1、1求点到平面距离的基本方法北京农大附中 闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例 （2005 年福建高考题）如图 1，直二面角 中，四边形EABD是边长为 的正方形， ， 为 上的点，且 平面 .ABCD2EBAFCFC()求证： 平面 ；EC()求二面角 的大小；B()求点 到平面 的距离. FED CBA图 1()、()解略，()解如下：一、直接法利用两个平面垂直,直接作出点到平面的距离. 如图 2, , ,A, ,则 . 为点 到平面 的距离.llAMAM
2、图 22解：如图 3，过点 作 ，连结 ，则平面 平面 ，AGECGD,ADBCE平面 平面 ，BCE平面 平面 ，D作 垂足为 ，则 平面 .,AGHDHACE 是点 到平面 的距离.E在 中，DRt.326AG A BCDEFGH图 3二、平行线法如图 4, , , 为 上任意一点, , ,则 .lABl AMBNBNAM点 到平面 的距离转化为平行于平面 的直线 到平面 的距离，再转化为直l线 上任意一点 到平面 的距离.l图 4解：如图 5，过点 作 ，连结 ，则 平面 ，DMAECDMACE点 到平面 的距离转化为直线 到平面 的距离，再转化为点ACE到平面 的距离.M作 垂足为 ，
3、,N3平面 平面 ，CEMA 平面 ，N 是点 到平面 的距离.E在 中，CERt.326C NMA BCDEF图 5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似,转化为求斜线上的点到平面的距离. 如图6、7, ， , , ,若 ,则 .点OllBAMBNtOABNtM到平面 的距离转化为求直线 上的点 到平面 的距离.A图 6 图 7解：如图 8， 与 的交点为 ，即 平面 ，BDACQBDQACE ，Q点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等.E平面 平面 ， 平面 ，BABFAE 是点 到平面 的距离.FC4在 中，BCERt.326CEBF QA BCDEF图 8四、线面角法如图 9， 为平
4、面 的一条斜线， ， ， 与 所成的角为OPOPAlP， 到平面 的距离为 ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有Ad.sinld经过 与 垂直的平面与 相交，交线与 所成的锐角就是 与 所O成的角 ，这里并不强求要作出 在 上的射影 ，连结 得 .AB图 9解：如图 10， 平面 ，BFACE平面 平面 ，D为 与平面 所成的角为 ,则点 到平面 的距离BQDACE.sind由()知二面角 的正弦值为 ，得 .EAC3636sin 到平面 的距离 .D2d5QFED CBA图 10五、二面角法如图 11， ， 、 所成二面角的大小为 ， ， ，lAlB，点 到平面 的距离 ，则有 . 也就是
5、二面角的大小，aABdAOsina而不强求作出经过 的二面角的平面角.B图 11解：如图 12，平面 平面 ， 平面 ，ACDEACDQAC，设二面角 的大小为 ，则点 到平面 的距离ACDQE.sind由()知二面角 的正弦值为 ，得 .EACB3636sin 到平面 的距离 .D2d6A BCDEFQ图 12六、体积法解：如图 13，过点 作 交 于点 , .EABOO1E二面角 为直二面角，ABD 平面 .EOC设 到平面 的距离为 ，h,ACDEADV .3131EOShSACDACE平面 ，B . .3262121ECAOh点 到平面 的距离为D. OFED CBA7图 13七、向量
6、法解：如图 14，以线段 的中点为原点 ， 所在直线为 轴， 所在ABOExAB直线为 轴，过 点平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，yODz yzO平面 ， 平面 ， AECEC ，B在 的中点，ABRt中中,2, ,1OE ).,10(),0(CA2),设平面 的一个法向量为 ，E),(zyxn则 .02,0zyxnAC中解得 .xzy令 得 是平面 的一个法向量.,1)1,(nACEAD/ 轴， ， ，z2D)2,0(点 D 到平面 的距离.3|,cos| nAAd zyxOFED CBA8图 14练习：如图 15，已知 是边长为 4 的正方形， 、 分别是 、 的中ABCDEFABD点， 垂直于 所在平面，且 ，求点 到平面 的距离.(答案：G2GG)12GFED CBA
