1、,自 动 控 制 原 理,END,第二章 控制系统的数学模型,一、数学模型基础,二、线性系统的微分方程,三、线性系统的传递函数,四、系统的结构图,五、信号流图及梅逊公式,主要内容,1、数学模型的概念及种类。 2、系统（或元件）微分方程的列写与求解。 3、非线性微分方程的线性化。 4、传递函数的概念及典型环节的传递函数。 5、动态结构图及其等效变换。 6、信号流图及其等效变换。 7、梅逊公式及其应用。 8、 等概念及求取。 9、脉冲响应函数及其应用。,重 点 与 难 点,1、传递函数的概念及典型环节的传递函数 2、由动态结构图或信号流图求传递函数 3、 等概念及求取,.,.,.,难 点,微分方程
2、的列写与各种传递函数的求取,重 点,1.定义：数学模型(mathematical model)是指出系统内部物理量（或变量）之间动态关系的表达式。,2.1 数学模型基础,2.建立数学模型的目的建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。,注意：数学模型系统本身，只是对系统特性的一种近似描述。,3.建模方法,微分方程(differential equation)（或差分方程）传递函
3、数(transfer function) （或结构图block diagram ）频率特性(frequency characteristics) 状态空间表达式（state space equation ）,5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径,4.常用数学模型,2.2 线性系统的微分方程,一、建立微分方程的一般步骤,二、常见环节和系统的微分方程的建立,三、 线性微分方程式的求解,2.2 线性系统的微分方程,（1） 确定系统的输入变量和输出变量,一、建立系统微分方程的一般步骤,系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。,列写系统微分方程的一
4、般步骤：,根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。,（2） 建立初始微分方程组,将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。,（3）消除中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；,下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立,（4）将式子标准化。,uc,ur,1 RC电路,+,-,uc,ur,+,-,C,i,R,输入量：,输出量：,(1) 确定输入量和输出量,(2) 建立初始微分方程组,(3) 消除中间变量，使式子标准化,ur= Ri + uc,根据基尔霍夫定律得：,微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。,RC电路是一阶常系数线性微分方程
5、。,二、常见环节和系统微分方程的建立,2机械位移系统,系统组成：,质量,弹簧,阻尼器,输入量,弹簧系数k,m,阻尼系数f,F(t),输出量,y(t),(2) 初始微分方程组,F = ma,根据牛顿第二定律,系统工作过程：,(1) 确定输入和输出,F(t) FB(t) FK(t) = ma,中间变量关系式:,FK(t) = k y(t),消除中间变量得:,二、常见环节和系统微分方程的建立,【例2-3】,电阻、电容和电感的串联网络，其中U为输入电压，Uo为输出，建立两者关系的微分方程。,确定输入(自变量)和输出变量(因变量),步骤：,输入:Ui;,输出:Uo,(2) 根据基尔霍夫定律列出电路的电压
6、平衡方程式,(3) 消去中间变量i，得到最终的方程,（1）,（2）,（2）式求导得：,代入（1）式得：,上式为二阶线性微分方程，RLC电路是二阶线性(定常)系统。,RLC电路的微分方程：,弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程：,如果忽略系数的物理意义，则RLC电路和机械位移系统的数学模型具有相同的形式，这种系统叫做相似系统。,例2-3和例2-4称为力-电荷相似系统，在此系统中， 分别与 为相似量。,作用:利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。,可见，同一物理系统有不同形式的数学模型， 而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。,力-电压相似,机系统
7、（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统（即电系统为即系统的等效网络）。 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统提供了方便。 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。,例2-4 图2-4为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。,图2-4 RC组成的四端网络,解：设回路电流i1、i2，根据基尔霍夫定律，列写方程如下：,由、得,由导出,将i1、i2代入、，则得,这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。,讨论：,假设系统是无负载，
8、即假设负载阻抗为无穷大，则可列写如下微分方程：,结论：根据无负载假设而导出的上述系统的微分方程是不成立的。系统中负载效应的程度，决定了传递函数的变化大小。,与上面的结果相比，错在那里呢？,【例2-5】,下图是一个液体贮槽的示意图。,列出液位h对流入量Qin之间的关系式。,步骤：,确定输入(自变量)和输出变量(因变量),输入（自变量）：Qin ，输出（因变量）：h,【例2-5】,（2）利用物料（能量）平衡式：,物料( 能量) 蓄存量的变化率 = 单位时间进入的物料( 能量) 单位时间流出的物料( 能量),（1）,(3) 消去中间变量Qout ，得到最终的方程,根据流体力学有,A：水槽的横截面积。
9、,其中： ：阀的流通面积，,：阀的节流系数，设两者均为常数（为常数）。,（2）,【例2-3】,把（2）代入（1）可得：,（1）,（2）,是一个非线性一阶微分方程,【例2-3】,目的：,便于方程简化和求解，相当于设初始条件（稳态条件）为零。,主要关心被调参数在平衡点（设定值）附近的变化情况，即参数偏离平衡点的变化量。因此，把变量转换为增量形式，构成增量方程。,益处：,便于线性化。,如：,（4） 增量化,【例2-5】,方法：,1、把方程写成稳态方程（稳态的物料平衡式）：,2、将原方程中的变量写成稳态值和增量值之和,(1),(2),代入原方程：,方程(2)-(1),【例2-5】,3、改变后的动态方程
10、式减去稳态方程(2)-(1)得到增量方程式。,在不引起混淆的场合，号常常省略。,(2),(1),(2)-(1):,【例2-5】,原因,工程中大多数系统都是非线性的。非线性微分方程式求解复杂，线性系统的理论和方法成熟。,条件,变量间关系在平衡点附近的小范围内是线性的， 把非线性方程局部线性化（增量化的理由）。,方法,（5） 线性化,泰勒级数展开法,描述函数法,相平面分析法,【例2-5】,将非线性函数yf(x)在平衡点 ( ) 附近展开成泰勒级数，即,由于增量x = 很小，展开式中增量的高次项可以忽略，则上式可近似写成线性化方程：,或,y0,x0,泰勒级数展开法,这是一条直线方程,直线的斜率为：,
11、线性化的实质：是以平衡点附近的直线代替平衡点的曲线.,【例2-5】,水槽的数学模型为非线性,对（1）式中的非线性项线性化，,（3）,将（3）式代入（1）式：,则非线性的函数即近似为：,并忽略 增量h的高次项，,即（2）式线性化。,当输出流量是一个变量h的函数时：,【例2-5】,设,去掉号，,写成标准形式：,K：放大倍数，T：时间常数，具有物理意义。,设,【例2-5】,其流出量的方程为：,其中， ：阀的节流系数，常数。 ：调节阀的流通面积，,当输出流量是二个变量h，f的函数时：,水槽的数学模型为非线性,对（2）式线性化，,即是对此式进行二元泰勒级数展开：,当输出流量是二个变量h，f的函数时：,【
12、例2-5】,（3）,令 :,（R称为阻力系数),得到：（各变量分别用稳态值+增量值表示）：,对（2）式两个变量进行二元的泰勒级数展开：,【例2-5】,考虑到平衡关系式：,上式可整理为增量化方程：,前面推出的式子重写如下：,上述方程表示的是在流入量和调节阀开度f（调节器作用）共同作用下液位的变化关系。这就是液位系统以增量形式表示的 近似线性化数学模型,【例2-5】,比较RC电路模型(1),(1),(2),使用相同的微分方程（两个特征参数T和K）描述不同的物理对象和参数（电压V，液位m）。,将变量与某个基准值（如稳态值）相比较，以去除量纲，抽象成统一的一阶线性方程。,抽出不同的物理背景，便于分析、
13、研究共性的规律。,目的,方法,和一阶贮槽模型(2)式,(6) 无因次化,【例2-5】,例： 以一阶贮槽 式为,两边均被各自的稳态值去除,根据上式：,当 时, 定义新变量,代入：,还可设,各变量均为无因次的相对值。,代入：,无因次化步骤：,稳态时,【例2-5】,对物理系统进行输入-输出微分方程建立的一般步骤：,总结：,提出合乎实际的理想化假设条件。,首先确定系统的输入量和输出量,根据 物理或化学规律列出描述系统运动规律的一组微分方程。,消去中间量。列出描述系统输入输出关系的微分方程。,对方程进行增量化 、线性化、无因次化处理。,根据实例可知：系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。,系统微分方程的一般表达式为：,将已知输入信号代入微分方程中，求解微分方程即可求得系统输的出响应。,微分方程,r(t),c(t),三、线性微分方程式的求解,工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。,拉氏变换法求解微分方程的基本思路：,线性微分方程,时域t,拉氏变换,代数方程,复数域s,代数方程的解,求解,拉氏反变换,微分方程的解,
