1、1. 问题摘要 人体体重随时间的变化与人体每天的摄入能量和所消耗的能量来有关 。 由自然界的基本定律 能量守恒定律，这三者之间必然存在着某种平衡关系。因此 我们所运用的方法是通过机理模型来列出微分方程， 建立平衡关系， 并用 Matlab 来求出方程的数值解和解析解，再带入 实际的 具体数据来验证 和评论 所得结果的准确性。 2. 基本假设 1. 人的体重是连续变化的。 2. 脂肪形式贮藏的热量是 100%，并且以 100%的比例转化为人的体重。 3. 由已有的研究数据合理的认为 1kg 脂肪含热量 10000 cal. 4. 人每天的运动量不变 。 3. 参数变量 1. 成年人平均每日摄人含
2、 A 卡热量的食物 2. 每天 用于新陈代谢的能量为 P 卡 3. 在健身训练中平均每人每天每 1kg 消耗 a cal/kg 的热量 4. 人的体重 W kg 5. 每日净摄入 量是 T 卡 6. 时间 t 7. 1kg 脂肪含热量 为 r cal. 由所给数据可知： A=2500； P=1200； a=16； r=10000 每人每天健身训练消耗的能量为 aW卡 4. 建模分析 当人进入成年后，人体发育已趋于稳定，因此在这阶段，生活有规律的成年的体重一般保持不变。随着年龄的增长，人的运动量会逐渐减少，若饮食习惯不变那么原来用于运动消耗的热量将逐渐转换成脂肪，存积于体内。 由于随着年龄的增长
3、 , 人体各器官的功能会有所下降 , 储备适当的脂肪可以缓解生活中的不测 , 因此人到了一定的年龄 , 体重会有所增加 , 这是人所共有的正常的生理现象。为了能进行理论分析 , 应该建立数学模型来模拟和研究这种生理规律。 那么有能量守恒定理可知： 摄入总能量 = 新陈代谢耗 量 + 运 动消耗 量 +净摄 入能量， 即 A=aW+P+T 连续型模型 : 在 ,t t t的时间段（单位：天）内，根据平衡原理： = - - 所以： ( ) ( ) ( )r W t t W t A t P t a W t t （ 4.1） 上式左右除以 t 后令 t 0 得到 每 日 人体 体 重变化的 微 分方程
4、 ： () ( ( ) )d W tr A P a W tdt （ 4.2） 积 分 后的通 解 是： () a trAPW t C ea （ 4.3） 但还要根据初始 条件将 系数求出后 才 可获得可进行估 算 的数学 模 型 。 ,设某人 初始时间 t=0 时 的体重为 W0；代入上式可得： 0APCWa0( ) ( )a trA P A PW t W eaa （ 4.4） 摄入总能量 A新陈代谢耗量 P净摄入量T运动消耗量 aw在时间段 ,t t t内体重 的 增 重 W 所 需 的 能 量 ( ) ( )r W t t W t 在时间段,t t t内 摄入总能量 A t 在时间段,t
5、t t内 新陈代谢耗量 P t 在时间段,t t t内 摄运动消耗量 aW t 所以最终的 数值 模型： 0.00160( ) 8 1 . 2 5 ( 8 1 . 2 5 ) tW t W e （ 4.5） 离散型 假定在第 k 天到 k+1 天之间该人的体重 保持 W(k)而 未发生 变化 ，则（ 4.2）式变为： ( ) ( ( ) ) , , 1 )r d W t A P a W k d t t k k 从 k 到 k+1 天积分得 ( 1 ) ( 1 ) ( ) , 0 , 1 , 2 ,A P aW k W k krr ( 1 ) ( 1 ) ( ) , 0 , 1 , 2 ,A P
6、 a A PW k W k ka r a 1( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) , 0 , 1 , 2 ,kA P a A PW k W ka r a 运用模型对实际问题求解并验证 ： 由（ 4.5）式可知，只要知道 某人 的 t=0 时刻的 体重 W0, 在前面所给的假设条件下就可确定该人日后的体重 W 随时间变化的关系式 。 如下图所示 W 与 t 和初始体重 W0 的关系图 图表 1 连续型 图表 2 离散型 结论：从模型估测可以看出 ，一百天内 该人 的体重变化的趋势随着初始体重的不同而不同。在 W081.25kg时，该人体重在 100天内均会持续减少，其 原因 很 明显是由于 日净摄
7、取量 小于 零且 脂肪分解以供 日正常的新陈代谢和体育运动 的耗能量 ,致使体重逐渐 减轻 。 而在 W0=81.25kg时，该人日均净摄入量等于零。 5. 结论分析 本 文 依据能 量平 衡 的原理 , 建 造了 一 个 模拟 人 体体 重 与 摄人 热 量 关 系的基 本模型 , 由 于没有经过科学的 医 学实验 , 只 是按统 计 值作 了 必要的假设 , 而且为了简化问 题 , 在假 设 中忽略 了较多的 因 素 , 例如与散热有关的人 体 重量 , 体积 和 表面积的关系 , 季节的影响 以 及 人 的精 神和内分 泌的影响 等等 , 所 以 它不是一个 精 确和实用的 模型 ,所拟
8、定的假设条件过强，建立的平衡关系也过于简单。 但 它 采 用 数 学的方法 分析 了热量 与体 重的 关 系 , 如能辅 以医 学实验的手段对模 型 加 以 完善 , 完全可 以 构造一 个 准确的 模型 来 研 究 人体体 重与摄人热量之间的规律总之 , 文中介绍的 模型 无疑给 关 心 体 重的 人 提 供 了有益的参考。 。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 0 060657075808590951 0 01 0 5X : 1 0 0Y : 1 0 1 . 5T im e / d a yweightX : 1 0 0Y : 9 7 . 2X : 1 0 0Y : 8 8 . 6 9X : 1 0 0Y : 9 2 . 9 5X : 1 0 0Y : 8 4 . 4 4X : 1 0 0Y : 8 0 . 1 9X : 1 0 0Y : 7 5 . 9 3X : 1 0 0Y : 7 1 . 6 8X : 1 0 0Y : 6 3 . 1 7X : 1 0 0Y : 6 7 . 4 3
