1、2014 年第 10 期 （ 上 ） 中学数学研究 文 【 1 】 很 值 得 一 读 ， 原 文 作 者 的 探 究 思 想 与 技 巧 方 法 启 迪 我 们 的 思 维 ， 作 者 的 严 格 推 理 与 运 算 毅 力 震 撼 我 们 的 心 灵 。 他 由 2012 年 北 京 卷 解 析 几 何 题 探 究 出 5 个 优 美 的 结 论 ， 而 且 5 个 结 论 的 证 明 过 程 使 用 高 中 解 析 几 何 的 初 等 方 法 。 阅 读 再 三 ， 心 潮 澎 拜 。 为 了 我 们 更 系 统 理 解 和 应 用 这 类 知 识 ， 结 合 以 前 看 到 的 涉 及
2、 这 类 问 题 的 研 究 文 章 【 2 】 以 及 个 人 的一些心得， 本人不揣浅陋将此类问题归纳如下 。 1 、 圆锥曲线的极点与极线定义及统一定理 圆 锥 曲 线 （ 也 称 为 二 次 曲 线 ） 有 许 多 奇 妙 的 性 质 ， 其 中 极 点 与 极 线 就 是 最 具 代 表 性 的 特 点 之 一 。 为 了 方 便 掌 握 ， 我 们 从方程角度给出定义 . 定 义 ： 对 于 圆 锥 曲 线 C ： Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F= 0 ， 已 知 点 P （ x 0 ,y 0 ） ( 非 中 心 ) 及 直 线 l: A x 0 x + B x 0 y
3、 + y 0 x 2 + C y 0 y + D x 0 + x 2 + E y 0 + y 2 + F = 0 ， 我 们 称 点 P （ x 0 ,y 0 ） 为 直 线 l 关 于 圆 锥 曲 线 C 的 极 点 ， 称 直 线 l 为 点 P 关于圆锥曲线 C 的极线 【 2 】 。 从 形 式 上 看 ， 直 线 l 的 方 程 是 在 圆 锥 曲 线 方 程 中 按 照 以 下 置 换 ： x 2 x 0 x ， y 2 y 0 y ， xy x 0 y + y 0 x 2 ， x x 0 + x 2 ， y y 0 + y 2 而得到 。 特 例 ： 以 圆 锥 曲 线 焦 点
4、为 极 点 的 极 线 是 该 焦 点 所 对 应 的 准线 反之亦真 定 理 ： 一 个 四 边 形 的 四 个 顶 点 在 一 条 二 阶 曲 线 上 ， 则 这 个 四 边 形 的 对 边 延 长 线 的 交 点 （ 假 设 四 边 形 对 边 不 平 行 ） 及 其 对 角 线 交 点 的 组 成 的 三 角 形 的 任 一 顶 点 是 其 对 边 的 极点 【 3 】 。 证明见参考资料 【 3 】 。 （ 如 图 所 示 ， 点 Q 的 极 线 是 直 线 PR ， 点 P 的 极 线 是 直 线 QR 。 ） 2 、 极点与极线的具体性质 在上面的定理中， 包含了许多内容， 以下
5、具体列出： （ 1 ） 过 点 P 作 圆 锥 曲 线 的 割 线 ， 交 点 为 M 、 N ， 在 直 线 PN 上有一点 H 满足 | H M | | H N | = | P M | | P N | , 则点 H 在点 P 的极线上 4 。 如图 1， 点 H 就是点 R 。 （ 1 ） ， 过 点 P 作 动 直 线 与 圆 锥 曲 线 交 于 M 、 N ， 在 该 直 线 上 有 一 点 H 满 足 | H M | | H N | = | P M | | P N | , 则 点 H 的 轨 迹 是 点 P 的 极 线 的 一 段 。 （ 2 ） 过 点 P 作 直 线 l 与 圆
6、锥 曲 线 交 于 M 、 N ， 与 对 应 极 线 交 圆锥曲线的极点与极线的重要结论 华南师范大学附属中学 （ 广州， 510630 ） 罗碎海 转 化 为 函 数 y = f ( x ) = e x - m x 2 （ x 0 ） 的 零 点 个 数 解 法 2 将 y = f ( x ) = e x - m x 2 转 化 为 y = f ( x ) = ( e x 2 + m x ) ( e x 2 - m x ) ， 进 而 转 化 为 函 数 y = g ( x ) = e x 2 - m x （ x 0 ） 的 零 点 个 数 ， 避 免 了 求 二 阶 导 数 ， 从 而
7、化 难 为 易 ， 起 到 了 事 半 功 倍 之 效 解 法 3 、 解 法 4 将 两 曲 线 的 交 点 个 数 转 化 为 直 线 与 曲 线 的 交 点 个 数 ， 解 法 5 通 过 分 离 参 数 将 f ( x ) = 0 转 化 为 m = g ( x ) ， 进 而 将 函 数 的 零 点 个 数 转 化 为 直 线 y = m 与 曲 线 y = g ( x ) 的 交 点 个 数 ， 解 法 1 至 解 法 6 均 是 解 决 参 数 问 题 的 通 性 、 通 法 ， 其 中 解 法 1 、 解 法 2 需 分 类 讨 论 ， 解 法 3 、 解 法 4 要 转 化
8、为 直 线 与 曲 线 的 位 置 关 系 ， 再 求 出 直 线 与 曲 线 相 切 时 的 参 数 值 ， 解 法 5 、 解 法 6 利 用 分离参数思想 ， 避免了对参数的讨论 推 广 ： 设 x 0 ， 0 ， a 1 ， 且 , a 为 常 数 ， 讨 论 曲 线 y = a x 与曲线 y = m x ( m 0 ) 公共点个数 分 析 ： 当 x 0 时 ， 曲 线 y = a x 与 y = m x ( m 0 ) 的 公 共 点 个 数 等 价 于 方 程 a x = m x 在 ( 0 , + ) 上 的 根 的 个 数 ， 等 价 于 为 方程 a x = m x 在
9、( 0 , + ) 上的根的个数 如 图 6， 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 y = a x 与 y = m x 的 图 象 ， 当 直 线 y = m x 与 曲 线 y = e x 相 切 时 ， 设 切 点 为 ( x 0 , a x 0 ) ， 则 切 线 方 程 为 y - a x 0 = 1 a x 0 ( l n a ) ( x - x 0 ) ， 即 y = 1 a x 0 ( l n a ) x + ( 1 - x 0 l n a ) a x 0 ， ( 1 - x 0 l n a ) x 0 = 0 ， 即 x 0 = l n a ， 从 而 m = 1 a x 0
10、( l n a ) = l n a a 1 1 n a ， m = ( l n a a 1 l n a ) ， 当 0 0 ) 无 公 共 点 ； 当 m = ( l n a a 1 l n a ) 时 ， 曲 线 y = a x 与 y = m x ( m 0 ) 有 一 个 公 共 点 ； 当 m ( l n a a 1 l n a ) 时 ， 曲 线 y = a x 与 y = m x ( m 0 ) 有两个公共点 图 1 402014 年第 10 期 （ 上 ） 中学数学研究 图 2 图 3 于点 R ， 则 1 | P M | + 1 | P N | = 2 | P R | 【 2
11、】 . （ 2 ） ， 过 点 P 作 动 直 线 与 圆 锥 曲 线 交 于 M 、 N ， 在 该 直 线 上 有 一 点 R 满 足 1 | P M | + 1 | P N | = 2 | P R | , 则 点 R 的轨迹是点 P 的极线的一段 。 （ 3 ） 圆 锥 曲 线 上 一 点 P （ x 0 ,y 0 ） 处 的 切 线 方 程 为 。 即 若 极 点 在 圆 锥 曲 线 上 ， 则 极 线 为 过 该 点 的 切 线 5 。 （ 如图 2 ） （ 4 ） 点 P(x 0 , y 0 ) 为 圆 锥 曲 线 外 一 点 ， 过 P 作 该 圆 锥 曲 线 的 两 条 切 线
12、 ， 设 切 点 为 A 、 B ， 则 过 切 点 A 、 B 的 直线方程为极线 5 . （ 如图 3 ） （ 5 ） 过 点 P(x 0 , y 0 ) 作 一 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 ， 过 交 点 作 圆 锥 曲 线 的 切 线 ， 两 切 线 交 点 的 轨 迹 方 程 为 直 线 ； 过 直 线 上 任 一 点 作 圆 锥 曲 线 两 切 线 （ 存 在 的 话 ） ， 切点弦交于点 P(x 0 , y 0 ) 5 。 （ 如图 4 ） （ 6 ） 如 图 1， 过 P(x 0 , y 0 ) 作 圆 锥 曲 线 的 两 条 割 线 ， 设 交 点 分 别 为 A 、
13、 B ， C 、 D ， 则 直 线 AC 与 BD 的 交 点 R 在 极 线 上 ， 且 直 线 AD 与 BC 的 交 点 Q 也 在 极 线 上 ， 由 此 可 知 ， 直 线 RQ 就 是 点 P 的 极线. 就是定理的表述， 证明见 【 3 】 。 由 以 上 结 论 ， 可 得 过 圆 锥 曲 线 外一点作圆锥曲线切线的方法 ： （ 7 ） 过 P(x 0 , y 0 ) 作 圆 锥 曲 线 的 两 条 割 线 PAB 、 PCD ， 设 交 点 分 别 为 A 、 B ， C 、 D ， 若 直 线 AC 与 BD 的 交 点 为 Q ， 直 线 AD 与 BC 的 交 点 为
14、 R ， 连 R 、 Q 的 直 线 与 圆 锥 曲 线 交 于 T 、 S ， 连 PT 、 PS ， 则 直 线 PT 、 PS 为 圆 锥 曲 线 的 切 线 ， T 、 S 为 切 点 。 （ 如 图 5 ） 由定理及性质 （ 4 ） 立即证明。 （ 8 ） 对 于 有 心 二 次 曲 线 C ， 若 点 P 是 平 面 内 的 一 点 （ 非 原 点 ， 非 渐 近 线 上 的 点 ） ， 点 P 的 极 线 为 l ， 若 OP （ O 为 坐 标 原 点 ） 与 曲 线 C 与 极 线 依 次交于 R 、 Q （ 如图 6 ） ， 则 |OP| |OQ|=|OR| 2 。 【 6
15、 】 3 、 极点与极线的应用 许 多 高 考 题 是 以 极 点 与 极 线 的 背 景 编 制 的 ， 只 是 未 出 现 极 点 极 线 的 名 词 。 有 了 上 面 的 知 识 ， 对 待 这 类 高 考 题 如 掌 上 观纹 ， 一眼可看出答案， 剩下的问题只需用常规书写而已 。 例 1 （ 2012 北 京 卷 19 ） 、 已 知 曲 线 C : ( 5 - m ) x 2 + ( m - 2 ) y 2 = 8 ( m R ) （ 1 ） 若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 求 m 的取值范围 ； （ 2 ） 设 m = 4 ， 曲 线 C 与 y 轴 的 交 点 为 A
16、 , B （ 点 A 位 于 点 B 的 上 方 ） ， 直 线 y = k x + 4 与 曲 线 C 交 于 不 同 的 两 点 M , N ， 直 线 y = 1 与直线 B M 交于点 G 求证： A , G , N 三点共线 分 析 （ 2 ） ： m= 4 时 的 椭 圆 方 程 为 x 2 + 2y 2 = 8 ， 直 线 y=kx + 4 过 定 点 （ 0, 4 ） ， 而 点 （ 0, 4 ） 关 于 椭 圆 x 2 + 2y 2 = 8 的 极 线 为 y= 1 ， 所 以 ， A 、 G 、 N 三点自然共线 。 例 2 （ 2010 江 苏 卷 18 ） 、 在 平
17、面 直 角 坐 标 系 x o y 中 ， 如 图 ， 已 知 椭 圆 x 2 9 + y 2 5 = 1 的 左 、 右 顶 点 为 A 、 B ， 右 焦 点 为 F 。 设 过 点 T ( t , m ) 的 直 线 TA 、 TB 与椭圆分别交于点 M ( x 1 , y 1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ， 其中 m 0 , y 1 0 , y 2 0 . （ 1 ） 设动点 P 满足 P F 2 - P B 2 = 4 , 求点 P 的轨迹； （ 2 ） 设 x 1 = - 2 , x 2 = - 1 3 ， 求点 T 的坐标； （ 3 ） 设 t = 9 , 求 证 ：
18、 直 线 MN 必 过 x 轴 上 的 一 定 点 （ 其 坐 标 与 m 无关 ） 。 分 析 （ 3 ） ： 因 为 点 （ 9 ， m ） 关 于 椭 圆 的 极 线 为 x + y= 1, 此 极 线 与 x 轴交于点 （ 1 , 0 ） ， 这就是 MN 所过的定点 。 如 果 我 们 从 更 高 的 层 次 看 我 们 所 遇 到 的 数 学 问 题 ， 往 往 会 看 透 其 本 质 ， 有 一 种 “ 原 来 一 直 在 黑 暗 中 摸 索 ” 的 感 觉 ， 真 希望我们真正能感受这光明的数学世界 。 参考文献 ： 1 杨 华 . 2012 年 高 考 北 京 卷 解 析 几
19、 何 题 的 探 究 J. 中 学 数 学 研 究 . 2014. （ 6 ） ( 上). 2 邹书生 圆锥曲线的极点与极线的一组性质 J 中学数学教学 2010. （ 4 ） 3 梅 向 明 高 等 几 何 （ 第 二 版 ） 高 等 教 育 出 版 社 2000 年 5 月 4 梅 向 明 高 等 几 何 （ 第 二 版 ） 高 等 教 育 出 版 社 2000 年 5 月 5 罗碎海 方程 x 0 x+y 0 y=r 2 与 x 2 +y 2 =r 2 几何背景的探讨 J 中学数学教 学参考 2009 ( 3) 6 姜 坤 崇 圆 锥 曲 线 关 于 极 点 极 线 的 一 个 统 一 性 质 J 中 学 数 学 教 学 2010 . ( 4) 图 7 图 4 图 5 图 6 41
