1、1平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。例 1如图，C 是线段 AB 上一点，ACD 和BCE 是等边三角形。求证：AE=BD。证明 ACB 和BCE 都是等边三角形ACD=60，BCE=60，DCE=60ACE=ACDDCE=120BCD=BCEDCE=120AC=CD，CE=CBACEDCB（SA
2、S） AE=DB例 2如图，已知ABC 中，AB=AC ，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，且BE=CF，EF 与 BC 交于 D，求证：ED=DF。证明：过点 E 作 EG/AF 交 BC 于点 GEGB=ACB，EGD=FCDAB=ACB=ACB，B=FGB，BE=GEBE=CF，GE=CF在EGD 和 FCD 中，2EGD=FCD，EDG=FDC，GE=CF EGDFCD（AAS） ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。例 1如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E
3、是 AD 上的一点，且BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F。求证：AF=EF。证明：延长 AD 到 G，使 DG=AD，连结 BG。AD=GD，ADC= GDB，CD=BDADCGDBAC=GB，FAE= BGEBE=ACBE=BG，BGE=BEGFAE=BGE=BEG= AEFAE=EF例 2如图，已知ABC 中，AB=AC ，DFBC 于 F，DF 与 AC 交于 E，与 BA 的延长线交于 D，求证：AD=AE。证明：DFBCDFB=EFC=90，D=90B ，CEF=90 CAB=AC，B= CD= CEFCEF=AEDD= AED3AD=AE三、利用平行四边形的性质证明线段相等如
4、果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。例 1如图，ABC 中，C=90，A=30，分别以 AB、AC 为边在ABC 的外侧作正ABE 和正ACD ，DE 与 AB 交于 F，求证：EF=FD。证明：过 D 作 DOAC 交 AB 于点 OOD 垂直平分 AC，ACB=90BCACO 点必为 AB 的中点，连结 EO，则 EOABCAB=30，BAE=CAD=60ADAB，AEACOE/AD，AE/OD四边形 ODAE 为平行四边形EF=FD例 2如图，AD 是ABC 的中线，过 DC 上任意一点 F 作 EG/AB，与 AC 和 AD 的延长线分别交于 G 和 E，
5、FH/AC ，交 AB 于点 H。求证：HG=BE。证明：延长 AD 到 A，使 DA=AD又BD=CD4四边形 BACA是平行四边形BA=AC由题设可知 HFGA 也是平行四边形HF=AGHF/AC， ACHFB又 ，HF=AG ， BA=ACGEBH=EG四边形 BEGH 是平行四边形HG=BE四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。例 1如图，以ABC 的边 AB、AC 为斜边向外作直角三角形 ABD 和 ACE，且使ABD=ACE ，M 是 BC 的中点。证明：DM=EM。证明：延长 BD 至 F，使 DF=BD。延长 CE 到 G，使 EG
6、=CE，连结 AF、FC，连结 AG、BGBD=FD，ADB= ADF=90，AD=ADRtABDRtAFDBAD=FAD同理可得：CAE=GAEABD=ACEFAB=GAC，故FAC=GAB在ABG 和AFC 中，AB=AF，GAB= CAF ，AG=ACABGAFC5BG=FC又DF=DB，EC=EG，M 是 BC 的中点DM= =EM，即 DM=EMBG21FC例 2如图，ABC 中，C 为直角，A=30，分别以 AB、AC 为边在ABC 的外侧作正ABE 与正ACD ，DE 与 AB 交于 F。求证：EF=FD。证明：过 D 作 DG/AB 交 EA 的延长线于 G，可得DAG=30B
7、AD=3060=90ADG=90DAG=30= CAB ，AD=ACRtAGDRtABCAG=AB， AG=AEDG/ABEF/FD五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。例如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点， EC 和 DF 相交于 G，连接 AG，求证：AG=AD 。6证明：作 DA、CE 的延长线交于 HABCD 是正方形，E 是 AB 的中点AE=BE，AEH=BECBEC=EAH=90AEH BEC（ASA）AH=BC，AD=AH又F 是 BC 的中点RtDFCRtCEBDFC=CEBGCF GFC= ECBCEB=90CGF=90DGH=CGF=90DGH 是 RtAD=AHAG= =ADDH21
