1、话说高考解几求动点轨迹方程的消参法的“消”中学数学高级教师梁关化 2015，4，5高考的解几大题，常常是求动点轨迹方程。较难的题往往要用消参法求解。消参法的主要步骤是：设；列；消。设，就是把引起动点变动的相关点的坐标或相关线的方程的参数设为参数。列，就是根据明的（题目已知条件）和暗的（已知条件隐含的条件）条件，把动点的坐标和参数满足的方程列出（一般 n 个参数需要(n+1)个方程式方能消去） 。消，就是从列出的(n+1)个方程式中消去 n 个参数，保留只含有动点两个坐标 x,y 的等式。 如何消去参数？这就要具体问题具体分析。常用方法的有：代入法，加减法，平方后加减法，变形后乘除法等。下面就
2、2015 年广州市和深圳市一模的两题解法话说消参法中的奇妙的“消”例 1 （2015 年广州一模，略去（3）小题） 已知椭圆 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线 的顶点，直线1C2:1xCy与椭圆 交于 ， 两点，且点 的坐标为 ，点 是椭圆 上异20xy1ABA(,)P1C于点 , 的任意一点，点 满足 ， ，且 ， ， 三点不共线. ABQ0P0QBABQ(1) 求椭圆 的方程；1C(2) 求点 的轨迹方程；略解：（1）用待定法得 椭圆 的方程为 . 1C214xy（2） （用消参法）设点 ，点),(yxQ),(1P,为 参 数 )112111221121)()()0243,)()()4
3、545)()634xyyxyxy由 已 知 得+-变 形 为+-得把 变 形 为 并 代 入 得-21()当 时，有 ， 210y5xy当 ，则点 或 ,此时点 对应的坐标分别为 或(,)P(2)Q(2,1)，其坐标也满足方程 . (2,)xy当点 与点 重合时，即点 ，由得 ，A(,1)23x解方程组 得点 的坐标为 或 .25,3xyQ,同理, 当点 与点 重合时，可得点 的坐标为 或 .PB2,1,2点 的轨迹方程为 , 除去四个点 , , ,Q25xy1. 2,（这里用的就是变形后乘除法。如果不把（1） （2）式变形后相乘就很难利用（3）消去参数）例 2 （2015 年深圳一模）已知椭
4、圆 的离心率为 ，过左焦点倾斜角为 的直线:E21(0)xyab245被椭圆截得的弦长为 （ 1）求椭圆 的方程；（2）若动直线 与椭圆 有且只有一43ElE个公共点，过点 作 的垂线垂足为 ，求点 的轨迹方程1,0MlQ略解：（1）因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，解得 ， E22ab2ab故椭圆 的方程可设为 ，则椭圆 的右焦点坐标为 ， 过右焦点倾21xybE,0斜角为 的直线方程为 45:l设直线 与椭圆 的交点记为 ，由 消去 ，得 ，lE,AB21,xyb234xb解得 ， 因为 ，解得 1240,3bx214bx1故椭圆 的方程为 21xy（2） （用消参法） （i）当切线 的斜率
5、存在且不为 时，设 的方程为 ， （k,ml0lykxm为参数）联立直线 和椭圆 的方程，得 ， lE21kxmy消去 并整理，得 ， y22140k因为直线 和椭圆 有且仅有一个交点，l， 2164km化简并整理，得 （1）2因为直线 与 垂直，所以直线 的方程为： ，MQlMQ1yxk联立 解得 1,yxkm2()31kmxy把（2） ， （3）两式两边分别平方相加得，2222222 2(1)()1()1()kkmxyk k把（1）式 代入上式得 （4） xy（ii）当切线 的斜率为 时，此时 ，符合（4）式 l01,Q（iii ）当切线 的斜率不存在时，此时 或 ，符合（4）式 (20)(,)综上所述，点 的轨迹方程为 2（这里用到平方后加减法。如果不把（2） （3）式平方后相加就很难利用（1）消去参数。 ）由上面两例解法我们体会到消参法的“消”真奇妙，这印证了一句名言：具体问题具体分析是马列主义的灵魂。
