1、第 12 章 内变量理论98第 12 章 内变量理论本构方程理论与连续介质热力学建立本构方程有三种途径：实 验 验 证连 续 介 质 热 力 学 前 述理 性 力 学 方 法 假 设二 向 或 三 向 应 力 要 加 上实 验 方 法 .3)(2.112.1 Gibbs 主程与本构方程理想气体的特性函数（态函数）只受压力 p 时 dApV其中： ：气体压力， ：气体体积， ：外力作功A平衡态熵（可逆）： ，或 TQSSd热力学第一定律： Ud内能变化 外力作功 热量变化则： Gibbs 方程dUTSpV其中： ：内能，是状态函数， 是全微分（与过程无关） 。在 Gibbs 方程中， 内能（状态
2、函数） ， 和 看作独立变量，则SV),(U有： （下标表示该量不变）(), ()VSTpS上两式给出了 之间的关系。利用上面式消去 ，得 之间的关系,消去 ，得 之间的关系（不同参数表示的气体的状态方程即本构方程）pS将求本构方程的方法化为求一个内能函数的方法。常用特性函数： Gibbs 方程（一）内能： (,) ddUVUTSpV（二）热焓： HSpH（三）Helmhol 自由能 (,) FTF（四）Gibbs 特性函数 , dd*GpUVTSGSTVp12.2 不可逆热动力学理论：（Gibbs 方程的修正）第 12 章 内变量理论991连续介质：不可逆过程不可逆过程的 Gibbs 方程：
3、不可逆过程：1 QSTd2 ()(), driApVA其中： （可逆功）()()rr（不可逆功）iii通过内部来分散转变为热，产生 （认定恰好是 的那一部分）)(iSd()drUTpV用 Lagrange 法描述不可逆热动力学理论：连续介质的 Gibbs 方程：（其中 为小写，是比熵）su0s又 （其中 为克希霍夫应力分量， ：Lagrange 应变）:TEE不可逆过程的 Gibbs 方程：（*）rsT0（ ，仿照前面，建立和假设）)(0)(0ir()()()()0()()()():ETEorrrii ii亦 可亦 可由此可得连续介质力学中的第一组本构方程：（1） （由（*）式）(),Erus
4、有 ()ErTs()FEsru（2）比自由能： (),rfT有： ()ErfsTT0()rf2广义不可逆力与广义不可逆速率过程介质热力学第二定律，Clausius-Duhem 不等式： 0)(, kTKusT不可逆过程的 Gibbs 方程：第 12 章 内变量理论100()00()()():TErri ius代入，有： ,)(00 krT()()()0,T:EikiikT定义： ；（9 个应变率分量）T() ()()()() , ;,i iiiii 广义不可逆力（9 个应变率分量）T() ()()()()() * ;,iiiiiaT 广义不可逆速率（当等号成立时，是可逆过程）()T()00ii
5、ik12.3 不可逆热和学理论（续）Onsager-Casimir 倒易关系不可逆过程中， ， 是两个重要的量，但它们之间的关系如何？不知。)(i)(i当偏离可逆过程（平衡态）不大时，设它们之间有线性关系：Onsager-Casimir 原理 （*）)()(iLKik其中： 是非负的对称张量，即 KL LK（*）式换成原来分量表示为 () ()() (),Ti iMKLKLNi iABEH也具有对称性，A,BH上式为不可逆变量的演化方程（即本构方程） 。12.4 内变量与增广状态空间不可逆热力学理论：1两个假设：（1）Gibbs 方程的修正（2）Onsager-Casimir 倒易关系从本质上
6、是线性理论，偏离不可逆过程不太远。第 12 章 内变量理论101sEs2状态参数：用热力学中原来现有的参数。内变量理论的增广状态空间：可逆系统：Lagrange 应变张量 ，比熵 ，作为描述系统的热力学状态的参数。Es有图空间称为七维热力学状态空间： 该空间对于可逆过程是完备的。不可逆系统：Lagrange 应变张量 ， （6 个量）比熵 （1 个） ，内变量 （分量个数自定）s作为不可逆系统的参数由 和 表示的空间称为内变量理论的增广状态空间：,E共轭广义不可逆力： （类似于 和 ）)(i)(i粒散功率（第一步：描述状态的参量改变了， 和 和 ） 。)(i)(i12.5 内变量理论的 Gib
7、bs 方程基本假设：在增广状态空间中 ，研究不可逆过程，可以采用经典热力学中相同的状态函数，如：（比自由能） ， （比熵） (比 Gibbs 函数)fe,hg1:():,ET,esfeshgfg内变量理论的 Gibbs 方程Lagrange 描述法的 Gibbs 方程:TEes :TEeshgsTETT第 12 章 内变量理论102（右边第一项 ，第二项为总能，第三项为释放能）d本构方程和演化方程利用比 Gibbs 函数表示的 Gibbs 方程，()T,g本构方程或演化方程T,TEgsg内变量理论的熵产率公式Clausuis-Duhem 不等式：以前的0()0* ,TkTse用内变量理论 Gibbs 方程： 0:Es代入以前式子，有 0:0,TkTkT若不考虑第二项的贡献，则有内变量理论必须满足的条件。k12.6 本构方程的推导利用比 Gibbs 函数： (),Tg应用：Lagrange 应变分量 E,比熵 ，s(),T共轭广义不可逆力 ，),且： EMNk又 代入上式有：0,TgTT第 12 章 内变量理论103222()()EETTriMNkgg 令（1）22()2() ETr Ni kkg同理：（2）()()22()2() )Tri MNiksgs根据熵产率公式：或 00k假设： 或 （3）)(lk()（1） 、 （2）分别与（3）组成两组完整的本构方程。
