1、1讲座提纲冲刺阶段高考数学复习中的热点与冷点江苏省苏州中学 王思俭 2011.4.22 南京一、高考数学试题中的冷点回顾1.07 年四点共面问题；方程的解集问题.2.08 年数列中反证法；探求充要条件、证明函数的单调性（含有绝对值的函数） ；三角形数表.第 10 题：将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10. . . . . 按照以上排列的规律，第 n 行（ ）从左向右的第 3 个数为 第 19 题（1）设 是各项均不为零的等差数列（ ） ，且公差 ，若将此a,21 4n0d数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当 时，求 的数值； 求 的所有可能值；
2、4nd（2）求证：对于一个给定的正整数 ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列)4(n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列.nb,1第 20 题：若 ， ， 为常数，且1212()3,()3xpxpffR12,p,)(2ffxf（1）求 对所有实数 成立的充要条件（用 表示）)(1xf x21,（2）设 为两实数， 且 若ba,ba),(,21bap)(bff求证： 在区间 上的单调增区间的长度和为 （闭区间 的长度定义为)(f, anm,） 。mn3.09 年数列中项的讨论类问题；含有绝对值的函数的最值问题、解一元二次不等式问题.第 13 题如图，在平面直角坐标系 xoy中， 12
3、,AB为椭圆21(0)xyab的四个顶点， F为其右焦点，直线12AB与直线 F相交于点 T，线段 O与椭圆的交点 M恰为线段 OT的中点，则该椭圆的离心率为 .第 17 题：设 na是公差不为零的等差数列， nS为其前 项和，满足xyA1B2A2OTM2223457aa,S（1）求数列 n的通项公式及前 n项和 S；（2）试求所有的正整数 m，使得12ma为数列 na中的项. 第 20 题：设 a为实数，函数 ()()|fxx.若 (0)1f，求 的取值范围；求 x的最小值；设函数 (),()hfxa，直接写出( 不需给出演算步骤 )不等式 ()1hx的解集.4.直线与圆锥曲线的交点、动点轨
4、迹；数列与不等式问题；平面向量与平行四边形；点到平面距离；抽象函数；不等式的基本性质.第 12 题设实数 x,y 满足 3 8，4 9，则 的最大值是 2xyy243x第 15 题：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数 t 满足( ) =0，求 t 的值OCtAB第 16 题：如图，四棱锥 P-ABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=90 0(1)求证：PCBC(2)求点 A 到平面 PBC 的距离来源:学科网第 17 题：某兴趣小组测
5、量电视塔 AE 的高度 H(单位 m） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC高度 h=4m，仰角 ABE= ，ADE=(1)该小组已经测得一组 、 的值，tan=1.24,tan=1.20,请据此算出 H 的值(2)该小组分析若干测得的数据后， 发现适当调整标杆 到电视塔的距离 d（单位 m） ，使 与 之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为 125m，问 d 为多少时，- 最大3D CBAP dD BEA第 18 题：在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为xoy1592yxA、B，右焦点为 F.设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、mt, ),(1y
6、x，其中 m0, .),(2yxN021y（1）设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹；42BF（2）设 ，求点 T 的坐标；3,1（3）设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐9t标与 m 无关）.第 19 题：设各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，已知 ，数列anS312a是公差为 的等差数列.nSd（1）求数列 的通项公式（用 表示） ；nad,（2）设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式cnmk且3knm,都成立.求证： 的最大值为 .knmSc29第 20 题：设 使定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函)(xf ),1()(xfa数 ，其中 对任意
7、的 都有 0， 使得 ，)(hx)(xh)12xh则称函数 具有性质 .xf)(aP(1)设函数 ，其中 为实数)(12xbhb求证：函数 具有性质)(f)(求函数 的单调区间x4(2)已知函数 具有性质 ，给定)(xg)2(P为 实 数 ，设 mxx,),1(,212， ，且 ，若| |21m1m)(g|,求 的取值范围)(x二、高考数学复习中的冷点排查1.集合与函数（1）集合的运算（特别是新定义的相关运算、讨论集合中元素个数、某数或式子是否为集合中的元素）.（1）抽象函数（研究函数的性质、对称性、周期性）.（2）导数中曲线的切线问题（过一点作曲线的切线，讨论切线的条数、或由已知切线的条数求
8、参数的取值；切线与坐标轴所围成三角形的面积、或由切线所产生的线段长度等）.例 1.已知集合 中的元素都是正整数，且 ，对任意的,21naA naa21且 ，有 ,yxy5xy（1）求证： ；21an（2）求证： ；9（3）对于 ，试给出一个满足条件的集合 A例 2. 设 是定义在 上的函数，用分点)(xf,babxxTnii 110:将区间 任意划分成 个小区间，如果存在一个常数 ，使得和式,ban0M（ ）恒成立，则称 为 上的有界变差函数.Mxffni ii11)() ni,2)(xf,ba（1）函数 在 上是否为有界变差函数？请说明理由；2f,0（2）设函数 是 上的单调递减函数，证明：
9、 为 上的有界变差函)(xba)(xf,ba数；（3）若定义在 上的函数 满足：存在常数 ，使得对于任意的 、,)(xfk1x时， .证明： 为 上的有界变2bax2121x)(f,ba差函数.2三角与平面向量（1）解斜三角形（测量类问题、正弦定理、余弦定理）.5MEF CDBA（2）三角函数求值（给角求值、给式求值，主要考查三角恒等变换、二倍角公式、拆角变换）.（3）平面向量平面几何中的共线向量、向量的数量积（涉及三角形、三角函数、面积、线段长度等）.例 3.已知锐角ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别是 .且,abc.22()tan3bcbc（1）求角 A 的大小;（2）求 的值.si
10、(10)tan(10)3.立体几何（1）求空间角与距离、空间几何体的侧面积与体积、几何体中的截面面积.例 4.如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，DEFABC， ， ， ，ACB24为的中点E（1）求证： 平面 ；M（2）求证：平面 平面 ；（3）求平面 与平面 所成锐二面角ADEF的余弦值4.数列（1）数列中的项的讨论类问题、数列与不等式（主要是由数列建立含有参数不等式或含有，需要分类讨论） 、数列分组（三角形数表、回形表等）.()n例 5.对于数列 ，若存在一个常数 M，使得对任意的 ，则称na *,|nnNaM都 有为有界数列.n（1）判断 是否为有界数列并说明理由.2sin（4）
11、是否存在正项等比数列 使得 的前 n 项和 构成的数列 是有界数列？,nanSnS若存在，求数列 的公比 q 的取值范围；若不存在，请说明理由.（3）判断数列 是否为有界数列，并证明.11(2)357nan例 6. 已知数列 b满足 124b+=，且 17=， nT为 b的前 项和.(1)求证：数列 n-是等比数列，并求 n的通项公式；6(2)如果对任意 ，不等式 恒成立，求实数 k的取值范围. *Nn7212nTk5.解析几何（1）直线与圆锥曲线的位置关系（与坐标轴平行的特殊直线、过曲线上一点的直线、具体直线与具体曲线的交点等）.（2）简单的轨迹方程（利用圆锥曲线的定义、圆的定义判断动点的轨
12、迹形状，再写方程；利用代入法求动点轨迹方程）.例 7.设 分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆的长轴长为 ，且点,AB21(0)xyab4在该椭圆上3(1,)2（1）求椭圆的方程；（2）设 为直线 上不同于点 的任意一点，若直线 与椭圆相交于异于 的P4x(4,0)APA点 ，证明： 为钝角三角形MBP例 8.已知 的边 边所在直线的方程为AC360xy满足 , 点 在 AC 边所在直线上(20)， (1)T，且满足 BT（1）求 AC 边所在直线的方程；（2）求 外接圆的方程；AC（3）若动圆 过点 ，且与 的外接圆外切，求动圆 的圆心的轨迹方程P(20)N， ABCP6.不等式（1）不等式的简单
13、性质（若 ，则 ；若 ， ，则 等） ；,xy0xabx解含有参数的一元二次不等式、或分式不等式、或等价转化为一元二次不等式组等.例 9.记定义在，上的函数 （p,qR）的最大值、最小值分2()fpq别为 M、N，又记 .()hpN（1）当 时，求 M、N（用 p、q 表示） ，并证明 ；02 ()1h（2）写出 的解析式；()（3）在所有形如题设的函数 f(x)中，求出所有这样的 f(x)使得|f(x)|的最大值为最小.例 10.某隧道长 2150m,通过隧道的车速不能超过 20ms，一列有 55 辆车身长都为 10m 的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速度为 40m/s） ，匀速通
14、过该隧道，设 为x(m/s),根据安全和车流的需要，当 0x10 时，相邻两车之间保持（ ）m 的距2163xTNABM xyCO7离，自第一辆车头进入隧道至第 55 辆车尾离开隧道所用时间为 y(s).（1）将 y 表示为 x 的函数；（2）求车队通过隧道时间 y 的最小值及车队的速度.7.概率问题正题部分的概率不会有难题，但要注意课本中几个模型，最基本的计数原理要掌握；附加题部分要重视几种模型，会计算期望与方差.例 10如图，两个圆形转盘 A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的 和 .某“幸运转124盘积分活动”规定，当指针指到 A，B 转盘阴影部分时，分别赢得积分 1000 分和 2000 分.先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转为另一个转盘，此时活动结束，若第一次未赢得积分，则终止活动.（1）记先转 A 转盘最终所得积分为随机量 X，则 X 的取值分别是多少？（2）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由.
