1、第 4章 内生性、工具变量与 GM估计外生性与常见的内生性问题矩估计 (M)与工具变量法 (IV)线性模型的两阶段最小二乘估计 (2SL)线性模型的广义矩估计 (GM) 4.1 外生性与常见的内生性问题一、外生性假设与内生性问题 二、常见的内生性一、外生性假设与内生性问题线性回归模型中一个重要的假设是 “ 严格外生性 严格外生性 严格外生性 严格外生性 ” ： E(|X)=0 严格外生性（ 严格外生性（ 严格外生性（ 严格外生性（ strictly exogenity)的含义是：各期的 解释 解释 解释 解释变量 变量 变量 变量 Xt独立 独立 独立 独立 于所有期的 随机扰动项 随机扰动项
2、 随机扰动项 随机扰动项 t 。 在 严格外生性 严格外生性 严格外生性 严格外生性 与 球型假设 球型假设 球型假设 球型假设 假设下， OLS估计量是 BLUE。这两大假设也称为 Yt或 t是 独立同分布 独立同分布 独立同分布 独立同分布 的 （ id） 。对模型 Yt=0+1Xt1+kXtk+t 或 t= t+ t 或 Y= X +1、外生性与 、外生性与 、外生性与 、外生性与 OLS估计量的统计性质 估计量的统计性质 估计量的统计性质 估计量的统计性质如果 X的严格外生性不满足，则需假设 Xt与 t的 同期无关性 同期无关性 同期无关性 同期无关性(contemporaneousl
3、y uncorelated)： E(t|Xt)=0 且 tid(0, 2) E(t|Xt)=0称为解释变量与随机扰动项 同期无关 同期无关 同期无关 同期无关 。或称 Xt为 外 外 外 外生的 生的 生的 生的 (exogenous)，否则，称为 同期相关 同期相关 同期相关 同期相关 或 内生的 内生的 内生的 内生的 (endogenous)X= Plim (X/n)E(tt)2、出现同期相关 、出现同期相关 、出现同期相关 、出现同期相关 OLS估计的后果 估计的后果 估计的后果 估计的后果Question: What wil happen if E(t|Xt)=0 fails?于是：
4、 Plim(b1)= 1+ Cov(Xt,t)/Var(Xt)1假设有一元模型 Yt=0+1Xt+t出现 Xt与 t的同期相关性： Cov(t,t)=E(Xtt)0后果 ： OLS估计量不一致，（当然也是有偏的）。将原模型 Yt代入上式得 :对多元模型 Yt= Xt+ t 或 Y= X +小样本下： E(b|X)= +(X)-1XE(|X) +0= 在 X内生 内生 内生 内生 的情况下 ： OLS估计量有偏且不一致假设模型为 Yt=0+1Xt+2Yt-1+t=Xt*+t其中 Xt*=1, Xt ,t-1， t=t-1vt 二、几种常见的同期相关 二、几种常见的同期相关 二、几种常见的同期相关
5、 二、几种常见的同期相关 /内生的情形 内生的情形 内生的情形 内生的情形()= )(00)()()( 111 tttt tttt YEYEXEE *tX E(Yt-1t-1) 0 情形 情形 情形 情形 1: 随机扰动项自相关且模型含滞后被解释变量 随机扰动项自相关且模型含滞后被解释变量 随机扰动项自相关且模型含滞后被解释变量 随机扰动项自相关且模型含滞后被解释变量情形 情形 情形 情形 2：存在测量误差 ：存在测量误差 ：存在测量误差 ：存在测量误差 假设模型 Yt=0+1Xt+t 假设收集不到 Xt的精确观测值，收集到的 Xt*包含了测量误差 vt： Xt*= Xt+vt由于实际估计的是
6、如下可观测变量的回归模型： Yt=0+1Xt*+ut于是 : ut=Yt- 0-1Xt*= 0+1Xt+t- 0-1(Xt+vt) t -1vt E(Xt*ut)=E(Xt+vt)ut=E(Xtut)+E(vtut) (tt)- 1(tvt)+(tvt) -1E(vt2) =-1v20Question: 1.如果 X可观测，而 Y不可观测，情况如何？2.如果 与 Y均不可观测，情况又如何？ 情形 情形 情形 情形 3. 联立方程偏误 联立方程偏误 联立方程偏误 联立方程偏误 设有如下简单的 Keynsian模型 Ct=0+1Yt+t Yt tIt其中， t、 Ct、 It分别表示国民收入、消费
7、与投资。 Ct、 Yt也称为模型的 内生变量 内生变量 内生变量 内生变量 (endogenous varibles)， It称为 外生变量 外生变量 外生变量 外生变量(exogenous varible)。则： E(Ytt)=E(Ct+It)t =E(Ctt)+E(Itt)=E(Ctt)0事实上， E(Ytt)=E(0+1Yt+t)t=1E(Ytt)+E(t2) 从而： Cov(t,t) (tt)=2/(1-1)0 4.2 矩估计与 工具变量法一、矩估计 一、矩估计 一、矩估计 一、矩估计 二、矩估计中的工具变量法 二、矩估计中的工具变量法 二、矩估计中的工具变量法 二、矩估计中的工具变量
8、法内生性 内生性 内生性 内生性 的核心问题是 E(t|Xt) 0，而工具变量法则是寻找一组工具变量 Z，满足 E(t|Zt) = 0， 并按 矩 矩 矩 矩估计 估计 估计 估计 的思想来进行参数估计的。一、矩估计 1、矩估计 、矩估计 、矩估计 、矩估计 (Method of Moment, MM)矩估计 是一种 类比方法 类比方法 类比方法 类比方法 ，该方法 从总体具有的某 从总体具有的某 从总体具有的某 从总体具有的某些固有的特征 些固有的特征 些固有的特征 些固有的特征 (总体矩 总体矩 总体矩 总体矩 )出发，认为如果样本是从某 出发，认为如果样本是从某 出发，认为如果样本是从某
9、 出发，认为如果样本是从某总体中抽出的，则样本也应具有类似的特征（样本 总体中抽出的，则样本也应具有类似的特征（样本 总体中抽出的，则样本也应具有类似的特征（样本 总体中抽出的，则样本也应具有类似的特征（样本 矩），从而通过计算样本的相关特征，寻找总体参 矩），从而通过计算样本的相关特征，寻找总体参 矩），从而通过计算样本的相关特征，寻找总体参 矩），从而通过计算样本的相关特征，寻找总体参 数的估计 数的估计 数的估计 数的估计 。例： 对于 总体均值 总体均值 总体均值 总体均值 ， =E(X)， 这时 g(X)= 对于 总体方差 总体方差 总体方差 总体方差 ， 2(-)2，这时 g()(
10、X-)2总体均值称为总体的 1阶原点矩 阶原点矩 阶原点矩 阶原点矩 ，总体方差称为总体的 2阶中心矩 阶中心矩 阶中心矩 阶中心矩 。 总体矩 总体矩 总体矩 总体矩 M可以简单地定义为一随机变量 X的某个连续函数 g 的数学期望： =Eg(X) 根据类比法的原理，可以用样本矩 (或样本矩函数 )来估计总体矩 (或总体矩函数），而且，样本矩在大样本下往往具有一致性。这一类比法也称为 矩法 矩法 矩法 矩法 。矩法可用于估计总体的参数 矩法可用于估计总体的参数 矩法可用于估计总体的参数 矩法可用于估计总体的参数 例 1. 设 Xi是从某一服从指数分布的总体 f(,)=exp(-X)， X0中抽
11、出的。 由于指数分布的均值为： M1=()=E(X)=1/2、 、 、 、 OLS作为一个矩问题 作为一个矩问题 作为一个矩问题 作为一个矩问题 对模型 Y=X+假设模型的设定是正确的，则有 E(X)=0，从而有矩条件： M()=EX(Y-)=0根据矩法（类比法），相应的样本矩为： m ()= (1/n)X(Y-X)问题归结为，寻找适当的 =b，使得 m (b)=0或： (1/n)X(Y-Xb)=0 解为： b=()-1Y线性模型的 OLS估计可以看成是 矩估计 。二、矩估计中的工具变量 (IV)法 假设有如下模型： Yt=Xt11 +Xt2+t其中： X2为单一变量， 1为包括截距项的 k维
12、行向量 2、 1为对应的参数变量与参数向量。 如果模型设定正确，则有如下 总体矩条件 总体矩条件 总体矩条件 总体矩条件E(Xt1t )=0, E(Xt2t)=0 (1/n)Xt1(Yt-Xt1b1-Xt2b) =0 (1/n)t2(t-t11-t2b) =0(1/n)Xt1(Yt-Xt1b1-Xt2b) =0 (1/n)t2(t-t11-t2b) =0正规方程组如果缺少矩条件，如 E(Xt2t)0，则上述 正规 正规 正规 正规方程组 方程组 方程组 方程组 最后一个方程不存在，则无法求解。这时， 工具变量法 工具变量法 工具变量法 工具变量法 就是寻找一 工具变量 工具变量 工具变量 工具
13、变量 Z2， 满足E(Zt2t)=0， E(Zt2Xt2)0。使得原模型的矩条件变为 E(Xt1t)=0, E(Zt2t)=0bIV=(ZtXt)-1ZtYt=(ZX)-1(ZY) (1/n)Xt1(Yt Xt1b1,IV Xt2b,IV) =0 (1/n)Zt2(t t11,IV t2b,IV) =0相应的样本矩方程组为对于 矩阵形式 ： Y=X+ 如果 E(X)0,（假设 k与随机项相关 )，用工具变量 Z替代X(如用 Zk替代 Xk)：由于 Z与 X的列相同 L=K， ZX满秩，解 为： bIV=(ZX)-1Y 则相应的样本矩条件为 ： (1/n)Z(Y-Xb)=0或 ZXb=ZY得到总
14、体矩条件 E(Z)=0 注意： 工具变量矩阵中所含的模型已有的外生解释变量可看成自己的工具变量。 工具的选择 工具的选择 工具的选择 工具的选择在 单方程 单方程 单方程 单方程 的估计中，工具变量的寻找较困难。这时，对时间序列模型，可用随机解释变量的滞后期变量作为工具变量。理论上， Z中保留了 X中所有被认为是外生的且与随机扰动项无关的变量，而那些内生的与随机扰动项相关的变量被工具 (变量 )所取代。C的估计可用外生变量 I作为 Y的工具变量， 1仍是 1的工具变量，这时 Z=(1 I)，于是例 （内生性问题， Monte Carlo 实验） 对 Keynsians模型简化式为假设 =7 .
15、0， 1=0 .8，且 tN(0, 1.2)(*)n=10OLS：E()=0.860IVE()=0.79由上述假设生成序列 Yt与 Ct，并对（ *）式进行 OLS及IV估计 (I为工具变量 )，记录参数 、 的估计结果重复 20次，并求 20次估计的 、 的 均值 与 标准差n=20OLS：E()=0.82IV：E()=0.79n=30OLS：E()=0.8093IV：E()=8.03Eviews程序： 4.3 线性模型的两阶段最小二 乘估计 (2SL)一、两阶段最小二乘法 一、两阶段最小二乘法 一、两阶段最小二乘法 一、两阶段最小二乘法 (2SLS)二、广义 二、广义 二、广义 二、广义
16、IV估计量的大样本性质 估计量的大样本性质 估计量的大样本性质 估计量的大样本性质三、 三、 三、 三、 2SLS中的异方差稳健推断 中的异方差稳健推断 中的异方差稳健推断 中的异方差稳健推断四、有关工具变量的检验 四、有关工具变量的检验 四、有关工具变量的检验 四、有关工具变量的检验一、两阶段最小二乘法（ 2SLS） 对线性模型 Yt= Xt+ t 或 Y= X + 当工具变量个数 L（将模型中已有的外生解释变量看成自己的工具变量）大于待估参数的个数 K，即 LK时，有两条解决思路： 第一，舍弃掉某些多余的工具变量，选中 K个工具变量进行IV估计。显然，这不是一条好的方案。 第二，设法寻找工
17、具变量某种线性组合，使恰有 K个组合成为新的工具变量（因为工具变量的线性组合一定是工具变 量）。两阶段最小二乘法 两阶段最小二乘法 两阶段最小二乘法 两阶段最小二乘法 (Two Stage Least Squares, 2SL)正是第二条思路的解决方案。其中某些解释变量具有 内生性 内生性 内生性 内生性 ，需用工具变量法估计模型。假设有 L个工具变量 Z1,2,ZL(可能包含原模型中已有的外生解释变量），对应的工具变量矩阵为 ZnL。 2SL法可看成是下面运用两次 OLS估计：这里，是当工具变量的个数 LK时的估计结果，该工具变量估计量也称为 广义工具变量估计量 广义工具变量估计量 广义工具
18、变量估计量 广义工具变量估计量 （ genralized instrumental varibles stimator, GIVE）。 IV估计是广义 IV估计的一个特例； OLS估计是 IV估计的一个特例 对 GIV估计： bG IVG G G =b2SL=(XZ(Z)-1X)-1Z(Z)-1Y当 l=Kk+1，则 bG IVG G G 可简化为 bIV： bG IVG G G =bIV =(ZX)-1ZY而 如果 t与 Xt同期不相关，即 E(Xtt)=0， 则可取 Z=X，因此 bG IVG G G =b2SL=bIV=bO LSO O O =()-1XY(iv) 球型假设： |Z id
19、(0, 2I) 或 t|Zt id(0, 2 )(i) 工具变量与解释变量相关： Plim(ZX/n)=E(ZtXt)=zx是一满秩有限矩阵； (i) 工具变量与随机扰动项不相关： Plim(Z/n)=Plim(1/n)Ztt=E(Ztt)=0 (i) 可逆性： Pli(1/n)Z=Plim(1/n)Ztt=E(Ztt) = Z 为有限对称可逆矩阵 意味着：Var(t|Zt)=E(t2|t)= 2 二、广义 IV/2SLS的大样本性质在下面假设下， 在下面假设下， 在下面假设下， 在下面假设下， 广义 广义 广义 广义 IV估计量 估计量 估计量 估计量 具有 具有 具有 具有 一致性 一致性 一致性 一致性 、 、 、 、 渐近正态性 渐近正态性 渐近正态性 渐近正态性 以及 以及 以及 以及最小方差性（有效性）： 最小方差性（有效性）： 最小方差性（有效性）： 最小方差性（有效性）：
