1、习 题 一1.写出下列随机试验的样本空间：（1）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数.（2）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果.1.（1） （2） ，0,1;S 1),(2yxS（3） .其中 0 表示次品，,0,01,0,1,1 表示正品.2.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.（1） 掷一颗骰子，出现奇数点.（2） 掷二颗骰子， A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个 1 点.” B =“出现点
2、数之和为偶数，但没有一颗骰子出现 1 点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.”B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.” 2.【解】 123456135A（ ） ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)(,)|,()(),246,3542(,)6,(53),(62),4(,6);(3)(,),(ijAB， ， ， ， ，正 反 正 正 反 正 反 反正 正 正 反正 正 正 反 反 ,)(,C正正 正 反 反3.设 为三事件，用 的运算关系表示下列各事件：BA, CBA,（1） 发生， 与 不发生. （2） 与 都发生，而 不发生.（3） 中至少有一个发生. C
3、,（4） 都发生.CBA,（5） 都不发生.,（6） 中不多于一个发生.,（7） 中不多于两个发生.CBA,（8） 中至少有两个发生.,3.【解】 （1） A （2） AB （3）ABC （4） ABC(5) (6) CBB(7) BCA CAB CA B = = C(8) AB A C BCABC= ABBC CA .4.在某系的学生中任选一名学生.令事件 表示“被选出者是男生” ；事件 表示B“被选出者是三年级学生” ；事件 表示“被选出者是运动员”.（1）说出事件 的含义；B（2）什么时候有恒等式 ；CA（3）什么时候关系式 正确；（4）什么时候等式 成立.4.(1)该生是三年级男生但不
4、是运动员;(2)当某系的运动员全是三年级男生时;(3)当某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时;(4)当某系三年级的学生都是女生,而其它年级都没有女生时.5.盒中有 10 只晶体管. 令 表示“10 只晶体管中恰有 只次品” ， 表示“10 只晶iAiB体管中不多于 3 只次品” ， 表示“10 只晶体管中次品不少于 4 只”.问事件C， ， 之间哪些有包含关系？哪些互不相容？哪些互逆？(0,12)iAB5. ； 两两互不相容， 与 互不相容； 与,01,23i0123, C互逆。C6. 是任意两个事件，化简下列式子,（1） ； （2） .ABABAB6. （1） ； （2） .7.若 ，
5、 ， ，试求()0.5P()02()0.4P（1） ；（2） ；（3） ；（4） .B)()P7. （1）因为 ，故()()()PABPBA；0.42.（2） ；1(0.3（3） ；()()().7（4） .8.观察某地区未来 5 天的天气情况，记 为事件“有 天不下雨” ，已知iAi，求下列事件的概率.0(),12,34iPAi(1) 5 天均不下雨；（2）至少有一天不下雨；（3）至多三天不下雨.8.易知 两两互不相容且 ，所以015,A 015AS15 5PSPPA00 0026于是得 ， .0/6()/6,34ii记（1） ， （2） ， （3）所表示的事件分别为 ，则CBA（1） ；0
6、1/A（2） 5PB（3） 44/1657/16.CP9. 设 是两事件，且 ， ，问,().()0.（1）在什么条件下 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下 取到最小值，最小值是多少？A9. （1） 时， 取到最大值 0.6 （2） 时， 取B() ()1PAB()PA到最小值 0.3。10.某城市有 50%住户订日报，有 65%住户订晚报，有 85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比.10. 3011. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？11. p= 5321315C/12.将 3
7、个球随机地放入 4 个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率.12.设 分别表示杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的事件，则,AB；342()8PA；341()6PC.9()81BA13. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面 4 个数全不相同的概率（设后面 4 个数中的每一个数都是等可能性地取自 0，1，2，9）.13. 这是重复排列问题.个数有 10 种选择,4 个数共有 104 种选择.4 个数全不相同,是排列问题.用 10 个数去排 4 个位置,有 种排法,故所求概率为 .410 410/PA14. 对一个五人学习小组考虑生日问题，求下列事件的概率：（1）五个人的
8、生日都在星期日； （2）五个人的生日都不在星期日；（3）五个人的生日不都在星期日.14.（1） 设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A 1）= =（ ） 557（2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A 2）= =( )56(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A 3）=1P (A1)=1( )5.715.某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶、红漆 3 桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为 4 桶白漆、3 桶黑漆和 2 桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定
9、货的概率是多少？ 15. 与次序无关,是组合问题.从 17 桶油漆中取 9 桶,有 种取法. 由乘法原理,取 4 桶917C白漆、3 桶黑漆和 2 桶红漆的取法为 种,所以所求概率为 .43210C432109751P16.在 1500 个产品中有 400 个次品、1100 个正品.任取 200 个.（1）求恰有 10 个次品的概率； （2）求至少有 2 个次品的概率.16.（1） ；（2） .10945C201594C17. 50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上，其中有 3 个铆钉强度太弱.每个部件用3 只铆钉.若将 3 只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.问发生一
10、个部件强度太弱的概率是多少？17.将部件从 1 到 10 编号， 表示“ 号部件强度太弱” ，故iAi3501(),12,0.96iPiC因 两两互不相容，因此 10 个部件中有一个部件强度太弱的概率是1210,A.2101210PAAP 196018. 从 1 至 9 这九个数中有放回地取 3 次,每次任取 1 个,求所取的三个数之积能被 10整除的概率18.解 设“所取的 3 个数中含有数字 5”为事件 A1,“所取的 3 个数字中含有偶数”为事件 A2,“所取的 3 个数之积能被 10 整除”为事件 A,则 A= A1 A2,故121233()()()854()()0.9PAP19. 两
11、人约定上午 9001000 在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.19. 记 9 点为计算时刻的 0 时，以分钟为单位设甲、乙两人到达指定地的时刻分别为 x、 y，则样本空间 S 是 .事件“一人要等另一人半小时以上 ”等价于,6xy.如图阴影部分所示.30题 19 图 .230164P20. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于 的概率；65（2） 两个数之积小于 的概率.1420. 设两数为 ，则 .,xy0,xy（1） 0,P(A|B)=1,试比较 P(AB)与 P(A)的大小. 40. 因为 ()(所以 .()PABPBA41.在房间里有 10 个人，分别佩
12、戴从 1 号到 10 号的纪念章，任选 3 人记录其纪念章的号码.（1）求最小号码为 5 的概率；（2）求最大号码为 5 的概率.41.（1） ；（2） .530C431042.从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 42. 15240C81320p43.在 11 张卡片上分别写上 probability 这 11 个字母，从中任意连抽 7 张，求其排列结果为 ability 的概率.43. .712024A44.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少
13、？44. （1） ； （2） .9810.30143106545.某种产品的商标为“MAXAM” ，其中有 2 个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率.45.5345.解 字母脱落 2 个有 5 种：脱落 MX，AX，MA，AA，MM，分别记为 ， 放回后仍为iA“MAXAM” 记为 .脱落的总数 ，B2C10， ，12PA34PA4510PA，/,i /,iB由全概率公式 513/5iiiPBAP46.设一个口袋中有 6 个球，令 依次表示这 6 个球分别为 4 红，2 白；3 红，321,B3 白；2 红，4 白.设验前概率为 .现从这口袋中任取一球，31)(,)(
14、,)(21 PP得到白球，求相应的验后概率.46. .178;3646. 解 ， ， ，/PAB21/PAB32/PAB由全概率公式 317/36iii， ，11/PBA222/3/ 17PBA.333/8/ 747.随机地向半圆 0y (a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的2x概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 /4 的概率为多少？47.利用几何概率来求，图中半圆面积为 a 2.阴影部分面积为1214a故所求概率为.21pa48. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生有 90%的可能考试不及格 .据调查，学生
15、中有 80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？48.设 A=被调查学生是努力学习的，则 =被调查学生是不努力学习的. 由题意知AP（A）=0.8，P（ ）=0.2，又设 B=被调查学生考试及格.由题意知 P（B|A）=0.9，P（ | ）=0.9，故由贝叶斯公BA式知（1）()()() ()PA0.210.2789.3即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%(2) ()()() ()PABPAB0.8140.372.9即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%.49.将两信息分别编码为 和
16、 传递出去，接收站收到时， 被误收作 的概率为ABAB0.02，而 被误收作 的概率为 0.01.信息 与信息 传送的频繁程度为 .若接收站BB1:2收到的信息是 ，问原发信息是 的概率是多少？49.197649.【解】 设 A=原发信息是 A，则=原发信息是 BC=收到信息是 A，则=收到信息是 B由贝叶斯公式，得()()()PACPAC2/30.98160.942750. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）50. 设 Ai=箱中原有 i 个白球（i=0,1,2） ，由题设条件知 P（A
17、 i）= ,i=0,1,2.又设13B=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知 11120()()()(iiiPBAPB./3/1/351. 袋中装有 m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？51.【解】设 A=投掷硬币 r 次都得到国徽 ，B =这只硬币为正品 ，由题知，(),()nPm1|12rAP则由贝叶斯公式知 ()()|(|)|(|)BABP.122rrrmnnA52. 甲、乙、丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二次比赛，而失败者则轮空，比赛
18、用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者，若甲、乙、丙胜每局的概率各为1/2，问甲、乙、丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？52.72;145附 52.题解答: 设 A 表示甲胜,B 表示乙胜,C 表示丙胜，则这种比赛的可能结果为:AA,ACC,ACBB,ACBAA,ACBACC,ACBACBB BB,BCC,BCAA,BCABB,BCABCC,BCABCAA,在这些结果中，恰好包含 k 个字母的事件发生的概率应为 ，如 ，k2121)(AP，则整场比赛中丙胜的概率为421)(ACBP36925823()()()()111;7PBCABC 由于甲、两人所处的地位对称，所以得 .125()()74PAB
