍射屏函数及其三种类型我们已经同多种衍射屏有过交道，现在给山衍射屏函数的一般性定义，以定量地描述衍射屏的自身特征： ),(12,),(),( yxietyxUt 即，屏函数(screen function)等于出
4、射波前函数与入射波前函数之比对于透射屏， 可称t作复振幅透过率函数；对于反射屏， 可称作复振幅反射率函数无疑，屏函数通常也是t复函数，含模函数 和辐角函数 唯象地看，实际上的衍射屏可分为三种类型，),(yxt ),(yx振幅型、相位型和相幅型若 为常数，仅有函数 ，则该衍射屏为振幅型，),(yxt凡孔型衍射屏均系振幅型若 为常数，仅有函数 ，则该衍射屏为相位型，,t 这在此之前似乎少见，其实，闪耀光栅不论其为透射的或反射的，均是一个相位型衍射屏，下一节即将研究的透镜相位衍射元件当然，更为一般的情况是相幅型衍射屏， 、),(yxt皆为函数形式，即不仅出射场的振幅分布 有别于入射场的 ，而且),(
5、yx ),(2yxA1A出射场的相位分布 也有别于入射场的 。),(2yx1什么是衍射引入屏函数以后，可以将衍射场积分表达式改写为我们注意到，这不等式右边的积分式表达的正是无衍射屏存在时白由传播的光场，由于有了屏函数 的作用，改变了波前，从而改变了后场分布，遂即发生了衍射t对于波衍射我们曾有过几种不同深度的认识和表述最初人们认为，当光在传播过程中遇到障碍物时，将发生偏离直线传播或偏离几何光学的传播行为，这种现象被称为衍射在把惠更斯-菲涅耳原理应用于网孔、圆屏、单缝、多缝、矩孔等衍射问题时，人们又意识到，衍射的发生是由于光波在传播过程中其波面受到某种限制，即自由、完整的波面发生了破缺现在我们可以
6、这样表述，当光在传播过程中，由于某种原因而改变了波前的复振幅分布包括振幅分布或相位分布，则后场不再是自由传播时的光波场这便是衍射以上二种认识和表述都是可取的，反映了人们对衍射现象的认识在逐步深入其中，第二种表述是对衍射现象因果关系的一种普遍和本质的概括逐步深入而形成的对光波衍射的普遍认识，尤疑将对实际衍射问题的分析起到有效的指导作用比如，一张含有字符形象或景物图像的灰度胶片置于光场中，则将发生衍射；一张浮雕型透明胶片置于光场中，也将发生衍射这些事情现在看来都不足为怪了。5.2 相位衍射元件一一透镜透镜的相位变换函数透镜是光学系统中常用的典型的光学元件，在光路或光场中，透镜可被看作一个改变波前函
7、数的衍射屏这里，我们将以波前光学的眼光分别导出它们的屏函数在光学系统中，透镜有两方面的作用，参见图*(a) 一方面它是一个光瞳，起限制波前的作用仅允许入射光波中央那一部分波前 ，进入光学系统另一万面它起变换1波前的作用，比如，它将发散的球面波前，改变为会聚的球而波前 ，当然，更为实际2的情形是改变为偏离球而的像差波面 ；总之，透镜改变了波前的聚散性以往的经典光学，分别用有限孔径引起的光波衍射和透镜本身的几何成像及像差来撤述上述两种作用。其实，从波前光学的观点出发，可将透镜这两方面的性质，用一个复振幅透过率函数(屏函数)统一地给以反映如图 (b)所示，在透镜前后各取一平面( )，设光场的入射波前
8、函数和透射波前函数分别yx,为于是，透镜的屏函数表现为这里， D 是透镜孔径设透镜材料对入射光是透明的，并忽略透镜对光的2yxr吸收、反射等因素造成的光强的损失，则 。这样，透镜就成为纯相位衍射元件，其孔径0d内的屏函数就成为下面，我们在傍轴且薄透镜条件下导出透镜屏函数。如图*(b)所示，由于透镜很薄，光线入射点与出射点的坐标相近，即光程可近似地沿透镜光轴方向来计算于是，相位差函数以光铀处透镜厚度 为参考值，改写0d于是这里 是一个与( )无关的常数，它不影响波前相位分布，常可略去不写在傍轴条件0yx,下，透镜前后两小段气隙的几何厚度 和 ，分别为12其中， 分别是透镜前后两个表面的曲率半径，
9、按一般的正负号约定，它们可取正值或21,r负值例如，对于双凸透镜 而 上述表达式普遍地适用于各种透镜于是，01r2这里，F 目前仅是一个缩写符号，尚未显示其明确的物理意义最后，给出透镜作为相位衍射元件其相位变换函数为由此可见，傍轴条件下薄透镜的相位变换函数其特点是一个二次型的相因子如果是非傍轴或厚透镜情形，相因子就没有那么简单了。5.3 波前相因子分析法相因子分析法概述原则上说，根据菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式，可由衍射屏的出射波前 ，),(2yxU导出前方接收平面上的衍射场 然而这种积分运算通常是很复杂的，总是需要),(yxU在一定条件下作近似处理；即便如此，能定量地给出解析结果的情况也为数
10、不多不过，波衍射理论或波动理论为人们提供了一个更有价值的观念二维波前决定二维波场，而波场的重要特征体现在波前函数的相位因子上如果将复杂波前函数中的相位分布与平面波或球面波的相因子作一对比，而发现有所联系的活，那么这复杂波场就可以看成是一系列平面波成分或系列球面波成分的叠加，因而这复杂波场也就成为人们在概念上容易想象掌握的种波场了另一方面，复杂波场所包含的各种基元成分一一不同方向的平面波和不同聚散中心的球面波还可以被作为相位元件的透镜所分离，这就为人们对波前作进一步处理提供了途径这两方面的结合和匹配，使波前的分解、合成和分离有了切实的物理寄托所渭波前相因子分析法，就是根据波前函数的相因子，来判断
11、其波场的类型、分析其衍射场的主要持征。不少场合，人们只需要掌握衍射场的主要特征就够用了，在全息术中尤其如此。在这种场合，波前相因子分析法要比衍射积分运算显得更简捷其实，波前相因子分忻法对于我们并不陌生在现代波动光学的理论体系中，早在第1 章已经论及波前的描述和识别这一节再作以上论述，旨在对波前相因子发给出一总结和提高，以便进一步展开而跨入傅里叶光学领域波前相因子和变换相因子为了熟练运用相因子分析法，我们应当熟悉两类典型相因子函数一反映波场的波前相因子和反映元件作用的变换相因子(1)波前相因子平面波 平面波之波前函数具有线性相因子，其线性系数( )与平面波传播方向一一对应，( )是波矢量 的两个
12、方向余21sin,21,k弦角的余角。球面波 傍轴球面波之波前函数具有二次相因子和交叉线性相因子，指数上“土”与球面波聚散性一一对应一一“十”对应发散球面波， “一”对应会聚球面波；交叉线性相因子系数( )决定聚散中心的横坐标，相因子中分母 决定了聚散中心 Q0,yx z与观测平面( )的纵向距离，即聚散中心 Q 的位置坐标为,(2)变换相因子透镜 薄透镜之变换函数具有二次相因子其中 F 值等于透镜焦距F 0 对应会聚透镜，F 0 对应发散透镜值得指出的是，在某种波前变换的场合，如果出现了形同 有二次相因子的变换函数，作用在波前 上，Lt ),(yxU则其实际效果相当于 波经历一个透镜的聚散，
13、不管那场合是否具有实物透镜存),(yxU在简言之，变换函数中的二次相因子是一等效透镜下面，运用相因子分析法，再解决波前光学中一个重要实例余弦型环状波带片的衍射场余弦型环状波带片的屏函数其标准形式为它具有轴对称性可以设计让一傍轴球面波与一平面波作相干叠加、再对曝光底片 H 作线性冲洗、而获得这样一张余弦型环状波带片，如图所示当用一束平面波照射这张波带片时，其透射波前函数为其中，运用波前相因子分析法，可以对以上三种波成分的类型和持征作出明确的判断：波前 代0U表一列正出射的平面衍射波，称其为 0 级衍射波；波前 代表一列正出射的发散球面波，1U发散中心在轴上 点，与波带片 P 离为 ，称其为十 1
14、 级衍射波；波前 代表一列正1QZ1出射的会聚球面波，会聚中心在轴上 点，与波带片距离为 ，称其为一 1 级衍射波，1Q0Z如同所示这表明余弦型环状波带片的衍射场其主要成分有一个，其中、0 级平面衍射波是照明波的直接透射波，而土级发散或会聚球面衍射波的出现，说明这波带片同时起一个发散透镜和一个会聚透镜的作用，虽然这场合并无实物透镜，仅有一张薄薄的波带片追溯其源，在于制备时那傍轴球面波提供的二次相因子这使我们又一次见识到，先一步的波前相因子，可以转化为后一步衍射场合中的光学元件这一点正是现代波前光学中，全息光学元件的基本设计思想当然，考虑到波带片孔径有限，上述这三种波前受到窗函数的限制，以致聚散
15、中心并不是一个理想的点但是运用相因子分析法，毕竟使人们掌提了余弦型环状波带片其衍射场的主要持征鉴广余弦型环状波带片的衍射具有上述简单而鲜明的特征，以致以 为宗量的屏函数2r简谐成分(*)式，可以作为一切轴对称屏函数 的基圆成分)(rt5.4 余弦光栅的衍射场余弦光栅的屏函数和制备余弦光栅的透过率函数即其屏函数的典型表示式为这是一个特殊走向的余弦光栅，仅沿 x 轴方向呈现周期性，空间周期为 ， 为fd1,空间频率(mm -1)，如图(a) 所示任意取向的余弦光栅，如图 (b)所示，其屏函数的一般表达式为它表明，该光栅沿两个正交方向 的空间频率为( )，相应的空间周期为( ),yxyxf, yxd
16、, 。不难由( )导出直观上余弦光栅的若干几何特征：yxf1, yxf,值得注意的是，二维平面上的空间频率( )含有正负号比如图 *(b)显示的这张光yxf,栅 异号， 。表明与栅条正交的方向 N 沿二、四象限；若 同号，则yxf,0tan yxf,，这对应的是与栅条正交的方向 N 沿一、三象限以上关于 公式可以由等0tan tan值点方程 (常数) 导出Cyffx 2 可以看到，余弦光栅屏函数形式与双光束干涉场的光强分布函数相似。实际上，制备一块余弦光栅首先用一张乳胶干版 H 记录两束平行光的干涉场，如图所示，其干涉强度分布函数为然后，将这张曝光的干版在暗室中作化学处理即显影定影，要求满足线
17、性条件，以获得冲洗后干版底片的透过率函数，写成其中， ，表示负片， ，表示正片；参数 俗称“雾底” ，它表示即使曝光强度00处，冲洗出来的底片在该处仍有一定程度的透过率制成的这张光栅是否具有以上I余弦型函数标准形式，这可通过“光密度计”予以鉴测。光栅制作过程中的关键环节是“线性冲洗”这一步它与拍摄时的曝光强度、冲洗时的药液配方、时间、温度，以及记录介质的乳胶特性等诸多因素有关，深究起来乃系感光材料与光化学专业的问题。余弦光栅的衍射特征如图所示，让一束波长为 的平行光照射这余弦光栅，而在透镜后焦面上接收衍射场实验上显示出三个鲜明的衍射斑我们知道，透镜后焦面上的一点，对应物空间的一个方向目前，后焦
18、面上三个衍射斑的出现，表明通过余弦光栅其后场存在三列平面衍射波兹运用波前相因子分析法，对此作出理论说明如下平面波正入射，其入射波前为 ，经余弦光栅后的透射波前为1AU即其中鉴于它们均具有线性因子，故可以判定它们各自均代表一列平面波。波前 代表一列正出0U射的平面衍射波，称其为 0 级波；波前 代表一列向上斜出射衍射波，称其为+1 级波，1U其倾角 ，满足 。波前 代表一列向下斜出射衍射波，称其为-1 级波，其1f1sin倾角 ，满足 。这三列平面衍射波交叠十后场而形成一个较为复杂的波场，可是经透镜分离它即凝聚于三个鲜明的衍射斑。这三个衍射斑集中了余弦光栅这一物结构的所有持征其中，最至要的一个联
19、系是，土 1 级衍射波(斑) 的角方位与余弦光栅的空间频率一一对应，考虑到实际光栅的宽度 D 有限，这透射的三列平面衍射波的波前是受限的，故它们均有一定的发散角，反映在后焦面那三个衍射斑均有一个半角宽度，分别为如果余弦光栅取向任意，以空间频率( )标定之，其产生的那一对斜出射的土 1yxf,级平面衍射波的角方位（ ） ，与( )的对应关系为21sin,yxf,最后说明一点，余弦光栅屏函数中的那个原(点) 相位 ，其数值是要反映到 级衍01射级中的。余弦光栅的平移，将导致衍射班的相移，即 有不同的取值不过，这一点目前并不重要，以后在研究空间滤波和光信息处理时，将要注意到 值的影响0余弦光栅的组合
20、利用上面的对应关系表，可以十分简捷地分析出，由几个不同频率或不同取向的余弦信息的组合所产生的衍射场(1)平行密接 如图所示，两张余弦光栅 和 ，其栅纹平行地叠在一起1G2它们的屏函数分别为则其组合光栅 的屏函数为21G xftxftxftxftt fxt )(2cos1)(2cos12coscos )( 212110220112 由此可见，它含 4 个余弦光栅。再加 1 个直流成分故其衍射场共含 9 列平面衍射波，在后焦面上将出现 9 个衍射班，分布于 轴上，如图所示。其方向角分别为定性上看入射的平面波经光栅 衍射，生成 3 列平面衍射波，其中每列波再经 衍射1G2G又生成 3 列平面衍射波。
21、这样一来，在 后场就交叠着 9 列平面波。2(2)正交密接 如图所示，两张余弦光栅 和 叠在一起，其栅纹正交 和12G1的屏函数分别为2G则其组合光栅 的屏函数及屏函数个各项对应的衍射班为21这时共产生 9 个衍射班，其中 4 个斑在轴上，4 个斑在轴外，还有 1 个斑在原点，它们方向角( )的数值由 式确定。21sin,),()sin,(21yxf(3)复合光栅 一光栅其屏函数含两种频率成分，这复合栅的衍射场含 5 列平面衍射波，显示于后焦面上是 5 个离散的衍射斑基濒 成分1f产生的那一对斑的方向角为 ，三倍频 成分产生的那一对班的方向角为 ，它们由12f 2下式决定，这类复合光栅，理论上
22、来自周期屏函数的傅里叫级数展开，其中每个傅里叶成分便是一个余弦光栅；实验上可采取“二次曝光”程序以获得一张复合光栅，比如，在图 611示意的装置中，先曝光一次，记录下某一频率的干涉条纹，然后变动反射镜倾角，再曝光一次，又在底片上记录下另一频率的干涉条纹这种情形下，总曝光强度是两者之和，经线性冲洗后的透过率函数就包含了两种频率成分。运用这种实验方法可以获得两个相近的频率成分，即差额 比如， 为 50mm ， 为 52mm 这种),212fff1f2f显示出空间拍频的复合光栅，可用作空间滤波器以实现图像微分运算5.5 傅里叶光学与傅里叶变换傅里叶光学的基本思想数学上可以将一个复杂的周期函数作傅里叶
23、级数展开，这一点在光学中体现为，一个复杂的图像可以被分解为一系列单频信息的合成，简言之，一个复杂的图像可以被看作一系列不同频率、不同取向的余弦光栅之和如果事情仅限于此，那图像的傅里叶分解只停留在纯数学的纸面上为了将这种博里叶分解在物理上付诸实现，必须找到相应的物理途径物理效应、物理元件或物理装置上一节余弦光栅的衍射待征已经表明，当单色光入射于二维图像上，通过夫琅禾费衍射，使一定空间频率的光学信息由一对待定方向的平面衍射波传输出来；这些衍射波在近场区域彼此交织，到了远场区域彼此分离，从而达到分频的目的常见的远场分频装置是利用透镜，将不同方向的平面衍射波会聚于后焦面的不同位置上，形成个个衍射斑；衍
24、射斑位置与图像空间频率一一对应，且集中了这一频率成分所有光学信息总之，在一夫琅禾费衍射系统中，输入图像的博里叶频谱直观地显示在透镜的后焦面上换言之，这后焦面就是输入图像的傅里叶频谱面，简称傅氏面，因而那些夫琅禾费衍射斑，也常被称作谱斑，如图所示。从这个意义上看，夫琅禾费衍射装置就是一个图像的空间频谱分析器这就是现代光学对经典光学中夫琅禾费衍射的一个重新评价夫琅禾费衍射实现了屏函数的傅里叶变换这种新认识或新联系，给光学和数学这两方面都带来了新进展；它为夫琅禾费衍射场的分析，提供了一种强有力的傅里叶数学手段，同时开创了光学空间滤波与光学信息处理这一新技术综上所述，振兴于 20 世纪 60 年代的傅
25、里叶光学，其基本思想和基本内容，可以概括为两条：对图像产生的复杂波前的傅里叶分析，这意味着将其复杂的衍射场分解为一系列不同方向、不同振幅的平面衍射波，故傅里叶光学就是一种平面波衍射理论；再者，特定方向的平面衍射波，作为一种载波，携带着特定空间频率的光学信息，并将其集中于夫琅禾费衍射场的相应位置实现了分频，从而为选颇即空间滤波开辟了可行的技术途径，故傅里叶光学也是一种关于空间滤波和光学信息处理技术的理论基础透镜的傅里叶变换特性透镜是光学系统最基本的元件，正是由于透镜在一定条件下能实现傅里叶变换，才使得傅里叶分析方法在光学中得到如此广泛的应用前面我们已经看到，单位振幅平面波垂直照明衍射屏的夫琅禾费
26、衍射，恰好是衍射屏透过率函数 的傅里叶变换(除一相位),0yxt因子外) 。下面就衍射屏(物)放在透镜之前的情况进行讨论 ),(yxUl用单位振幅单色平面波垂直照明衍射屏，四个平面的复振幅关系为（四路） ),(),(00yxAtyxU 通过菲涅尔衍射 ),(yxUl 通过透镜的二次相位变换),(yxl l 通过菲涅尔衍射Ul ),(ffyx通过冗长的计算得 与 的关系为),(ffyx,0t 00021 )(exp),()(2ep),( dyxxfkiytxfkiCyx fffff 这本身就是 的复里叶变换与一个二阶相位因子的乘积，其中： 。,0t 0./f当 时fd0. 0001 )(exp),(),( dyxiytCyxUff 其中： 。二阶相位因子消失，只剩一个严格的复里叶变换。kkff /这就是说夫朗和费衍射可以实现物的傅里叶变换，这为物信息的处理提供了巨大的方便。透镜的成像特性
