1、CRC校验码设计,中科大软件学院 2012-8-19,CRC产生背景,在数字通信系统中可靠与快速往往是矛盾的。如何合理地解决可靠与速度这一对矛盾呢？,纠错码：在每一个发送的数据块中包含足够的冗余信息，以便接收方可以推断出被发送的数据中肯定有哪些内容。 检错码：包含一些冗余信息，但是这些信息只能让接收方推断出发生了错误，但推断不出发生了哪个错误，然后接收方可以请求重传。参考：计算机网络中 3.2节 错误检测和纠正 海明码 、 CRC校验码的区别 在无线链路、光纤、铜线上应用的区别 checksum: 3A 01 01 FF F1 00 2C,CRC产生背景,多项式编码,特点:检错能力极强，开销小
2、，易于用编码器及检测电路实现。从其检错能力来看，它所不能发现的错误的几率仅为0.0047%以下。 从性能上和开销上考虑，均远远优于奇偶校验及算术和校验等方式。因而，在数据存储和数据通讯领域，CRC无处不在：著名的通讯协议X.25的FCS(帧检错序列)采用的是CRC-CCITT，WinRAR、NERO、ARJ、LHA等压缩工具软件采用的是CRC32，磁盘驱动器的读写采用了CRC16，通用的图像存储格式GIF、TIFF等也都用CRC作为检错手段。,多项式编码,多项式编码（polynomial code），也称为CRC(cyclic redundancy check，循环冗余校验码)，多项式编码的思
3、想是：将位串看成是系数为0或1的多项式。CRC校验保护的单位是数据块。数据块的大小根据实际情况而定。每一个数据块均被看作是一个二进制多项式，即所有系数均为二进制（即1或0）的多项式。当使用多项式编码时，发送方和接受方必须预先商定一个生成多项式（generator polynomial）G(x)。生成多项式的最高位和最低位必须为1。,CRC应用,CRC的主要特点,检错能力极强,开销很小,易于实现,ARJ,LHA,ZIP等压缩软件采用的是CRC-32； GIF,TIFF等图像存储格式； 所有链路层或网络接口层协议中，例如HDLC、DDCMP等众多领域。,应用范围广,CRC原理,将待发送的位串看成系
4、数为 0 或 1 的多项式；收发双方约定一个生成多项式 G(x)（其最高阶和最低阶系数必须为1），发送方用位串及 G(x)进行某种运算得到校验和，并在帧的末尾加上校验和，使带校验和的帧的多项式能被 G(x) 整除; 接收方收到后，用 G(x) 除多项式，若有余数，则传输有错。,CRC校验和计算法,1.若生成多项式 G(x) 为 r 阶(即r1位位串)，原帧为 m 位， 其多项式为 M(x)，则在原帧后面添加 r 个 0，即循环左移r位，帧成为 m+r 位，相应多项式成为 xrM(x); 2.按模2除法用 G(x)对应的位串去除对应于 xr M(x) 的位串, 得余数 R(x)； 3.按模2减法
5、(即模2加)从对应于 xr M(x) 的位串中减去(加上)余数 R(x),结果即传送的带校验和的帧多项式T(x)。T(x) = xrM(x) + R(x),CRC验证,发送方,接收方,设 xr M(x) 除以 G(x) 的商和余数分别为 Q(x) 和 R(x)。则有: xrM(x) = G(x) Q(x) + R(x) 即：,接收方收到带CRC校验和的帧多项式T(x) = xr M(x) + R(x)。,由于模2加减相当于异或运算,于是接收方模2除后商Q(x),余数0.得证！,举一个例子,（1）发送数据110011； （2）生成多项式G(x)= x4 + x3 + 1； （3）将要发送的数据系
6、列左移4位，新的序列为 1100110000； （4）按模2算法，将生成的新序列除以生成多项式序列； （5）将余数多项式比特序列加到新的序列中即得发送端传送序列。,下面。,110011,1001,接收方校验方案,方案二：提取接收到序列的信息码元，重复发送方的操作xrM(x) ，再除以生成多项式G(x),如果余数R(x) = R(x),则证明传输正确。,方案一：直接用接收到的序列除以生成多项式G(x),如果余数R(x) = 0,则证明传输正确。,接收方 校验方案,生成多项式 G(x) 的国际标准,CRC-12 ：x12+x11+x3+x2 +x+1,CRC-32 ：x32+x26+x23+x22
7、+x16+x12,CRC-8 : x8+x2+x+1,CRC-10 : x10+x9+x5+x4+x2+1,CRC-16 ：x16+x15+x2+1,+ x11+x10+x8+x7+ x5+ x4+ x2+x+1,CRC-CCITT ：x16+x12+x5+1,差错检测 循环冗余校验码(CRC，Cyclic Redundancy check),编码,对于一个码长为n，信息码元为k位的循环码(n，k),其构成形式为：,差错检测 循环冗余校验码(CRC，Cyclic Redundancy check),若生成多项式 G(x) 为 r 阶(即r1位位串)，原帧为 m 位， 其多项式为 M(x)，则在
8、原帧后面添加 r 个 0，即循环左移r位，帧成为 m+r 位，相应多项式成为 xrM(x); 按模2除法用 G(x)对应的位串去除对应于 xr M(x) 的位串, 得余数 R(x)； 按模2减法(即模2加)从对应于 xr M(x) 的位串中减去(加上)余数 R(x),结果即传送的带校验和的帧多项式T(x)。,例,m(x) = x9 + x8 + x6 + x4 + x3 + x + 1, k = 10,(3) 1101011011.0000 10011(模二除)商数：1100001010余数：1110 r(x) = x3 + x2 + x + 0,所需的循环编码C(x)为,C(x) = xnm
9、(x) + r(x) = 1101011011，1110,设编码的信息码元为1101011011,(1)假设 G(x) = x4 + x + 1系数形成的位串为10011 则将m(x) x4余数取4位,(2) x4m(x) = 1101011011，0000,另一个例子,多项式除法,1 1 0 1 0 1 1 0 1 1,0 0 0 0 1 0 0 1 1,1 0 0 1 1,1 0 0 1 1 1 0 0 1 1,1 0 1 1 0 1 0 0 1 1,1 0 1 0 0 1 0 0 1 1,1 1 1 0,1 1 0 0 0 0 1 0 1 0,1101011011.0000 10011,
10、另一个例子,模2运算,模2加法运算定义为：（对应于逻辑异或）000 011 101 110 例如010100110110，列竖式计算：0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0,异或计算为： 11 =0 00=0 10=1 01=1,多项式的算术运算采用代数域理论的规则，加法没进位，减法没借位，加法和减法都等同于异或。,模2运算,模2减法运算定义为：（对应于逻辑异或）000 011 101 110 例如011000110101，列竖式计算：0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1,异或计算为： 11 =0 00=0 10=1 01=1,模2运算,模2乘法运算定义为： 000 010
11、100 111 例如1011101100111，列竖式计算：1 0 1 1 1 0 11 0 1 10 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1,模2运算,模2除法运算定义为： 010 111模二除法是利用模二减 求余数的，余数最高位为 “1”，则商“1”，否则 商“0”，每商1位则余数 减少一位，直到余数位数 少于除数位数。,1 1 1 0 1 0 1 11 1 0 0 1 0 0 1 0 1 11 1 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 0 1 10 1 1 0 0 0 0 01 1 0,位运算,按位与运算按位与运算符“&“是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进位
12、相与。只有对应的两个二进位均为1时，结果位才为1，否则为0。参与运算的数以补码方式出现。 例如： 9&5可写算式如下： 00001001 (9的二进制补码) & 00000101 (5的二进制补码) 00000001 可见 9&5=1。 按位或运算 按位或运算符“ | ” 是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进位相或。只要对应的二个二进位有一个为 1时，结果位就为1。参与运算的两个数均以补码出现。 例如： 9|5可写算式如下： 00001001 | 00000101 00001101 (十进制为13)可见9|5=13 求反运算符 为单目运算符，具有右结合性。其功能是对参与运算的数的各
13、二进位按位求反。 例如 9的运算为： (0000000000001001)结果为：1111111111110110,位运算,按位异或运算 按位异或运算符 “ ” 是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进位相异或，当两对应的二进位相异时，结果为 1。参与运算数仍以补码出现，例如95可写成算式如下： 00001001 00000101 00001100 (十进制为12) 左移运算 左移运算符“ ” 是双目运算符。其功能是把 “ ” 左边的运算数的各二进位全部右移若干位， “ ” 右边的数指定移动的位数。 例如： 设 a=15， a2 表示把 000001111右移为00000011(十进制3)。,CRC校验码设计,实验要求： (1)、完成基本CRC校验码生成的功能；（位数不限）；(2)、尝试完成CRC-16；,CRC-16,发送数据为:0X02,生成多项式： 0X18005,余数为：0X800F,
