1、专题三：向量法求距离,平行线 间的距离,ab,异面直线 间的距离,a、b是异面直线, d是a与b的距离。,直线和 平面的距离,aa,d是 a与a的距离。,平行平 面间的距离,a,d是 a与的距离。,1.空间两点间距离,已知A(x1 , y1, z1), B(x2 , y2, z2),其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。,2. 点到平面的距离,已知AB为平面a的一条斜线段,求证:A到平面a的距离,B,证明：,设C点为A在平面内的射影。,BAC=,或 BAC, cosBAC=, A到平面a的距离,AC=AB cosBAC,=,=,3. 直线和它平行平面的距离,已知直线a
2、平面,求a到平面的距离,解：因a上的任意一点到平面的距离都相等。,所以直线和它平行平面的距离转化点到面的距离,在a和平面上分别任取一点A和B,直线a和它平行平面的距离为,例1 如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是 A1B1 、CD的中点,求点B到截面AEC1F的距离。,解：以D为原点,如图所示建立直角坐标系。,则 A(1,0,0),设面AEC1F的法向量为,=(1, ),=(1,2, 1 ),=(0,1, 0 ),所以B点到截面AEC1F的距离为：,3.异面直线间的距离,已知异面直线a、b,求a、b之间的距离。,解：过b上任一点P, 作 aa,不妨令 a 、b确定的
3、平面为,a ,异面直线a、b之间的距离,转化直线a和它平行的平面之间的距离,可在a上任一点A,b 上任一点B, a、b之间的距离,aa,a ,b ,所以在求两条异面直线的距离时,只需在两条异面直线a 、 b上,分别任取一点A、B。,设与a 、 b的方向向量都垂直的,异面直线间的距离, a、b之间的距离,例1 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1C1与 B1C的距离。,C,1,D,B,A,解：如图所示建立直角坐标系，则,A1(1,0,1),C1(0,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0).,=(1,1,0),=(1, 0 , 1),取x=1得,又,=(0,1,0)
4、,A1C1与B1C的距离,C1,D,4. 两个平行平面间的距离,A、B分别是a、上的任意点，,例2 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,(1)求证：平面A1BD平面CB1D1；(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离。,(1)证明：,矩形A1BCD1,A1BD1C,矩形DBB1D1,D1B1BD,A1B,BD平面A1BD,A1B BD=B,D1C,D1B1 平面CB1D1,平面A1BD平面CB1D1,(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离。,解：如图所示建立直角坐标系。,令平面A1BD的法向量为, D(0,0,0),A1 (a,0,a),D1(0,0,a).,B(a, a, 0),= (a,0,a),= (0,a, a),= a+az,=0,=a y+az,=0,=(a, 0 , 0),d=,
