1、1,要点梳理 1.直线与圆的位置关系位置关系有三种： 、 、 .判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法（1） （2）几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:dr相离.,7.3 直线、圆的位置关系,基础知识 自主学习,代数法：,判别式,=b2-4ac,0相交,=0相切,0相离.,相离,相切,相交,2,2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 （1）几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. （2）代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|=说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.,3,3.圆与圆的位置关系的判定设C1：（x-a1）2+（y-b1）2=r2
2、1（r10）,C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20),则有|C1C2|r1+r2C1与C2 ;|C1C2|=r1+r2C1与C2 ;|r1-r2|C1C2|r1+r2C1与C2 ；|C1C2|=|r1-r2|（r1r2）C1与C2 ；|C1C2|r1-r2|C1与C2 .,相离,外切,相交,内切,内含,4,4.P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r0)上，则以P为切点的切线方程为 . 基础自测 1.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为 .解析 将圆x2+y2-2x=0的方程化为标准方程（x-1）2+y2=1，其圆心为（1，0），半径为1.若直
3、线（1+a）x+y+1=0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r, a=-1.,x0x+y0y=r2,-1,5,2.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是 .解析 由x2+y2-2x=0，得(x-1)2+y2=1.又由x2+y2+4y=0，得x2+(y+2)2=4.两圆圆心距为 ，两圆半径分别为1和2.1 3,两圆相交.,相交,6,3.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是 .解析 圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0可化为(x-a)2+(y+2)2=16,若直线与圆总有两个不同的交点，则圆心到直
4、线的距离应小于圆的半径，因此有解得-6a4.,-6a4,7,4.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为 .解析 圆x2+y2-6x+16y-48=0可化为(x-3)2+(y+8)2=121.圆心（3，-8），半径为11.圆x2+y2+4x-8y-44=0可化为(x+2)2+(y-4)2=64,圆心（-2，4），半径为8,圆心距d= 3d 19,两圆相交，公切线条数为2.,2,8,【例1】已知圆C：（x-2）2+y2=3,直线l与圆C相切,并且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.对于圆的切线问题，当已知圆的圆心在原点，而圆上一点坐标已知时，可利
5、用切线公式求解；而其他情况应利用点到直线的距离公式解决圆的切线以及弦长的计算等问题.（1）若直线l过原点，设所求直线方程为y=kx，即kx-y=0，,分析,解,典型例题 深度剖析,9,（2）若直线l不过原点，设l的方程为 即x+y-a=0，由 解得a=2 则直线l的方程为x+y-2+ =0或x+y-2- =0 综上所知所求直线有四条，方程分别为x-y=0， +y=0 x+y-2+ =0或x+y-2- =0.,10,跟踪练习1 m为何值时,直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5.（1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直.解（1）由已知，圆心为O（0，0），半径r= ,圆
6、心到直线2x-y+m=0的距离d=直线与圆无公共点，dr,即m5或m5或m-5时，直线与圆无公共点.,11,（2）如图所示，由平面几何垂径定理知 r2-d2=12，即 得m= 当m= 时，直线被圆截得的弦长为2.,12,（3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， 弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， d= 即 解得m= . 故当m= 时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.,13,【例2】从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.l过点A，欲求其方程，需求斜率k或与x轴的交点B.方法一 如图所示
7、,设l与x轴交于点B（b,0),则kAB= ,根据光的反射定律，反射光线的斜率k反= . 反射光线所在直线的方程为,分析,解,14,即3x-(b+3)y-3b=0. 已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2）， 半径为1, l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.,15,方法二 已知圆C：x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切. 设l的方程为y-3=k(x+3),则 即12k2+25k+12=0.k1= ，k2= . 则l的方程为4
8、x+3y+3=0或3x+4y-3=0.,16,方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.,17,跟踪练习2 从圆C：x2+y2-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且PT=PO （O为原点）.求PT的最小值及此时点P的坐标.解 已知圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1，圆心C的坐标为（2，3），半径r=1.如图所示，连结PC，CT，由平面几何知，PT2=PC2-CT2=（a-2）2+（b-3）2-1.由已知，PT=PO，PT2
9、=PO2，,18,即（a-2）2+（b-3）2-1=a2+b2. 化简得2a+3b-6=0.,19,【例3】已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,求m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含.用两圆的圆心距d和两圆半径的和及差的绝对值比较大小.对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.（1）如果C1与C2外切，则有即(m+1)2+(m+2)2=25.,分析,解,20,m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2. （2）如果C1与C2内含，则有即
10、(m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20, 得-2m-1, 当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切； 当-2m-1时，圆C1与圆C2内含.,21,跟踪练习3（2010扬州月考）已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求：（1）m取何值时两圆外切；（2）m取何值时两圆内切；（3）m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=11，（x-5）2+（y-6）2=61-m.圆心分别为M（1，3），N（5，6），半径分别为,22,（1）当两圆外切时，（2）当两圆内切时， （3）当m=45时，圆方程为x2+y2
11、-10x-12y+45=0 设两圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则A（x1，y1）的坐标满足,23,x2+y2-2x-6y-1=0 x2+y2-10x-12y+45=0 -得4x+3y-23=0， 4x1+3y1-23=0，同理4x2+3y2-23=0. AB所在直线方程为4x+3y-23=0. 圆（x-1）2+（y-3）2=11的圆心到直线AB的距离 d= 弦长|AB|=2,24,【例4】（12分）（2008海南、宁夏）已知mR,直线l:mx-(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0. （1）求直线l斜率的取值范围; （2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为
12、 的两段圆弧?为什么?解题示范（1）直线l的方程可化为直线l的斜率 2分因为|m| (m2+1)，所以,解,25,当且仅当|m|=1时等号成立. 所以斜率k的取值范围是 4分 （2）不能. 由（1）知l的方程为y=k(x-4),其中|k| . 圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2. 圆心C到直线l的距离d= 8分 由|k| ,得d ,即d 10分 从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于 所以l不能将圆C分割成弧长的比值为 的两段圆弧. 12分,26,跟踪练习4 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆
13、经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.解 假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为（x-1）2+(y+2)2=9,圆心C（1，-2），则弦AB的中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的,27,交点即 ,以AB为直径的圆经过原点， |AN|=|ON|，又CNAB，|CN|= |AN|= 又|ON|= 由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1. 存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.,28,直线与圆、圆与圆的位置关系是数形结合的重要背景之一，高考试题以客观题为主，其解法多样，不同的解法可以体现不同的思维层次. 从知识点考查的角度看，直线与圆
14、相切、相交是考查的重点，且试题的难度不大. 直线与圆、圆与圆的位置关系试题具有背景简单，内涵丰富，易上手等诸多特点，预计在必做题部分其考查力度会比原来有所提高，出现大题的可能性会增大，在解题时，要多注意圆的几何性质，运用数形结合思想常常事半功倍.,思想方法 感悟提高,高考动态展望,29,1.过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程的求法有两种： （1）用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程. （2）用待定系数法设出直线方程，再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程. 2.若两圆相交时，把两圆的方程作
15、差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.,方法规律总结,30,3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长. 4.求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为|PO|-r，最大值为|PO|+r（其中r为圆O的半径）.,31,一、填空题 1.（2009江苏南通一模）若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为 .解析 a2+b21P（a，b）在圆外.,在圆外,32,2.（2010吉林实验中学模拟）已知圆C：（x-a）2+(y-2)2=4 (a0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为 时，则a= .解析 由弦心距的
16、性质得圆心C（a,2）到直线l的距离为d=1,即d=又a0,a=,33,3.(2009重庆改编)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是 .解析 圆心到直线的距离 dr且d0,直线与圆相交但不过圆心.,相交但直线不过圆心,34,4.（2009陕西改编）过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为 .解析 过原点且倾斜角为60的直线方程为x-y=0,圆x2+(y-2)2=4的圆心（0，2）到直线的距离为 ,因此弦长为,35,5.（2010天津河西模拟）若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则k的取值范围为 .解析 圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），则O到直线
17、y-kx-2=0的距离为由于直线和圆没有公共点，因此1+k24,36,6.（2008重庆）圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是 .解析 圆O1的圆心为A（1，0），半径r1=1,圆O2的圆心为B（0，2），半径r2=2，所以|AB|= .又因为|r2-r1|=1 |r1+r2|=3,所以两圆相交.,相交,37,7.（2009宁夏、海南改编）已知圆C1：（x+1）2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为 .解析 圆心C1（-1，1）设C2（x,y）是点C1关于直线x-y-1=0的对称点，x=2,y=-2. 圆C2的方程为（
18、x-2）2+(y+2)2=1.,(x-2)2+(y+2)2=1,则,38,8.（2008重庆）直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为 .解析 该圆的圆心为（-1，2），圆心与弦AB中点确定的直线应与直线l垂直，故斜率乘积应等于-1,可得 ,所以直线l的方程为y-1=x,即x-y+1=0.,x-y+1=0,39,9.（2010江苏淮安模拟）若直线y=k(x-2)+4与曲线 有两个不同的交点，则k的取值范围是 .解析 由题可知直线恒过点（2，4），方程化为x2+(y-1)2=4 (y1),它表示的是以（0，1）为圆心，半径为2
19、的圆的上半部分，作出图形如图所示，当直线过点(-2,1)时，斜率k取得最大值，当直线与圆相切时，斜率k取得最小值，易得,40,二、解答题 10.（2010常州模拟）求过点P（4，-1）且与圆C：x2+y2+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程.解 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r,则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C（-1,3），则,41,解得m=3,n=1,r= , 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.,42,11.（2010盐城模拟）已知曲线C：x2+y2-4ax+2ay-20+20a=0.（1）
20、证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；（2）当a2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.（1）证明 曲线C的方程可变形为(x2+y2-20)+(-4x+2y+20)a=0，x2+y2-20=0-4x+2y+20=0点（4,-2）满足C的方程,故曲线C过定点（4,-2）.,由,解得,x=4,y=-2，,43,（2）证明 原方程配方得(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2, a2时，5(a-2)20, C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是 |a-2|的圆. 设圆心坐标为（x,y），则有 消去a得y= ,故圆心必在直线y= 上. （3）解 由题意得
21、 |a-2|=|a|,解得a= .,x=2a,y=-a,44,12.（2010广东梅州月考）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足 .（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.解（1）曲线方程为（x+1）2+(y-3)2=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆.点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1.,45,（2）直线PQ与直线y=x+4垂直， 设P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程为y=-x+b. 将直线y=-x+b代入圆的方程， 得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0. =4(4-b)2-42(b2-6b+1)0, 得2- b2+ . 由根与系数的关系得,46,x1+x2=-(4-b),x1x2= . y1y2=b2-b(x1+x2)+x1x2= . x1x2+y1y2=0，即b2-6b+1+4b=0, 解得b=1(2- ,2+ ), 所求的直线方程为y=-x+1.,返回,
