1、1直线、平面平行与垂直的判定及其性质7. 在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是梯形，AD BC，ABC=90 ，平面 PAB平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD.（1）求证：PA平面 ABCD；（2）若平面 PAB平面 PCD l，问：直线 l 能否与平面 ABCD 平行？请说明理由.【解析】 （1）因为ABC=90 ，ADBC，所以 ADAB.而平面 PAB平面 ABCD，且平面 PAB平面 ABCD=AB,所以 AD平面 PAB, 所以 ADPA. 同理可得 ABPA. 由于 AB、AD 平面 ABCD，且 ABAD=A,所以 PA平面 ABCD. （2） （方法一）不平行
2、. 证明：假定直线 l平面 ABCD,由于 l平面 PCD，且平面 PCD平面 ABCD=CD, 所以 lCD. 同理可得 lAB, 所以 ABCD. 这与 AB 和 CD 是直角梯形 ABCD 的两腰不平行相矛盾,故假设错误，所以直线 l与平面 ABCD 不平行. （方法二）因为梯形 ABCD 中 ADBC,所以直线 AB 与直线 CD 相交，设 ABCD=T. 由 TCD，CD 平面 PCD 得 T平面 PCD.同理 T 平面 PAB. 即 T 为平面 PCD 与平面 PAB 的公共点，于是 PT 为平面 PCD 与平面 PAB 的交线.所以直线 l与平面 ABCD 不平行. DCPAB（
3、第 16 题）28. 如图，在三棱柱 中， ， 分别为线段1ABC11,ABCABC,EFG的中点，求证：11,ACB（1）平面 平面 ;1（2） 面 ；/EF1CB（3） 平面GA【解析】(1) 1BCA平面1平面B平面 平面 AC1B(2) ,1,EF1/EA1/B1/面 ； 1C面 1BC(3)连接 ，则四边形 EFGB 为平行四边形E,11111BFGACAB面 面ABCA1B1C1EFGABCA1B1C1EFG3平面 。 GF1ABC9. 在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 为菱形，OA平面 ABCD，E 为 OA 的中点，F 为 BC 的中点，求证：（1）平面 BDO平面 A
4、CO；（2）EF/平面 OCD.【解析】证明： 平面 ， 平面 ，所以 ， OABCDABCDOAB四边形 是菱形， ，又 ，BCDO 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 OBAC取 中点 ，连接 ,则 ，DME1,2MDE四边形 是菱形， ，ABC/, 为 的中点， ， F1,2FAC ,ME四边形 是平行四边形， ，C/EM又 平面 ， 平面 FODOCD 平面 EDABCFEOM410. 如图 l，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD，ABC=60 0，E 是 BC 的中点如图 2，将ABE沿 AE 折起，使二面角 BAEC 成直二面角，连结 BC，BD，F 是 CD 的中点，P
5、 是棱 BC 的中点(1)求证：AEBD； (2)求证：平面 PEF平面AECD； (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC?并说明理由 【解析】 （1）连接 ，取 中点BEA，连接 M,D在等腰梯形 中， ，AB=AD， ，E 是 BC 的中点C60ABC与 都是等边三角形 ABE ,MD平面 平面,DB平面 MAE（2）连接 交 于点 ，连接CFNP ，且 四边形 是平行四边形 是线段 的中点EMCFNCMAB CDE图 1ABCDEFP图 25BDACPQNMOACDBPMQ是线段 的中点 PBCPNBM平面 平面 平面MAEDAECDPEFPAECD平（3） 与平面 不垂直证明：假设
6、平面 ， 则BB平面 BAECDME， 平面 平面 ,ADAE，这与 矛盾60与平面 不垂直DEABC11. 如图，在四棱锥 中，底面 中为菱形， ， 为 的中点。ABCDPAB60BADA（1） 若 ，求证：平面 平面 ；QP（2） 点 在线段 上， ，试确定实数 的值，使得 平Mtt面 。QB【解析】 （1）连 ， 四边形 菱形 ，DABCADB60为 正 三 角 形中 点为Q为 的中点， PDAAD又 BQ，平 面P平 面ADP平 面平 面6（2）当 时，使得 ，连接 交 于 ，交 于 ，则 为 的中点，又31tPAMQB平ACNBDOB为 边 上中线， 为正三角形 的中心，令菱形 的边
7、长为 ，则BQDNACa， 。aAN3C PMB平 PAC平 面MNQB平 面平 面 即： 。31aACNP31t12. 如图，四边形 ABCD 是菱形，PA平面 ABCD，M 为 PA 的中点.（）求证：PC平面 BDM；（）若 PAAC 2，BD 3，求直线 BM 与平面 PAC 所成的角 .【解析】 （）设 AC 与 BD 的交点为 O，连结 OM. 因为四边形 ABCD 是菱形，则 O 为 AC 中点.又 M 为 PA 的中点，所以 OMPC. 因为 OM 在平面 BDM 内，所以 PC平面 BDM. （）因为四边形 ABCD 是菱形，则 BDAC.又 PA平面 ABCD，则 PABD
8、.所以 BD平面 PAC.7所以BMO 是直线 BM 与平面 PAC 所成的角. 因为 PA平面 ABCD，所以 PAAC. 在 RtPAC 中，因为 PAAC 2，则 PC2.又点 M 与点 O 分别是 PA 与 AC 的中点，则 MO 21PC1. 又 BO 21BD 3，在 RtBOM 中，tanBMO 3BOM，所以BMO60. 故直线 BM 与平面 PAC 所成的角是 60. 13. 一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为 a的正方形，左视图是直角边长为 a的等腰三角形）如图所示，其中 M、 N分别是 AB、 C的中点， G是 DF上的一动点.（）求证： ;CG（）求三棱锥
9、 FME的体积；（）当 FD时，证明 /平面 .主视图 侧视图俯视图aaMANBCDG8【解析】 （）由三视图可知，多面体是直三棱柱，两底面是直角边长为 a的等腰直角三角形，侧面ABCD, FE是边长为 a的正方形. 连结 N, 因为 ,CDFA, 所以， FD面 ABC F又 , 所以， 面 GN, 面 所以 GA （） EFMCDBEFAMCDEBVV1133B MCSSS ()222aaa316. 另解：313EFMCEFCEFVADSa（）连结 D交 于 Q,连结 G因为 ,G分别是 ,FAB的中点，所以 Q/12CD，AM/12C,所以， /GQ, M是平行四边形Q, 面 F, 面 C 所以， AG/平面 FMC. 14. 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P 为侧棱 SD 上的点。（1）求证：ACSD；MANBCDEGQ9（2）若 SD平面 PAC，在 SC 上取一点 E，使 ，连接 BE，求证：BE平面 PAC.【解析】 （1）连 BD，设 AC 交 BD 于 O，由题意 。在正方形 ABCD 中， ，所以 ,得 .（2）由 ,知 ,在等腰三角形 SCD 中，可解得 . 在 上取一点 ,使 ,所以 ， 连 BN，在 中知 ，又由于 ,故平面 ，得 .O
