1、子空间的概念,1.子空间的定义设V是数域F上的线性空间, S为V的一个子集，如果S关于V 的向量加法和数量乘法也构成线性空间，则称S为V 的一线性子空间，简称为子空间。,2、线性子空间的判定,定理：设V为数域F上的线性空间，S为V的一个子集，则S为V的一个子空间的充分必要条件是：（1）对任意向量 都有（2）对任意向量 和任意数 都有 。即：V中两运算关于S是封闭的,2、线性子空间的判定,定理：设V为数域F上的线性空间，S为V的一个子集，则S为V 的一个子空间的充分必要条件是，对任意向量 和任意数 都有,证明:要证明S也为数域F上的线性空间,即证S中的向量满足线性空间定义中的八条规则. 由于 ，
2、规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的.下证3）、4）成立.若 ,或者 ,显然成立.由数乘运算封闭，有 即S中负元素就是它在V中的负元素，4）成立.由加法封闭有 ,即S中的零元就是V中的零元，3）成立。,以及线性空间 本身。,例 1 对于任意一个有限维线性空间 ，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间,例 4 设 为 维线性空间 中的 一组向量，那么非空集合,构成 的一个子空间(显然)，称此空间为由 张成的线性子空间。记作,例 2 设,例 3 设,则V是C上的线性空间，我们称其为矩阵A的列空间 或值空间并记为：R(A),即线性方程组 的解集，则V是C上的线性 空间，我们称其为矩阵A的零空间，并记为：N(A),例 5 设,证明,由定义,设,对于任意的 有,显然,定理： 设 V为数域F的线性空间，,令,定义 设,则称V为,的直和空间，记为,又称V有直和分解式 ，此时，称,为V的互补子空间，记,且,例 17 在 空间中，考虑子集：则不难验证， 均为 的子空间，试求,例 18,的直和空间。,
