1、欧氏几何的公理体系 和我国平面几何课本的历史演变,在大学数学课程 报告论坛上的发言2005.11,引子,最近一个时期，许多数学家和大学数学教师对中学的课程改革，特别是数学课程的改革非常关心。正如大家经常议论的，目前的中等教育，有很多不尽如人意的地方，比如愈演愈烈的高考竞争引发的应试教育，使我们的中学学生和中学老师不堪重负。这些现象大多属于社会问题，单纯靠学术和教学是解决不了的。中等教育牵动着整个社会，牵动着几乎所有家庭的希望和忧虑。也关系到学生进入大学后进一步的学习，关系到我们的大学，包括师范院校，应当为中学培养什么样的师资。另一方面，我们的许多大学老师，不仅是师范院校的老师，都已经不同程度地
2、介入了中学课本的编写工作，今后可能会更多地参与进去。最近我也参与了一些讨论。在这里仅就几何课本的一些思考向各位专家和老师做一个汇报。,（一）几何原本与几何基础,我们都知道，两千多年前，古希腊的数学家欧几里得写了一本著名的书原本。在古往今来的浩瀚书海中，原本用各国文字出版的印数仅次于圣经而居世界第二位。我国最早的中译本是在明朝末年由外国传教士利玛窦与我国科学家徐光启翻译的，1607年出版，书名定为几何原本。此后，我国出版的各种译本都沿袭这一名称叫做几何原本。几何原本列出了五条公理与五条公设，并在各章的开头给出了一系列定义，然后根据这些定义，公理和公设推导出了465个数学命题，（按照目前通行的希思
3、英译本Euclids Elements13卷计算, 该书的中译本于1990年出版），其系统之严谨，推理之严密，令人叹为观止。,几何原本的内容涉及初等数学的各个领域，包括代数，数论，平面几何，立体几何，甚至现代极限概念的雏形，但各部分的表述大都是从图形出发的。第一卷讲直线形，包括点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的平行与垂直，勾股定理等；第二卷讲代数恒等式，如两项和的平方，黄金分割；第三卷讨论圆、弦、切线等与圆有关的图形；第四卷是圆的内接和外切三角形，正方形，内接正多边形（5，10，15边）的作图；第五卷比例论，取材于欧多克索斯（Eudoxus）的公理法，使之适用于一切可公度和不可公度的量；
4、第六卷将比例论应用平面图形，研究相似形；第七八九卷是初等数论，其中给出了辗转相除法，,证明了素数有无穷多；第十卷篇幅最大，占全书的四分之一，主要讨论无理量，可以看作是现代极限概念的雏形；第十一卷讨论空间的直线与平面；第十二卷证明了圆面积的比等于直径的平方比，球体积的比等于直径的立方比，但没有给出比例常数；第十三卷详细研究了五种正多面体。欧几里得几何原本中的内容已在现代中等教育中分成了若干部分，分别归入平面几何，代数，三角，立体几何。初中平面几何的内容主要取材于几何原本的前六章，大致可以概括为点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的位置关系（包括平行，垂直），四边形，圆，相似形，求图形的面积这样
5、几个部分。,在全书的开头列出的5个公设和五个公理如下。 公理适用于数学的各个领域：等于同量的量彼此相等。等量加等量，其和相等。等量减等量，其差相等。彼此能重合的物体是全等的。整体大于部分。,公设适用于几何部分：由任意一点到任意（另）一点可作直线。 一条有限直线可以继续延长。 以任意点为心及任意距离可以画圆。 凡直角都相等。 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于而直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。,当然，按照现代数学的公理化体系去衡量，几何原本的公理体系不是很完备，比如对点、线、面等原始概念的定义不甚清晰，关联，顺序，运动，连续性等方面的公理还有待补充，个别公
6、理欠独立性。一些命题的证明基于公理4的几何直观，即：彼此能重合的物体是全等的。也就是说，一个平面图形可以不改变形状和大小从一个位置移动到另一个位置。这实际上是不加定义默认了平面的刚体运动。后者在现代数学中的严格定义是平面到自身的保持距离不变的一个映射。,1899年数学泰斗希尔伯特Hilbert 出版了他的著作几何基础，并于30多年间不断地修正和精炼，于1930年出了第七版。几何基础一书为欧几里得几何补充了完整的公理体系，给出了点、线、面、关联、顺序、合同这些原始概念的的准确定义。几何基础将公理体系分为下述五类。第一类叫做关联公理，由两点确定一条直线；一条直线上至少有两个点，至少有三个点不在一条
7、直线上，等8个公理组成。,第二类叫做顺序公理，由下述四个公理组成。1. 设A,B,C是一条直线上的三点，如果B在A,C之间，则B也在C, A之间。 2. 已知A, B是直线上两点，则直线上至少有一点 C, 使得B在A, C之间。3. 一条直线的三点中，至少有一点在其它两点之间。 4. 若直线a 不经过三角形ABC的顶点，且与线段AB相交，则a与AC或BC相交。,由此可以证明（见几何基础第一章第4节定理8）：平面上的任意一条直线将该平面上其余的点分为两个区域，一个区域的每一点A和另一区域的每一点B所确定的线段AB内，必含有a的一个点，而同一个区域的任意两点A和A所确定的线段AA内，不含有直线a的
8、点。有了这个定理，我们才可以定义平面上直线a的同侧或异侧。我们还可以根据顺序公理的前三条，定义直线a上的一点O将直线分为两侧：设A、A、O 和B是一直线a上的四点，若O不在点A, A 之间，称A, A 在O的同侧；若O在点A, B之间，称A, B在O的异侧。因而直线上点O同侧的点的集合，叫做始于O点的一条射线。,第三类是合同公理，（或全等公理）。 1. 已知直线a及 a上的线段 AB, 给出直线 a 及其上的点A并指定a上点A的一侧。则在a 上点A的该侧存在点B, 使AB合同于（或等于）AB. 记作AB=AB. 2. 若 A B = AB, 且AB=AB, 则AB=AB. 3. 关于两条线段的
9、相加。 4. 关于角的合同，（或相等）。 5. 若两个三角形ABC 和A BC 有下列合同式：AB=AB，AC=AC，A= A，则B= B，且C= C. 并以此为根据，通过几何基础第一章第5节定理28建立了平面的刚体运动。为几何原本中“彼此能够叠合的物体是全等的”这一事实奠定了公理化基础。,第四类中只有一个公理，即著名的平行公理：过直线外一点至多有一条直线与已知直线平行。与几何原本的叙述稍有不同，后者的表述是：两条直线被第三条直线所截，若某一侧同旁内角之和小于两个直角，则两直线在该侧相交。第五类是连续公理，包括阿基米德度量公理和直线的完备性两条。,（二）我国平面几何课本的历史演变,几何原本作为
10、教科书在西欧讲授有1000年以上的历史，我国最早的中译本是在400年前明朝末年出版。那个时代不太重视科学技术，包括当时称为算学的数学。虽然在明末清初，包括清朝康熙皇帝在内，出现过有一定数学水准的学者，但一般来讲，学习数学的人还是为数不多的。随着清朝末期英，美，法，德，日，俄等列强对我国的侵略，西方传教士大量进入中国。他们兴办了各类学堂，即新学，并编译了一些国外的数学教科书作为教材。与此同时，清朝各级政府和留洋归国的有识之士亦陆续设立了各种新学，较著名的中学有王氏育才书塾，即后来的上海南洋中学，北京五城中学堂，即后来的北京师大附中。这一时期可以看作是我国数学教育的启蒙阶段。,1902年清朝政府正
11、式颁布了钦定学堂章程，于1905年下诏“立停科举，以广学校”，建立了初小5年，高小4年，中学5年的洋学制，并正式开始在中学讲授平面几何。由于日本十九世纪后半叶的明治维新运动对我国触动很大，当时所用课本大都为日本教材的中译本。数学教育逐步走上了正轨。辛亥革命后，1912至1922年，民国政府教育部将学堂改为学校，算学改称数学，（这一称谓于三十年代在民间普及），学制改为初小4年，高小3年，中学4年，教育部审定教学用书，平面几何教材逐步开始使用一些英译本，如美国人温德华氏几何学，和我国自己编的课本，数学教育的水平已大大提高。,1922年，民国政府教育部制定了课程纲要，学制改为小学6年，初中3年，高中
12、3年，平面几何在初中三年级与高中一年级讲授。 高中课程为升入大学进行准备，初中纲要已包括了平面几何的基本内容。从三十年代初直到五十年代初，我国很多初中使用3S平面几何作为教材，作者为美国的Schultz-Sevenoak-Schuyler三位姓氏以S开头的数学工作者。这本书可以看作是几何原本中平面几何部分的改写本，结合了中学生的接受能力，体系严谨，语言平实。二战胜利后，经过修订又出了一套新3S平面几何，由上海中学余元庆老师等人翻译，一直沿用到50年代初。1949年中华人民共和国成立，我们开始学习苏联。人民教育出版社于五十年代初期出版了自己编写的平面几何课本，主编者是已调到人民教育出版社工作的余
13、元庆老师等，有多人参加编写。内容仍然类比着几何原本。,自六十年代初，我国的平面几何课本在内容的编排上有了一些 变动，使用了较多的公理，并将平行线部分调到三角形的前面来 讲。其中主要的公理有：两点确定一条直线。两点间直线段最短。过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。同位角相等，两直线平行。过直线外（或上）一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。三角形全等的判定: 边角边，角边角，边边边。,据有关专家介绍，3S平面几何强调了知识的从易到难,目前的几何课本则强调了图形的从简到繁。编写基础教育阶段的几何课本时，最基本的要求是：在保证前因后果的逻辑顺序的前提下，在论述难易上应由易到难，在图形结构上应由
14、简到繁。 遇有命题的论证难以被学生接受，便把这个命题不加证明，暂作公理使用，使得课本中的公理扩大范围。 我国六十年代初至今的初中平面几何课本就是这样处理的。这一阶段的课本充分注意到了知识的逻辑性，也注意到了初中生的接受能力。是自成体系的，逻辑清晰的。,课本逐年进行着改进和完善。1963，1964年发行的课本已经相当不错。据说到1966年又有一套更好的课本准备出版使用，却由于文化大革命的到来而夭折了。改革开放以后，我们的平面几何课本基本上沿用了六十年代的体系，有时加进视图，锐角三角函数（原高一年级三角课本的部分内容），直线和圆的方程（原高三年级解析几何的部分内容）。上世纪六十年代至本世纪初，公理
15、体系扩大化的程度以及视图等内容增添的程度随着政治形势的变化而时强时弱，其间有些课本亦编得相当精彩。据说每个定理的叙述，每个例题的选取，都是经过若干堂教学实践，反复推敲定稿的。,（三）几何原本证明点滴,平面几何这一学科的思维特点是：从少量几条公理出发，经过推理证明，得到一系列命题。在初中课程中，不必绝对地追求体系的完整，只要逻辑清晰，自圆其说即可。应当尽可能地将几何的直观性与逻辑性相结合，充分利用图形的直观功能，探索图形的性质。课程力求精简，使学生学习到平面几何的精髓。在这里我想略举几例，介绍欧几里得几何原本和希尔伯特几何基础的原始的证法。我个人认为，平面几何逻辑体系的选择属学术范畴，可以不作硬
16、性规定，以保证学术自由。比如三角形全等的判定“边角边”在欧式几何中是如下证明的。,已知： ABC 与 ABC 中，A=A，AB=AB, AC=AC.求证：B=B，C=C，且 BC=BC. 证明：将 A 与 A 叠合， 使 B 落在射线 AB 上，C 落在射线AC上。则 AB=AB，AC=AC 使得B 落在 B 上，C 落在 C 上。根据两点确定一条直线这一公设，BC 与BC叠合。故B=B，C=C，且 BC=BC. （见几何原本第一卷命题4）。,在希尔伯特的几何基础中，三角形全等的判定“边角边”基本上是作为公理给出来的。 合同公理的第5条中，只要再加上 AB=AB 就是三角形全等的判定“边角边”
17、，而 AB=AB 是可以证明的，且证明不难（见几何基础第一章第6节定理11）。如前所述，合同公理的第5条是用公理化方法建立平面刚体运动的重要依据（见几何基础第一章第5节定理28）。三角形全等的判定定理“边边边”在几何原本和几何基础中都是定理，我们可以用拼合法及等腰三角形的性质证明如下，而等腰三角形的两底角相等可以用三角形全等的判定“边角边”得到。下述证法与原书略有不同。,已知：ABC 与ABC中，AB=AB,BC=BC,AC=AC. 求证: ABCABC 证明:将BC与BC叠合，且使A与A位于BC的异侧，连接AA, AB=AB,1=1. AC=AC, 2=2, 1+2=1+2, 即BAC=BA
18、C，由“边角边”得ABCABC 。（当然更详细地还需考虑C 是直角或钝角的情况）,在几何原本和几何基础中，“同位角相等，两直线平行”都是定理，证明方法也十分类似。平行公理只告诉我们过直线外一点至多有一条直线与已知直线平行，并没有说这样的直线是不是真的有，而“同位角相等两直线平行”保证了这样的直线一定有。如果把这件事情当作基本事实承认下来，就得到大多数几何课本中对平行公理的表述：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。下述三角形的外角定理对平行线存在性的证明至关重要：三角形的外角大于任一不相邻的内角（见几何原本第一卷命题16，几何基础第一章第6节定理22）。,已知：ABC. 求证：A的外角A
19、BDA。 证明：如果结论不成立，则有ABD=A 或大于A . 若等号成立，延长 CB 到 D, 使BD=AC. 由4= 3，BA=AB,有BAD ABC（边角边），这时1= 2，故1+ 3= 2+ 4 , 即DAC= CBD=平角。过C,D点可以引两条直线，得到矛盾。如果ABD A，可以在 BAC 中作BAC = ABD 。 以上是希尔伯特的证法，欧几里得的证明没有用反证法，直观但不很严密。,定义：同一平面内不相交的两条直线叫平行线。判定定理：同位角相等，两直线平行（几何原本第一卷命题27， 28，几何基础第一章第7节定理30）。 已知：直线AB，CD与直线 l 分别相交于M,N两点，同位角1
20、=2. 求证：ABCD. 证明：如果AB,CD相交于点P，则在PMN中，外角12，与已知矛盾，故AB，CD不相交，ABCD。,性质定理：两直线平行，同位角相等。（几何原本第一卷命题29，几何基础第一章第7节定理30）。 已知:直线ABCD，求证: 同位角1=2. 证明：若12，过AB与 l 的交点作直线AB与l 交成1，使1=2，则AB 与AB不重合, 且ABCD，AB 和AB 同时平行于 CD, 与平行公理矛盾。,（四） 结束语,我国近百年来数学教育的一个突出特点是对双基的重视，也就是说，学生们对基础知识的把握比较准确，深入，对基本技能的运用比较熟练。我听过不少数学家和科技工作者谈起他们当年
21、学习平面几何的体会，认为平面几何的学习对于他们逻辑思维习惯的养成起了至关重要的作用。记得我六十年代读初中时，不少同学喜欢做平面几何题，有时还比着做，觉得挺好玩。那时学生们每天下午有一节或两节自习课，做完功课后没什么可干的，就做点儿题。四点钟放学在操场上玩到吃晚饭，晚饭后看看课外书什么的。那时候的数学课外书不多，更没有习题集。有一套数学家为中学生写的小册子给那一代喜欢数学的中学生留下了深刻的印象，,现在这套丛书在大陆和台湾分别再版了。其中有华罗庚的从杨辉三角谈起，从祖冲之的圆周率谈起，段学复的对称，吴文俊的力学在几何中的一些应用，姜伯驹的一笔划和邮递路线问题，龚昇的从刘徽割园谈起，史济怀的平均,
22、 再版时补充了冯克勤的费马猜想等等。老师也很少给我们出难题，作业只留书上的习题，书上打星号的题作为思考，不记分数。只有个别时候在黑板的角落里写几道更难一点的思考题，做不做两可。老师倒是十分在意我们的基本概念是不是清楚。比如有时上课铃一响，老师第一句话就说拿出一张纸来，写出三角形全等的判定定理“边边边”及其证明。十分钟后收上去，接着讲新的内容。谁要是不明白，可以在自习课时去找老师补课。,随着科学技术的飞速发展，数学在经济建设中发挥着越来要的作用。作为数学大厦基础的初等数学，作为初等数学重要组成部分的平面几何学，亦应得到更好的重视。这并不意味着平面几何的课时越多越好，知识点越多越好，而是说要把平面几何的逻辑体系简明扼要地讲精、讲透。按照项武义教授的话说，就是返璞归真，抓住平面几何的本质把它的逻辑体系说透。使学生们感受到欧氏几何内在的逻辑美，感受到推理证明的巨大力量。我相信在我们的中学老师、大学老师的共同努力下，一定能够发扬光大我国中小学数学教育的优良传统，把平面几何课本写得更好，为把我国的下一代培养成有数学素养的劳动者，当然也包括有数学素养的科技人才做出应有的贡献。就讲到这里，谢谢大家。,
