1、完善指数对数等数算理论-数算理论的创新00、为了理论表述更符合实际， “数学”应改为“数算” ，数：即为数量，算：即为计算。数算（数学）的发展，因数的表示方法或算的计算方法的发现和发展， 产生了很多新的数算（数学）理论，从而大大推动了社会科学的进步与发展。但由于数算（数学）理论发展存在阶段性，前后理论自成体系，这样使整个数学理论体系缺乏系统性，同一数算概念，在不同数学理论中有不同的名称表述，使得数学概念表述累赘，这样大大增加了人们学习数学的难度，数算的逻辑关系也变得复杂，大大阻碍了数算理论的发展。下面对乘数、指数、对数等数学理论进行一次探论。1、乘数、指数、对数等数学理论现状11、乘方如果有实
2、数 a，连续 n 次自乘，这种运算叫 乘方，可表示为：aaaa= an“=”的左边的“a aaa”运算式叫乘法式， “a”叫因数（乘数），“”叫 乘号，运算结果叫积。“=”的右边的“a n”运算式叫指数式，a 叫底数， “”叫乘方， “n” 叫指数，运算结果叫幂。根据乘法的运算法则及乘方的基本含义，可得到正整数的指数式运算法则：、（an）（am）= a(nm)、（am）n= a(nm)、（ab）n= （an）（bn）、（an）/（am）= a(n-m), ( a0, m、n自然数).、a0= 1, ( a0 ).、a（-n）=1/(an), ( a0, n自然数).12、开方如果 an=N,(
3、 n1,且 n自然数), 可把底数 a 叫做幂 N 的 n 次方根。己知幂 N、指数 n，求底数 a 的运算叫开方，运算式可表示：a=nN，nN 运算式叫 开方式；如果 nN 有意义，nN 值叫做 N的 n 次方根，n 叫做根指数，N 叫做被开方数。开方是乘方的一种逆运算。根据乘法的运算法则及乘方、开方的基本含义，可将一个根式 nN 表示 为指数式，指数式的指数部分是一个分数，分母是根式 nN 的 根指数 n，指数式的底数是被开方数 N，得到的开方式与指数式为：nN= N（1/n），（N0，n0、 n自然数）。13、指数从以上的乘方、开方的运算含义及表示方式看，乘方与开方都可统一于指数式，且乘
4、方与开方的运算方法都可统一于指数式运算法则，指数部分可用一个分数表示，分子表示底数的乘方数、分母表示底数的开方数。如果有一个实数 a，同时进行 n 次乘方和 m 次开方，则其表达式为： a（n/m）， （n、m自然数且不等于 0，a0） 。乘方与开方统一于指数的运算规则后，使同底的乘方与开方运算变成了指数的加、减、乘、除运算，大大简化了同底的乘方与开方运算，其指数式运算法则扩展如下：、（an）（am）= a(nm)、（am）n= a(nm)、（ab）n= （an）（bn）、（an）/（am）= a(n-m), ( a0, m、n自然数 ).、a0= 1, ( a0 ).、1/(an)=a(-n
5、), ( a0, n自然数).、na = a（1/n），（a0，n0、 n自然数）。、m（an）=a（n/m），（n、m非零自然数，a 0） 。指数式的指数取值范围由自然数扩展到分数。分数指数的运算方法，使数算理论发生了一次飞跃，大大提高了数算速度。14、对数如果 an=N,( a0,且 a1),此式表示以 a 为底数的 n 次乘方的幂为 N。己知幂 N、底数 a，求指数 n，此运算式可表示为：n =log(a)N此运算方法也叫求对数，a 叫底数，N 叫真数，n 叫以 a 为底N 真数的对数。此运算是求幂的逆运算。从对数的定义可知：真数 N 取值范围是（0，+ )，零和负数没有对数。底数 a
6、为常数，其取值范围是(0 ，1)(1，+)。N 的取值范围是（- ，+)。根据对数定义及指数运算法则，可推导下列对数运算法则：、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)、log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N) 、log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （nR） 、log(an)(M)=（1/n）log(a)(M) (nR) 、换底公式 log(A)M=log(b)M/log(b)A，（b0 且 b1） 、对数恒等式：alog（a)N=Nlog（a）（ab）=b从 以 上 对 数 运 算 法 则 可 以 看 出 ：真 数 的 乘 （除 ），可 以
7、转化 为 同 底 对 数 的 加 （减 ）。对 数 的 这 个 性 质 在 历 史 上 发 挥 过 巨大 的 作 用 ，在 16 世 纪 末 至 17 世 纪 初 ，当 时 在 自 然 科 学 领 域（特 别 是 天 文 学 领 域 ），经 常 遇 到 数 值 巨 大 的 乘 除 很 多 的 计 算 ，数 学 家 们 为 了 寻 求 化 简 的 计 算 方 法 ，从 而 发 明 了 对 数 ，使 得巨 大 数 值 的 繁 琐 乘 除 计 算 ，变 成 十 分 简 单 的 加 、减 运 算 ，使 得在 天 文 学 领 域 的 某 些 繁 难 计 算 变 成 了 可 能 ，大 大 促 进 了 当
8、时的 科 学 技 术 的 发 展 。但随着现代电脑技术的发展，对数的作用已逐渐被电脑计算工具所取代。特别是指数运算法则的发现与完善，以及对数与指数的关系被发现，对数的作用己失去了原有的地位。2、乘数、指数、对数等数算理论的优化从 乘数、指数、对数等数学理论发展历史可知，数学理 论的发展，是随着数的表示方法和算的计算方法的发现而发展。但从上面的乘数、指数、对数看，数的表示方法及算的计算方法还十分繁杂、不成体系，同一个概念出现多个表述名称，人们使用这些数学理论解决实际问题的思路也变得复杂。为了克服这些问题，我们可以对以上的乘数、指数、对数等数学理论进行改进，下面是一些探论。我 们 先 从 数 的
9、最 基 本 表 示 方 法 及 算 的 基 本 计 算 方 法 开 始进 行 分 析 。21、乘方的基本表述如果有实数 a，连续 n 次自乘，这种运算叫 乘方，可表示为：aaaa= an“=”的左边的“a aaa”运算式叫乘法式， “a”叫因数（乘数），“”叫乘号，运算结果叫积。“=”的右边的“a n”运算式叫指数式，叫 a 叫底数， “”叫乘方，“n” 叫 指数 ，运算结果叫幂。22、开方的基本表述如果 an=N,( n1,且 n自然数), 可把底数 a 叫做幂 N 的 n 次方根。己知幂 N、指数 n，求底数 a 的运算叫开方，运算式可表示：a=nNnN 运算式叫开方式，如果 nN 有意义
10、，nN 值叫做 N 的n 次方根，n 叫做根指数，N 叫做被开方数。开方是乘方的一种逆运算。根据乘法的运算法则及乘方、开方的基本含义，可将一个根式 nN 表示 为指数式，指数式的指数部分是一个分数，分母是根式 nN 的 根指数 n，指数式的底数是被开方数 N，得到的开方式与指数式为：nN= N（1/n），（N0，n0、 n自然数）。23、指数基本表述从以上的乘方、开方的运算含义及表示方式看，乘方与开方都可统一于指数式，且乘方与开方的运算方法都可统一于指数式运算法则，指数部分可用一个分数表示，分子表示底数的乘方数、分母表示底数的开方数。如果有一个实数 a，同时进行 n 次乘方和 m 次开方，则其
11、表达为： a（n/m），（n、m自然数且不等于 0，a0） 。乘方与开方统一于指数的运算规则后，使同底的乘方与开方运算变成了指数加、减、乘、除运算，大大简化了同底的乘方与开方运算，其指数式运算法则由整数范围扩展到有理数。24、乘方、开方、指数的运算方法的统一由于从以上的乘方、开方的运算含义及表示方式看，乘方与开方都可统一于指数式，且乘方与开方的运算方法都可统一于指数式运算法则，指数部分可用一个分数表示，分子表示底数的乘方数、分母表示底数的开方数。为了优化乘方、开方、指数的逻辑关系，理顺乘方、开方、指数的数算规则，促进以上数算理论的发展，下面依据乘方、开方、指数的内在联系，本着定义的本原性原则，
12、对 乘方、开方、指数的数算理论进行优化如下：（1）把乘方、开方、指数的运算方法，统一叫幂法，此叫法与加、减、乘、除的运算方法对应，是一种三级运算。幂法包括乘方、开方及其乘方、开方的混合运算，运算法则统一于指数运算法则，今后改叫幂法法则。（2）把乘方、开方、指数的各符号，统一为一种幂法符号，各部分符号名的叫法统一为：乘方的底数、指数的底数、开方的被开方数，统一叫底数；乘方、开方、指数的运算符号，统一叫幂号，用“ ”表示；乘方的指数、开方的根指数，统一叫指数，乘方、开方的运算结果（即幂法运算的结果）叫方。如果有底数为 a，指数为 n，M 表示幂法运算结果方，则其幂法的统一表达式为：an=Ma 底数
13、，其取 值范围根据实际或“ 指数”确定。n 指数，其取什范围为有理数或根据实际确定。幂号，表示运算方法遵循幂法运算法则。M 方 值，其取 值范围根据实际确定。（3）把乘方、开方、指数的运算法则，统一于幂法运算法则。统一的幂法运算法则如下：、a0= 1, ( a0 ).、（an）（am）= a(nm) ， (m、n有理数).、（an）/（am）= a(n-m), ( a0, m、n有理数 ).、（ab）n= （an）（bn）.、（a/b）n= （an）/（bn）.、1/(an)=a(-n), ( a0, n有理数).一个非零实数的负有理数幂的实质是这个实数相应的正有理数幂的倒数。 、na = a
14、（1/n）， （a0，n 非零有理数）.一个实数的非零有理数 n 倒数幂的实质是这个实数相应的开有理数 n 次方。、m（an）=a（n/m），（n、m非零有理数，a 0）.一个实数的 n 有理数乘方后的 m 有理数开方，等于这个实数的（n/m）的幂。、（am）n= a(nm) ， ( a0 ，n、m非零有理数).一个实数的 n 有理数乘方后的 m 有理数乘方，等于这个实数的（nm）的 幂。25、对数运算方法的改进如果 an=N,( a0,且 a1),此式表示以 a 为底数的 n 次乘方的幂为 N。己知幂 N、底数 a，求指数 n，此运算式可表示为：n =log(a)N此运算方法也叫求对数，a
15、叫底数，N 叫真数，n 叫以 a 为底N 真数的对数。此运算是幂法的逆运算。从 对 数 的 定 义 可 知 ：真 数 N 取值范围是 （0，+)，零 和 负数 没 有 对 数 。底 数 a 为 常 数 ，其 取 值 范 围 是 (0，1)(1，+)。N的取值范围是（ -，+)。从 对 数 定 义 知 道 ，求 对 数 实 际 是 幂 法 运 算 的 逆 运 算 ，为 了反 映 对 数 的 本 原 性 ，加 强 对 数 与 幂 法 运 算 的 关 联 性 ，实 现 求对 数 方 法 与 幂 法 的 系 统 性 ，对 数 的 符 号 名 称 及 运 算 表 达 式 作如 下 改 进 ：求对数的过程
16、叫分法（方值的分解），此叫法与加与减、乘与除的运算方法对应，分法与幂法互逆，都是三级运算。对数的底数还叫底数，真数改叫方数，求对数的结果改叫对，对数标示符号“log、 ln”改为对数运算符号“ ”，叫分号。分号“” 与幂号“ ”对应，有利于人的思维记忆。如果有 an=M,( a0,且 a1),此式表示以 a 为底数的 n 次幂的结果为方值 M。己知方值 M，底数为 a， 求 指 数 n，此运算式可表示为： n= Ma此 运 算 表 达 式 用 约 定 的 新 的 分 法 运 算 规 则 表 述 为 ：M 为真数， a 为底数， “”分 号 、表 示 分 法 运 算 符 号 ，表 示 以 a 为
17、底数的真数 M 的对数为 n。对 数 运 算 法 则 转 化 为 分 法 运 算 法 则 可 表 示 如 下 ：、(MN)a=（Ma）+（Na）、(M/N) a =（Ma）-(Na) 、(Mn) a =n(Ma) （nR） 、M (an) =（1/n）(Ma) (nR) 、换 底 公 式 ：MA =(Mb )/(Ab), (b0 且 b1）、分 法 恒 等 式 ：a（Na）=N（ab）a =b以 上 分 法 运 算 法 则 代 替 对 数 运 算 法 则 ，运 算 表 达 式 变 得更 简 单 更 清 晰 ，对 数 的 表 示 方 法 及 对 数 的 运 算 方 法 简 单 明 了 ，大 大
18、有 利 于 人 们 的 思 维 。3、加与减、乘与除、幂与分的数算体系名称 定义 表达式 说明加法如果己知两个数 a、b，求 这两个数的和，这种运算叫加法。a+b=N读作：a 加 b 等于 N数 a、b 叫加数，“+”叫加号，N 叫 a与 b 的和。加法与减法减法如果己知两个数 a、b,求这两个数的差，这种运算叫减法。a-b=M读作：a 减 b 等于 M数 a 叫被减数，b 叫减数，“-”叫减号，M 叫 a 与 b 的差。加法、减法是一级运算。减法是加法的逆运算。乘法如果己知两个数 a、b，求 这两个数的积， 这种运算叫乘法。Ab=N读作：A 乘 b 等于 N数 a、b 叫乘数（因数），“”叫
19、乘号，N 叫 a 与 b 的 积。乘法与除法除法如果己知两个数 a、b,求这两个数的商，这种运算叫除法。a/b=M读作：a 除 b 等于 M数 a 叫被除数，b 叫除数，“/”叫除号，M 叫 a 与 b 的商。乘法、除法是二级运算。除法是乘法的逆运算。幂法求幂如果己知一个数 a 及指数 n（乘方数或开方数），求 a 的 n 幂的方（幂数）， 这种运算叫幂法（求幂）。an=N读作：a 幂 n 等于 N数 a 叫底数、n 叫指数，“”叫幂号，N 叫以 a 为底的 n 幂的方（幂数）。幂法与分法分法如果有an=M己知数 M（真Ma= n读作：M 分 a 等于 n幂法、分法是三级运算。分法是幂法的逆运
20、算。求对数数）及底数 a,求 M以 a 为底数的 对（对数）,这种运算叫分法(求对数) 。数 M 叫被分数（真数），a 叫底数，“”叫分号（对 数运算符号），n 叫M 的以 a 为底的分的对（对数）。备注：通过以上运算方法的比对，使数算理论概念更清晰，运算表示方法更简单，各类运算之间关系更明晰，数的表示方法及算的计算方法更科学，使数算理论更完善。“幂法” 与数学过去的指数运算法则相同，“ 幂法” 的提法也与指数运算的 历史表述吻合，此提法更科学。“ 分法”是关于求对数运算方法的一种新表述，数学历史理论关于对数，重点只在于表述“ 对数” 数的概念，关于对数运算法则比较含糊不清，“分法” 的提法重点是理清数与算的概念，是对“ 求对数” 运算的表述，是完善了第三 级数算理论。为了准确表述各数算概念，提出“幂法” 、“分法”运算名称， “方”、“对” 的数的名称，更有利于数算理论的描述与 应用。2011 年 8 月 1 日定稿
