1、1极值点偏移 1-4-第 2 招-含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就12,x会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.例 1. 已知函数 有两个不同的零点 ，求证： .xaef)( 12,x21x不妨设 ，记 ，则 ，12x12tx0,1te因此只要证明： ，te )(t再次换元令 ，即证xtxt ln,1 ),1(0)(2l x构造新函数 ，2()()lF1F求导 ，得 在 上递增， 2 240(1)()xx)(x),1所以 ，因此原不等式 获证.0)(12
2、2例 2. 已知函数 ， 为常数，若函数 有两个零点 ，证明：()lnfxa()fx12,x21.xe法二：利用参数 作为媒介，换元后构造新函数：a不妨设 ，12x ， ，2ln0,ln0x12121212ln(),ln()xaxxa ，欲证明 ，即证 .12xa21e12l ，即证 ，1212ln()x12ax原命题等价于证明 ，即证： ，令 ，构造1212ln122()lnx12,()xtt，此问题等价转化成为例 1 中思路 2 的解答，下略.2()l,)(tgt法三：直接换元构造新函数：设 ，1221lnln,xxa211,()xtt则 ，112ll,tttxx反解出： ， 1211ln
3、lnl,lnl1t tttx故 ，转化成法二，下同，略.21l 2xext3例 3.已知 是函数 的两个零点，且 .21,xaxef)( 21x（1 ）求证： ； （2）求证： . 21(2)要证： ，即证： ，等价于 ，12x121aex 21)(221xeex也即 ，等价于 ，令212)()(12xex 212)()(12x012xt等价于 ，也等价于 ，等价于即证：0)(2tt 0tett 2tte令 ，则 ，)(1tetht )1(21)( 22ttttt eh又令 ，得 ， 在 单调递减，)0(2)(tt0)(tt)(t),0，从而 ， 在 单调递减， ，即证原不等式成立.0t th
4、t),(ht【点评】从消元的角度，消掉参数 ，得到一个关于 的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不a21,x等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式. 4例 4.已知函数 ，若存在 ，使 ，求证：()(0)axfe12,()x12()0fxf.KS5UKS5UKS5U12xae再证： .12xae ，1122lnxx而 ，10e .证毕.2lnxa【招式演练】设函数 的图像与 轴交于 两点，()()xfeaRx1212(,0),()ABx（1 ）证明： ；0215（2 ）求证： .122x（2 ）证明：由 ，易知 且 ，12()xea21xae从而 ，令 ，则 ，1221xxe12
5、,ln1由于 ，下面只要证明： ，121,(0)结合对数函数 的图像可知，只需证： 两点连线的斜率要比lnyx(,ln)(l)两点连线的斜率小即可，(,ln)(,)又因为 ，即证： ，l1k1l 2ln0(1)令 ，则 ，()2ln0,()g221()()g 在 上单调递减， ， 0,110原不等式 成立.22x6设函数 ，其图像在点 处切线的斜率为 .2()lnfxabx(2,)Pf3当 时，令 ，设 是方程 的两个根，2a()gfk1x()0gx是 的等差中项，求证： ( 为函数 的导函数）.0x1, 0)g)设函数 ，函数 为 的导函数，且21()ln(0)fxaax()fxf是 的图像
6、上不同的两点，满足 ，线段 中点的横坐12,()ABff 12()0fxAB标为 ，证明：0x01.x【解析】 ，又依题意 ，212axa2()fxa得 在定义域上单调递增，所以要证 ，只需证 ，()fx0212(fx即 22()0fxa不妨设 ，注意到 ，由函数单调性知，有 ， 11fa12,xa构造函数 ，则 ，()(Fxffx3224(1)()()xFffa7当 时， ，即 单调递减，当 时， ，从而不等式式成立，故1xa()0Fx()x1xa1()0Fxa原不等式成立. 已知函数 .)(ln1)(Raxf（1 ）若 ，求函数 在 上的零点个数；2a)f,2e（2 ）若 有两零点 （ ）
7、 ，求证： .)(xf21,21x1321aex【点评】1.方程的变形方向： 是函数 的两个零点，1 是该函数的极值点. 是函数21,x)(xf 21,x的两个零点， 是该函数的极值点.)(xh1ae2.难点 的证明依赖利用 放缩.32121x已知函数 .（）讨论 的单调性；（）设 ，证明：当 时， ；（）设 是 的两个零点，证明 .【答案】 （） 在 上单调递减，在 上单调递增；（）当 时，8；（ ）证明过程见解析（）令 ，则.求导数，得 ，当时 ， ， 在 上是减函数.而 ， ，故当 时， （）由（）可知，当 时，函数 至多有一个零点，故 ，从而 的最小值为 ，且 ，不妨设 ，则 ， ，由
8、（）得 ， 从而 ，于是 ，由（）知， . 点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间 （）通过构造函数 ，把不等式证9明问题转化为函数求最值问题，求函数 当 时的最大值小于零即可 （）要充分利用（）（）问的结论.已知函数 （ ）.214lnfxmx0（）若 ，求函数 的单调递增区间；f（）若函数 ，对于曲线 上的两个不同的点 ，4gxxygx1,Mxg，记直线 的斜率为 ，若 ，2,NxMNk0证明： .10x【答案】 （1） （2 ）见解析,10由题设得 .120gx 124lnx124mx又 ，1
9、2128xgmx12 012124ln8x212114lnxx.212214lnxx不妨设 ， ，则 ，则120x21xtt2121lnx.ln1t()令 ，则 ，所以 在 上单调递增，所以2ltht (1)t210thht1,， 10t故 .KS5UKS5U.KS5U2121lnx11又因为 ，因此 ，即 .210x1200xg 120xggx又由 知 在 上单调递减，4gm ,所以 ，即 .120x120x已知函数 ， n()f 2(gx（）求过点 且与曲线 相切的直线方程；,yf（）设 ，其中 为非零实数， 有两个极值点 ，且 ，求 的hxafxayhx12,x12xa取值范围；（）在（
10、）的条件下，求证： 210hx【答案】 （1） （2 ）见解析KS5UKS5U.KS5U10xey ，解得00ln1x01xe切线的斜率为 ，切线方程为e0y（） hxafgx2ln1ax12， 211xaahxx当 时，即 时， ， 在 上单调递增；00h1,当 时，由 得， ， ，故 在 上单调递增，ax1xa2xahx1,a在 上单调递减，在 上单调递增；1, ,当 时，由 得， ， 在 上单调递减，在00hx 0xx,上单调递增,a当 时， 有两个极值点，即 ， ，即 的范围是1x1xa21xa(0,1)点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 .根据差函数导函数h
11、xfgx符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.已知函数 .lnfx（1）证明：当 时， ；1210xf（2）若函数 有两个零点 ， （ ， ） ，证明： 2gxfa1x2x120a13.123xga【答案】 （1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1 ）欲证 证 ，210xf21ln0xKx， 21Kx在 上递增， ,0x（2 ） ， ，121lnx14KS5UKS5U令 ，易知 在 递减， ，12lnsxxs0,10s， ， ， ， ， ， ，00h1xhx1xh， ， ， ，KS5UKS5Uxhx要合题意，如图， ， ，右大于左，原题得证1a0
