1、高等传热学导热理论第四讲第四讲 非稳态导热非稳态导热描述非稳态导热问题的微分方程：描述非稳态导热问题的微分方程： pCtat2共有四维，不好解。最简单的情况，如果系统内部无温度差（即无导热）共有四维，不好解。最简单的情况，如果系统内部无温度差（即无导热） ，它的温度变化规律如何？这就是所谓的薄壁问题，此时无需考虑系统的空间坐它的温度变化规律如何？这就是所谓的薄壁问题，此时无需考虑系统的空间坐标，所以又是标，所以又是 0 维问题。维问题。1薄壁问题（薄壁问题（ P40-45）即集总参数系统）即集总参数系统薄壁理论：薄壁理论：如果系统内部无温度差，由热力学第一定律可得：如果系统内部无温度差，由热力
2、学第一定律可得：121MCdtAq当热流密度与边界相互垂直时，有：当热流密度与边界相互垂直时，有：122Vtd如边界上的热流密度为如边界上的热流密度为 )(hqf123CdttAf0实际情况实际情况 t 不可能相同。什么条件下可用薄壁公式呢？不可能相同。什么条件下可用薄壁公式呢？工程界用得最多的判据是：工程界用得最多的判据是：124.Bi对平壁，圆柱和球，此时内部温差小于对平壁，圆柱和球，此时内部温差小于 5有人对此判据提出异议：在加热初期极短时间内，任何有限薄壁可看作半有人对此判据提出异议：在加热初期极短时间内，任何有限薄壁可看作半无限大体，温度只影响边界附近薄层中，与薄壁概念不符。判据无限
3、大体，温度只影响边界附近薄层中，与薄壁概念不符。判据 1 2 4 的缺的缺点是没有点是没有 Fo 的影响。的影响。 Rosenow 提出另一个判据，该判据含提出另一个判据，该判据含 Fo，但存在，但存在 Bi 越小，越小，薄壁区越小的缺点，与判据薄壁区越小的缺点，与判据 1 2 4 不相容。俞佐平提出了含不相容。俞佐平提出了含 Fo 的新判据，可的新判据，可与判据与判据 1 2 4 相容。本人从理论上证明了判据相容。本人从理论上证明了判据 1 2 4 的合理性，发现异议的合理性，发现异议者的误区在于当者的误区在于当 Bi 很小时，无论时间如何短，与该薄壁相应的半无限大体中的很小时，无论时间如何
4、短，与该薄壁相应的半无限大体中的最大温差也不会超过我们限定的温差。这就是问题的实质。最大温差也不会超过我们限定的温差。这就是问题的实质。2薄壁加热理论：薄壁加热理论：由式由式 122，得： 叫升温速度。由此式可以清楚地看到HCVqAdt/形状和密度对升温速度的影响。CqH/球 圆 柱平 壁32/13/2/ kRAVCqH在在 R 相同时，球的升温速度最快，是厚为相同时，球的升温速度最快，是厚为 2R 平壁的平壁的 3 倍，平壁最慢。倍，平壁最慢。因为物体体积都是有限的，令因为物体体积都是有限的，令 和 ， 叫形状参数叫形状参数2/1AL3/1VvVALE/, ，得：，得：3/2VEA2/EVV
5、HCq/2在体积相同时，平壁具有最大的形状参数，升温速度最快，球有最小的形在体积相同时，平壁具有最大的形状参数，升温速度最快，球有最小的形状参数，升温速度最慢，与上面的结论完全相反，但两个结论是对的。状参数，升温速度最慢，与上面的结论完全相反，但两个结论是对的。3加热方式的影响：加热方式的影响：A. 等热流加热，等热流加热， q=const0/tCVqAtB. 等温加热：等温加热：对流加热对流加热 式式 1 2 3 为常量时的解：为常量时的解：fthttf /exp0辐射加热：辐射加热： ，解为，解为)(4Tqf030fffACVarctn21ln4)(适用条件， .MoC动态温度加热，测温理
6、论动态温度加热，测温理论等速升温：等速升温：，vtff0 0.,ft解为：解为： )(/expttf vCVhA温度出现滞后现象，滞后时间温度出现滞后现象，滞后时间 ，滞后温差：，滞后温差：ttv0204060801001200 0.01 0.02 0.03 0.04时 间温度qq2q3正弦温度加热：正弦温度加热：sin0Btff0.,ft解为：解为： sin1/exp1i 22 ttf BCVhAt温度频率不变，但出现滞后现象，滞后相位差温度频率不变，但出现滞后现象，滞后相位差 ，温度振幅减小，减小到，温度振幅减小，减小到 ，21ttarcn以上分析告诉我们，若用热电偶一类的温度计测量动态温
7、度，即时显示温以上分析告诉我们，若用热电偶一类的温度计测量动态温度，即时显示温度总是跟不上实际温度变化，必须采取措施，尽量减小误差。其中测温系统的度总是跟不上实际温度变化，必须采取措施，尽量减小误差。其中测温系统的时间常数是影响精度的主要指标。时间常数是影响精度的主要指标。4. 动态温度测试仪分析。动态温度测试仪分析。用热电偶等测量燃气温度温度，可以看成是薄壁系统。在低马赫数条件下，用热电偶等测量燃气温度温度，可以看成是薄壁系统。在低马赫数条件下，可用下面方程进行描述：可用下面方程进行描述： )16.273()16.273()( 440ttAthdtVCwf在壁面温度比燃气温度低得多时，上式中
8、壁面辐射热量可以忽略不计。我们整在壁面温度比燃气温度低得多时，上式中壁面辐射热量可以忽略不计。我们整理成：理成： ).().( 440wf ttttRMf t动态误差动态误差 辐射误差辐射误差减小动态误差的方法：减小动态误差的方法：减小密度，体积和比热容，增加燃气和测温元件间的换热系数和感温元件的减小密度，体积和比热容，增加燃气和测温元件间的换热系数和感温元件的换热面积。即减小系统时间常数。换热面积。即减小系统时间常数。减小辐射误差的方法：减小系统黑度（测温元件表面涂黑度小的材料，元减小辐射误差的方法：减小系统黑度（测温元件表面涂黑度小的材料，元件和低温壁面之间加遮热罩，增加辐射热阻，调整位置
9、减小角系数）件和低温壁面之间加遮热罩，增加辐射热阻，调整位置减小角系数） ，增加换热，增加换热系数，提高壁面温度。系数，提高壁面温度。设计新形式，修正误差，如测出时间常数和温度变化曲线，即可算出动态设计新形式，修正误差，如测出时间常数和温度变化曲线，即可算出动态误差。误差。5 厚壁的非稳态导热：厚壁的非稳态导热：1D 时无内热源，有通用方程：时无内热源，有通用方程： SphernCylindPatrtt2102解有海解有海 斯斯 勒图。勒图。 （ 略）略）现介绍半无限大体的解。现介绍半无限大体的解。(4-1)有 限torxtxrqtxdtatfw0)(0021stBC 的解：（相似法或变量置换
10、法）：令的解：（相似法或变量置换法）：令 代入上式：得代入上式：得ax202 ,0 tqortdt ww 当当 tw为常数时：为常数时： 误差函数误差函数200().()2txerferfedaerf(0) 0， erf(2) 0.995， erf() 1。求时间。求时间 : x=(x/) 2/(4a)热流密度：热流密度： 20(,)exp()4wtqxa0000(0,),()2wwwt ttqQAdAaaa如果壁面上为周期性温度变化：如果壁面上为周期性温度变化： 2cos()watBT其稳态解为：其稳态解为： )cs()exp(aTxata 振幅衰减，其衰减系数：振幅衰减，其衰减系数： ，
11、a ， T 衰减快。衰减快。)ep(相位延迟，延迟相位角：相位延迟，延迟相位角： ，延迟时间：aTx/2xaTx温度波传播速度：温度波传播速度： 0.5/uTx温度波周期温度波周期 T 不变。不变。推进波波长：推进波波长： /,/2,xalalau穿透深度：穿透深度： 001.65.0.8l T热流密度：热流密度： (,)exp()cos()4tqxBxaaT壁面处热流密度：壁面处热流密度： 2(0,)()4tT壁面处累积热量：壁面处累积热量： 002(,)cos()41 12in(sin()2 24QqdBdaTTBBTa 2ndBC 的解：（相似法或变量置换法）：令的解：（相似法或变量置换
12、法）：令 代入代入 (4-1)式：得式：得x20, ,0wwdqtorqq当当 qw为常数时：为常数时： ().2xerfa00 21(1)()xx wwqaxtqderfdierfca200()1()xxt fierfcerc， b 叫蓄热系数。叫蓄热系数。0/,() ,/wwqaqxtt bac热流密度：热流密度： (,)e()4wxqxrfca接触传热计算：两半无限大体，左边初始温度为接触传热计算：两半无限大体，左边初始温度为 t10，右边初始温度为，右边初始温度为 t20，接触后温度的变化：接触后温度的变化： 2 1200102,0;wwxxttdqtorq 所以：所以： 101 2(
13、,),(,)wwqtttbb 即即 tw与时间无关。与时间无关。10022211,wtt3rdBC 的解：（用拉氏变换法）：由（的解：（用拉氏变换法）：由（ 4 1）式：得）式：得当当 t0为常数时：为常数时： 20()exp()()2ft hxherfcaerfcaaerfc(0) 1， erf() 0。求时间。求时间 : x=(x/) 2/(4a)表面温度变化：表面温度变化：20(,)1e()()ftterfc如果环境温度为周期性温度变化：如果环境温度为周期性温度变化：2cos()fatBT其稳态解为：其稳态解为： 2exp()cos()at xaaT21,rtn()1hT温度波周期温度波周期 T 不变。不变。振幅衰减，其衰减系数：振幅衰减，其衰减系数： ， a ， T 衰减快。衰减快。exp()aT相位延迟，延迟相位角：相位延迟，延迟相位角： ，延迟时间：/22xaTxTa温度波传播速度：温度波传播速度： 0.5/2xxuT推进波波长：推进波波长： /2,()lalaTu穿透深度：穿透深度： 00/,lnTKK热流密度：热流密度： 2(,)exp()cos()4tqxBxaTTa壁面处热流密度：壁面处热流密度： (0,)()4t壁面处累积热量：壁面处累积热量： 002(,)cos()sin)i244QqdBdaTTBa
